精密仪器设计-误差理论

1、精精 密密 仪仪 器器 设设 计计 Design of Precision Instrument仪器精度理论仪器精度理论 误差分析与处理误差分析与处理仪器精度概述仪器精度概述误差基本理论误差基本理论21本章内容本章内容误差合成与分配误差合成与分配（仪器精度分析与设计）（仪器精度分析与设计）3 精度精度是精密仪器的一项重要指标，是由于仪器原理、是精密仪器的一项重要指标，是由于仪器原理、结构和制造装调等方面的不完善导致仪器结构和制造装调等方面的不完善导致仪器测量值测量值与与被测量被测量真实值真实值有一定偏差，这种偏差大小反应了仪器本身性能的有一定偏差，这种偏差大小反应了仪器本身性能的好坏，可用仪器

2、本身缺陷所造成的误差大小来评定。好坏，可用仪器本身缺陷所造成的误差大小来评定。 精度本身是一种定性的概念，可采用精度本身是一种定性的概念，可采用 误差误差作为定量作为定量的指标来衡量的指标来衡量第一节第一节 仪器精度概述仪器精度概述 误差误差定义：对某物理量进行测量，所测得的数值定义：对某物理量进行测量，所测得的数值 与其真值与其真值 之间的差称为测量误差，即：之间的差称为测量误差，即：0 xxx 误差的大小反应了测量值对于真值的偏离程度。误差的大小反应了测量值对于真值的偏离程度。也可采用相对误差的形式：也可采用相对误差的形式：/x x 0 xx仪器误差的来源：仪器误差的来源：原理方面原理方面

3、1 1、测量理论、测量方法不完善或采用近似方法、测量理论、测量方法不完善或采用近似方法2 2、仪器设计方案不同、仪器设计方案不同3 3、零部件设计原理不同、零部件设计原理不同仪器零部件在制造过程中的公差仪器零部件在制造过程中的公差仪器使用过程中的退化、磨损、应力变形等导致的仪器使用过程中的退化、磨损、应力变形等导致的误差误差制造方面制造方面运行方面运行方面误差的分类：误差的分类： 随机误差：随机误差：偶然误差，不确定因素导致的误差，数值和方向偶然误差，不确定因素导致的误差，数值和方向没有一定规律，但其总体服从统计规律。没有一定规律，但其总体服从统计规律。 系统误差：系统误差：大小和方向在测量过

4、程中恒定不变，或按照一定大小和方向在测量过程中恒定不变，或按照一定规律变化的误差，可进行调节和修正。规律变化的误差，可进行调节和修正。 粗大误差：粗大误差：由于疏忽或错误出现的误差，应予以剔除。由于疏忽或错误出现的误差，应予以剔除。按被测参数的时间特性还可分为按被测参数的时间特性还可分为静态参数误差静态参数误差和和动态动态参数误差参数误差。仪器精度理论研究内容：仪器精度理论研究内容： 1、研究影响仪器精度的各项误差来源及特性；、研究影响仪器精度的各项误差来源及特性； 2、研究误差的评定和估计方法；、研究误差的评定和估计方法； 3、掌握误差的合成与分配原则，为精度设计提供可、掌握误差的合成与分配

5、原则，为精度设计提供可 靠的科学依据。靠的科学依据。第二节第二节 误差基本理论误差基本理论2.1 随机误差随机误差2.2 系统误差系统误差2.3 粗大误差粗大误差多次测量，随机误差呈现出的规律 随机误差0 xxx 对称性单峰性抵偿性有界性一、随机误差的基本特点及分布正负误差概率基本相等 小误差出现概率大正负误差可相互抵消 误差不会超过一定界线 2.1 随机误差随机误差理论依据：中心极限定理 只要构成随机变量总和的各独立随机变量的数目足够多，而且每个随机变量对总量的影响都足够小，那么，随机变量总和的分布规律为正态分布古典误差理论认为：随机误差服从正态分布正态分布及特性 测量数据的概率密度函数：2

