全等几何模型讲解

1、精品常见的几何模型一、旋转主要分四大类：绕点、空翻、弦图、半角。这四类旋转的分类似于平行四边形、矩形、菱形、正方形的分类。1.绕点型（手拉手模型）遇 600 旋 60 0，造等边三角形（ 1 ）自旋转： 自旋转构造方法遇 900 旋 90 0，造等腰直角遇等腰旋顶角，造旋转 全等遇中点旋 1800，造中心对称感谢下载载精品例题讲解：1. 如图所示， P 是等边三角形ABC 内的一个点， PA=2 ，PB= 23 ，PC=4 ，求ABC 的边长。APBC2. 如图，O 是等边三角形 ABC 内一点，已知：AOB=115 °，BOC=125 °，则以线段 OA 、OB 、 OC

2、 为边构成三角形的各角度数是多少？AOBC3.如图， P 是正方形 ABCD 内一点，且满足PA： PD ： PC=1 ：2 ： 3 ，则APD=.感谢下载载精品4.如图（ 2-1 ）：P 是正方形ABCD 内一点，点P 到正方形的三个顶点A 、B、C 的距离分别为 PA=1 ，PB=2 ， PC=3 。求此正方形ABCD 面积。（2 ）共旋转（典型的手拉手模型）感谢下载载精品模型变形：等边三角形共顶点共顶点等腰直角三角形共顶点等腰三角形共顶点等腰三角形感谢下载载精品例题讲解：1. 已知 ABC 为等边三角形，点D 为直线 BC 上的一动点（点D 不与 B,C 重合），以 AD为边作菱形ADE

3、F( 按 A,D,E,F 逆时针排列） ，使DAF=60 °,连接 CF.(1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF? AC=CF+CD.(2) 如图 2 ，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC 、CF、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3) 如图 3 ，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形， 并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。2.（13 北京中考）在ABC 中， AB=AC ，BAC=（ 060 ），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60 °得

4、到线段 BD 。感谢下载载精品（ 1 ）如图 1 ，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）；（ 2 ）如图 2 ，BCE=150 °，ABE=60 °，判断ABE 的形状并加以证明；（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，连结 DE，若DEC=45 °，求 的值。2.半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。例题：感谢下载载精品1.在等腰直角 ABCD 的斜边上取两点M,N, 使得 MCN 45 ,记 AM=m,MN=x,BN=n，求证以 m ， x， n 为边长的三角形为直角三角形。Cm

5、xnAMNB2.如图，正方形ABCD 的边长为 1 ， AB,AD 上各存在一点P、Q ，若APQ的周长为2 ，求 PCQ 的度数。DCQAPB3. E 、 F 分别是正方形ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且 EAF45 ， AHEF ， H 为垂足，求证：AHABADFHBEC4. 已知，正方形 ABCD 中，MAN=45 °，MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC （或它们的延长线）于点M 、 N ，AH MN于点 H （1 ）如图，当 MAN点 A 旋转到 BM=DN时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：感谢下载载精品AH=AB ；（ 2 ）如图

6、，当 MAN 绕点 A 旋转到 BM DN 时，（ 1 ）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（ 3 ）如图， 已知 MAN=45 °，AH MN 于点 H ，且 MH=2 ，NH=3 ，求 AH 的长（可利用（ 2）得到的结论）5.已知：正方形ABCD 中， MAN=45°， MAN绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB， DC( 或它们的延长线) 于点 M ，N 当 MAN绕点 A 旋转到 BM=DN时 (如图 1) ，易证 BM+DN=MN 感谢下载载精品(1) 当 MAN绕点 A 旋转到 BM DN 时 (如图 2)

7、 ，线段 BM ，DN 和 MN之间有怎样的数量关系 ?写出猜想，并加以证明(2) 当 MAN绕点 A 旋转到如图3 的位置时，线段BM ， DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系 ?请直接写出你的猜想6.(14 房山 2 模 ). 边长为 2 的正方形ABCD 的两顶点 A 、C 分别在正方形EFGH 的两边 DE 、DG 上 (如图 1) ，现将正方形ABCD 绕 D 点顺时针旋转，当A 点第一次落在DF 上时停止旋转，旋转过程中，AB边交DF于点M ，BC边交DG于点N.（ 1 ）求边 DA 在旋转过程中所扫过的面积；（ 2 ）旋转过程中，当 MN 和 AC 平行时 (如图 2) ，求正

8、方形 ABCD 旋转的度数；（3 ）如图 3，设MBN 的周长为p ，在旋转正方形ABCD 的过程中，p 值是否有变化？请证明你的结论.感谢下载载精品7. (2011石景山一模 )已知：如图，正方形ABCD 中， AC ，BD 为对角线，将BAC 绕顶点A 逆时针旋转°（0 45 ），旋转后角的两边分别交BD 于点 P、点 Q ，交 BC，CD 于点 E、点 F，连接 EF， EQ（ 1 ）在 BAC 的旋转过程中，AEQ 的大小是否改变？若不变写出它的度数；若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；（ 2 ）探究 APQ 与 AEF 的面积的数量关系，写出结论并

9、加以证明8已知在 ABC 中，ACB90 ，CACB62 ，CDAB 于 D ，点 E 在直线 CD上， DE1CD ，点 F 在线段 AB 上， M 是 DB的中点，直线 AE与直线 CF 交于 N 点.2（ 1）如图 1 ，若点 E 在线段 CD 上，请分别写出线段AE 和 CM 之间的位置关系和数量关系：，；（ 2 ）在（1 ）的条件下， 当点 F 在线段 AD 上，且 AF2FD 时，求证：CNE45 ；（3）当点 E 在线段 CD 的延长线上时，在线段 AB 上是否存在点 F ，使得感谢下载载精品CNE45 若存在，请直接写出AF 的长度；若不存在，请说明理由CCENADBFDAMB