6、21()( )exp22xyx随机误差的概率密度函数：2exp21)(22 fy误差真值)(22221)(02222itttttitdtedtettPiii?)P(x更一般的求解公式：拉普拉斯函数（或称正态分布积分）/t式中，说明了什么？ 我们可以有68.27%的把握认为测量值的误差不超出0.68276827. 0)P(xP(2 )0.9545P(3 )0.9973P(0.6745 )2 0.250.5xxx)(2)()(iiittPttP拉普拉斯函数的变形：思考：若测量误差必须具有99%的可信度，其误差应放宽至多大？ P=0.95( )，一般精密测量，应用广泛；2 P=0.9973( )，用

7、于较重要的科研工作和精密仪器；3 P=0.9999( )，用于个别对可靠性要求特别高的科研 和精密测量工作；422+2-22DE(E )D(E )D(E )( )=E()(E )iiXXXXXXPXXXx dxXX离散：连续：二、随机变量的数字特征 描述随机变量分布特征的数值：随机变量的数字特征（理想化）数学期望：位置特征方差：分散性指标xD标准差随机变量关于其数学期望的偏离程度比其他任何值的偏离程度都小。如果x是测量值，那么Ex就是该被测量值最可信赖的值（或称概然值）数字特征如何估计？数字特征如何估计？+-EE( )iiiXx PXxx dx离散：连续：数学期望的估计（算术平均值）要求估计值

8、在参考量附近摆动，作为无偏估计，就要证明估计值的数学期望正好等于未知量（真值）解决了有限次等精度测量中，如何估计被测量真值的问题标准偏差及其估计（标准差或方均根误差）例：两组测量值衡量的指标：标准差哪一组测量值更好？1、标准差的估计 贝赛尔公式贝赛尔公式即贝赛尔公式估算条件：测量次数n比较大 就是 的无偏估计两边同除以n：2、标准偏差的其他估算方法1）别捷尔斯法（）别捷尔斯法（Peters）)(Exi2） 极差法极差法 nxmax - xmin根据极差得分布函数，可以求出数学期望： dn可查表得到，与测量次数有关：测量的次数越多，n大的概率高，故dn应大。极差法可简单迅速算出标准差，n10时适

9、用。上例：)(08. 309. 000.7509.7510minmax查表dmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225 2101

10、200825. 0mmvii)(2mmvi3) 最大误差法最大误差法查表真值未知时例：上表nK1nK1n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10

11、 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK1mmvi045. 0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍； 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n10以后， 的减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引

12、入新的误差，因此一般情况下取n=10左右较为适宜。nx（多次测量的）算数平均值的标准差：x75.04575.05xvv210.008250.03030.03110 1niivvvn 例： 用仪器测量某电压10次，得到数据如下(单位为v)： 75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.08 。求：1）算术平均值及其标准差。2）电压的测量结果。0.03030.0110 xmmvn解：注意最终结果保留两位有效数字练习：利用某精密测量系统测量微弱电压20次，得均值5uV，单次测量精度 为0.1uV，求测量结果置信概率为50%的置信区间。四、随机

13、误差的其它分布三角形分布(辛普生分布,simpson)（计数器计数误差）反正弦分布（电子测量振幅、微波测量由失配引起的不确定度）偏心分布(瑞利分布,rayleigh)（雷达杂波包络分布）均匀分布均匀分布（仪器制造中的公差）仪器偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造中的公差和安装的不正确等。测量时的实际温度对标准温度的偏差、测量过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。 测量装置方面的因素 环境方面的因素 测量方法的因素 测量人员的因素2.2 系统误差系统误差系系统统误误差差一、系统误差的分类和特征1、定值系统误差n2、变值

14、系统误差 线性系差（累进系差）：在整个测量过程中，随某因素而线性递增或递减的系统误差。如温度线性变化引起的误差。 周期系差：在整个测量过程中，随某因素作周期变化的系统误差。如齿轮转动引起的正弦误差。 复杂系差：二、系统误差的发现1、定值系差的发现（1）对比检定法（校准法） 改变测量条件进行测量，一般换更精密的仪器，求出两次测量的算术平均值之差，即为定值系差。（2）均值与标准差比较法如：改变测量次数如果测量次数足够多，服从正态分布时：xxxt21服从正态分布如果测量次数较少，用两样本 t 检验法进行检验（3）t 分布检验法2、变值系差的发现 两种基本方法：观察残差的变化或者检验是否服从已知的规律

15、（1）马林科夫判据前后分组核算残差法（线性系差） 按先后顺序将测量数据分两组，前一半和后一半的残差分别求和，然后求其差值。如果不存在累进性系差，该差值应近似为0；否则，可能比较大。不适于检验周期性系差。如果测量服从正态分布，则：n21i 1iin 周期系差存在判据为：21n1inii计算时以残差代替真差：21n1inii可以证明： （2）阿贝-赫梅特准则（周期系差）（3）标准偏差不同公式检算法（类型不能确定）四、系统误差的减小和消除主要途径： 1、在仪器设计过程中完善测量方法和设计方案； 2、在仪器制造过程中，提高制造精度； 3、合理使用仪器，减小运行误差（环境和使用规范）； 4、测量过程中，

16、采用合理的测量方法和数据处理方法消除系统误差。粗大误差：疏忽误差、过失误差。 不能不知原因不加分析就轻易舍弃测量列中最大或最小的数据。 对怀疑是粗大误差而又不明原因的数据，应按照统计学方法进行判别。2.3 粗大误差粗大误差1. 莱特准则莱特准则3准则准则最常用、最简单判别粗大误差的准则具体剔除办法：先计算标准差，然后计算每次测量的残差剔除完后，重新按准则计算，直至没有数据剔除为止。3|iv若 ，则剔除2. 肖维勒（肖维勒（chauvenet）准则）准则 以随机误差服从正态分布为前提，思路与莱特准则相似。若残差 ，则剔除该数据。ciZv |肖维勒准则确定 的方法:cZn21显著度: 与莱特准则的

17、区别：置信度与测量次数相关。数据量越大，判据越严格！将 的误差中的最大一个剔除。重新计算，再次用肖维勒准则判断，直至全部符合判据。ciZv |注意：肖维勒准则以大数据量为前提，n10时，不适宜采用。莱特准则和肖维勒准则都是基于 这个前提，n较小时都不可靠。n3. 格罗布斯（格罗布斯（grubbs）准则）准则 如果样本观测值中存在异常数据，它一定是最大值或最小值。将测量数据从小到大顺序排序（x(1)最小， x(n)最大）。构造异常值的检验统计量，通常可按照描述样本极值与样本主体之间的差异的原则来进行。例：用三种方法判别仪器的测量结果是否含有粗大误差。例：用三种方法判别仪器的测量结果是否含有粗大误

18、差。(3)按格罗布斯准则（按格罗布斯准则（grubbs）按测得值大小排列： (1)20.30 x(15)20.43x则： (1)0.104xx(15)0.026xx首先怀疑x(1)可能含有粗大误差： (1)20.40420.303.150.033g(0)(15,0.05)2.41g查表得（取显著度0.05）： (1)(0)(15,0.05)gg由于： 因此第8个测量值含有粗大误差，应剔除 余下的14个数据做同样的处理，直至没有粗大误差的数据。 仪器设计问题： 设计一台精密电阻测量仪，总精度要求设计一台精密电阻测量仪，总精度要求总总。该。该精密电阻仪主要由高精度恒流源电路、精密电压测精密电阻仪主

19、要由高精度恒流源电路、精密电压测量电路、运算放大电路等部分构成，则：量电路、运算放大电路等部分构成，则： 满足总精度要求的情况下，每部分的精度应该满足总精度要求的情况下，每部分的精度应该为多少？为多少？（分配问题）（分配问题） 当每部分的误差已知时，该测量仪器的总误差当每部分的误差已知时，该测量仪器的总误差是多少？是多少？ （合成问题）（合成问题） 被测量值在仪器测量链测量转换过程的数学描述可表示为如下测量方程式：1,(,)nyfssSi为测量仪器各环节特性参数值采样处理分析显示测量示值原始信号IUR 误差？误差？合成合成：间接测量如何得到结果的误差？：间接测量如何得到结果的误差？ 分配分配：