10、图 1备用图9.(2014平谷一模24)（ 1 ）如图 1 ，点 E、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上的点， EAF=45 °，连接 EF，则 EF、 BE、 FD 之间的数量关系是： EF= BE+ FD 连结 BD ，交 AE、 AF 于点 M 、 N ，且 MN 、 BM 、 DN 满足 MN 2BM 2DN 2 ，请证明这个等量关系；（2 ）在ABC 中，AB= AC，点 D、 E 分别为 BC 边上的两点如图 2 ，当BAC=60 °，DAE=30 °时， BD 、 DE、EC 应满足的等量关系是如图 3 ，当BAC=，(0°

11、;<<90 °)，DAE=1时， BD 、 DE、 EC 应满足的等量2关系是【参考：sin2cos2】1注意： 2AM 2BM 2DM 2BAAAEMNCFDB DECB DEC图1图 2图 3(1)在正方形 ABCD 中， AB= AD ， BAD =90 °，BAABM= ADN=45 °把 ABM 绕点 A 逆时针旋转 90 °得到 AD M EM感谢下载载NM'CFD精品连结 NM 则 DMBM，AM ' AM ，,ADMABM45 ，DAMBAM EAF=45 °， BAM+ DAN=45 °,

12、DAM +DAF =45 °,M 'ANMAN45AM'N AMN M'N=MN 在DM 'N 中，M 'DNADNADM '90,M 'N2DN 2DM '2MN2DN 2BM 2（2）DE 2BD 2BD ECEC2；DE 2BD 22 cosBD ECEC 23.空翻模型例题：1.如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点 B 除外 )，作 DMN60 ，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 ?DDNGNAMBEAMBE【解析】 猜测 DMM

13、N .过点 M 作MGBD交AD于点 G，AGAM ，GD MBDMA 120o ， DMA NMB120o又 ADMNMB，而 DGM MBN 120o ， ADM DGM MBN ， DMMN 感谢下载载精品2.如图，点 M 为正方形ABCD 的边 AB 上任意一点，MNDM 且与 ABC 外角的平分线交于点 N ， MD 与 MN 有怎样的数量关系？DCDCNNAMBEAMBE【解析】 猜测 DMMN .在 AD上截取 AGAM ，DG MB ，AGM45o DGM MBN 135 ，ADMNMB ， DGM MBN ，DM MN 3.【探究发现 】如图，ABC 是等边三角形，AEF60

14、 ， EF 交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F当点 E 是 BC 的中点时，有AE= EF 成立；【数学思考 】某数学兴趣小组在探究AE、 EF 的关系时 ，运用 “从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E 是直线 BC 上（ B,C 除外）任意一点时(其它条件不变)，结论AE= EF 仍然成立假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任 意一点 ”；“点 是线段 BC 延长线上的任意一点”； “点 是线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1 中画出图形，并进行证明AAAFBECBCBC感谢下载载精品【拓展应用 】当点

15、E 在线段 BC 的延长线上时，若CE = BC，在备用图2 中画出图形，并运用上述结论求出S ABC : S AEF 的值4.弦图模型外弦图内弦图总统图例题：1.两个全等的30 °，60 °三角板 ADE,BAC, 如右下图所示摆放，E、 A 、 C 在一条直线上，连接 BD,取 BD的中点 M，连接 ME，MC （ 1）求证：EDM CAM ；（2）求证：EMC 为等腰直角三角形感谢下载载精品2.如图ABC 中，已知 A=90 °，AB=AC,(1)D 为 AC 中点， AEBD 于 E,延长 AE 交 BC 于 F,求证： ADB= CDF(2) 若 D，M

16、 为 AC 上的三等分点， 如图 2，连 BD ，过 A 作 AEBD 于点 E，交 BC 于点 F，连 MF ，判断 ADB 与CMF 的大小关系并证明3.(14 朝阳二模 )已知ABC=90 °，D 是直线 AB 上的点， AD = BC（ 1 ）如图 1，过点 A 作 AF AB ，并截取 AF= BD，连接 DC、DF、CF，判断CDF 的形状并证明；（ 2 ）如图 2 ，E是直线 BC 上的一点，直线 AE、CD 相交于点 P，且APD =45 °求，证 BD= CEFAAPBBCECDD图1图2感谢下载载精品二、对称全等模型下图依次是45 0、30 0、22.5

17、 0 、15 0 及有一个角是30 0 直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。BAAFP1EFP3BDCEPABDCCGGP 2AAFEEBDCBDC例题：1. 如图 1 ，在 ABC 中，已知BAC=45 °，AD BC 于 D ，BD=2 ，DC=3 ，求 AD 的长感谢下载载精品小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1 她分别以AB 、AC 为对称轴，画出 ABD 、ACD 的轴对称图形，D 点的对称点为E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，得到四边形 AEGF 是正方形 设 AD=x ，利用勾股定理， 建立关于 x 的方程模型， 求出 x 的值参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图 2 ，在 ABC 中，BAC=30 ° ， AD BC 于 D，AD=4 请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF ，求 BGC 的周长（画图所用字母与图1 中的字母对应）2. 问题：已知 ABC 中， BAC=2 ACB，点 D 是 ABC 内一点，且 AD = CD，BD = BA.探究 DBC 与 AB