20、已知测量结果误差，如何分配单项误差？：已知测量结果误差，如何分配单项误差？ 电压测量误差电压测量误差电流测量误差电流测量误差测量系统设计问题：第三节第三节 误差的合成与分配误差的合成与分配（仪器精度的分析与设计）（仪器精度的分析与设计）一、基本概念 精度分析：精度分析：根据仪器的工作原理、结构、制造工艺和使用条件来分析和综合仪器的误差，这个过程称为精度分析。【误差合成问题误差合成问题】 精度设计：精度设计：根据使用要求确定仪器的总误差指标，再将总误差分配到各个误差源中去，形成对各组成部件、零件的技术要求，这个过程称为精度设计。【误差分配问题误差分配问题】理论依据：误差基本理论（随机、系统、合成

21、与分配）理论依据：误差基本理论（随机、系统、合成与分配）精度分析与设计目的：精度分析与设计目的： 1、设计新产品时，预估仪器可能达到的精度，为选择、设计新产品时，预估仪器可能达到的精度，为选择最佳方案提供依据；最佳方案提供依据； 2、产品的改进设计中，通过精度分析，找到影响精度、产品的改进设计中，通过精度分析，找到影响精度的主要因素，因而能有效提高产品精度；的主要因素，因而能有效提高产品精度； 3、通过精度分析可估计和控制产品成本，避免盲目性，、通过精度分析可估计和控制产品成本，避免盲目性，防止不应有的浪费；防止不应有的浪费； 4、把总误差合理分配到各误差源，为制定公差、工艺、把总误差合理分配

22、到各误差源，为制定公差、工艺、装调等技术条件提供依据。装调等技术条件提供依据。精密仪器测量中需要明确的两点：精密仪器测量中需要明确的两点： 测量精度：测量精度：即测量误差，包括仪器误差、测量条件、即测量误差，包括仪器误差、测量条件、测量方法、测量者本人状态的影响等因素决定的综合精度测量方法、测量者本人状态的影响等因素决定的综合精度（随机误差、系统误差、粗大误差）（随机误差、系统误差、粗大误差） 仪器精度：仪器精度：即仪器误差，指仪器本身的固有误差，由即仪器误差，指仪器本身的固有误差，由于仪器在原理上、结构上、制造与装调等方面的不完善所造于仪器在原理上、结构上、制造与装调等方面的不完善所造成（系

23、统误差、特定条件下的随机误差）成（系统误差、特定条件下的随机误差） 仪器精度只是测量精度的一部分，仪器精度并不能完全决定测量精度nndxxfdxxfdxxfdy22111212.nnfffyxxxxxx 间接测量inxxxxfy),(, 21为各直接测量参数取全微分：误差 较小时：ix误差传递公式（绝对误差形式）误差传递系数二、误差传递公式二、误差传递公式nnxxffxxffxxffyy1112211iixffxf1ln由于：nnxxfxxfxxfyylnlnln2211误差传递公式（相对误差形式）两端同除以y： 当测量函数为和、差关系，求总和绝对误差比较方便。 当测量函数为积、商、开方、乘方

24、关系时，求总和相对误差比较方便。例1：321cxbxaxy332211xxfxxfxxfy321xcxbxa例2：pnmxxxy32131231(lnlnln)iiymxnxpxxyx332211xxpxxnxxm 随机误差通常用标准差或极限误差lim来表示，随机误差的合成主要是在一定测量条件下的标准差或极限误差的合成。换成nndxxfdxxfdxxfdy2211ix1、随机误差的合成、随机误差的合成三、误差的合成（仪器精度分析）1）随机误差传递公式对xi多次重复测量n次：纵向归纳可得(根据误差传递公式)： 将以上各式一一平方后得：将各式相加后再除以n得：由于相关系数 为：ij代入上式： 相关

25、系数反映了各随机误差分量相互间的关联对函数总误差的影响 若各测量值的随机误差相互独立时，相关系数ij为零，则独立测量的合成误差为：随机误差传递公式 ： （=0）（0）211()2qqiiijijijiijaa a q个单项随机误差，标准差 12,q 误差传递系数 12,qa aa由间接测量的显函数模型求得 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 而不知道每个 和 iiiyaiaiiiafx 2）随机误差的合成方法（标准差形式）（标准差形式）单项极限误差: lim1,2,.,iiikiq 单项随机误差的标准差 单项极限误差的置信系数 iik合成极限误差计算公式2lim11()2qqjiii

26、ijijiijiijakka akk k 应用极限误差合成公式时，应注意： 根据已知的各单项极限误差以及所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、 不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 ikk 对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 332211xaxaxay232322222121xxxyaaa例1： 三个测量量相互独立，有：求结果的随机误差。 解：,21xxy1x2x重复30次测量， 重复8次测量，两个测量量独立。 例2： limy求置信概率95%时的 111lim11.960.36xxxn 222lim22.360.82xxxn t分

27、布正态分布2lim11()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 211()2qqjiiiijijiijiijaka akk k 代入下式求解： ylim项数q较小，且第2项误差不服从正态分布。故计算k时按t分布计算系统误差分类按误差出现规律按对误差掌握程度定值系统误差变值系统误差已定系统误差：未定系统误差：线性系差周期系差复杂系差误差绝对值和符号已经确定误差绝对值和符号未能确定，但可估计出误差范围上述讲解的合成类型合成复杂、难以计算，修正或消除一般按随机误差合成方法2、系统误差的合成、系统误差的合成合成方法：（1）已定系差：niixxfy1（2）未定系差：通常按随机误差的合成方

28、法。3、随机误差与系统误差的合成、随机误差与系统误差的合成不同性质的多项系统误差与随机误差的综合问题1）按标准差合成 设r个已定系统误差，s个未定系统误差项，q个随机误差，误差的传递系数均为1，各误差之间互不相关，则22111()()qrskijkiju测量结果总的标准差第i项未定系统误差的标准差第j项随机误差的标准差n1若n次重复测量，需除以次数n第k项已定系统误差2) 按极限误差合成r个单项已定系统误差，误差值为 s个单项未定系统误差，极限误差为 q个单项随机误差，极限误差为 若各误差传递函数均为1，且互不相关则：r,21seee,21q,2122111qrsiiiijkjkettt 总（

29、）（）合成后总极限误差的置信系数各单项极限误差的置信系数4、仪器精度计算、仪器精度计算a）全面分析仪器误差来源；）全面分析仪器误差来源；b）确定随机误差数值（制造误差在仪器制造前按）确定随机误差数值（制造误差在仪器制造前按随机误差处理）；随机误差处理）；c）确定系统误差数值；）确定系统误差数值；d）误差合成；）误差合成；e）根据结果进行设计方案的调整。）根据结果进行设计方案的调整。 给定仪器总的精度指标，合理确定仪器设计各环节的单项误差，是误差合成的反问题（在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待）。 假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：y 若已经给定 ，如何确定 Di 或相应的

30、i ,使其满足22221nyDDD式中， 称为部分误差，或局部误差iiiiiaxfDynDDD22221四、误差的分配（仪器精度设计）1、按等影响原则分配误差 等影响原则： 各分项误差对函数误差的影响相等，即 由此可得： 11/yyiiiafxnn或用极限误差表示： 1/iifxn 函数的总极限误差 各单项误差的极限误差 i 进行误差分配时，一般应按照下述步骤：12yniiDDDan对于不易实现的误差项如何处理？ 调整思路：在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。 2、按可能性进行各分项误差的调整

31、 实例：全站仪误差分析实例：全站仪误差分析 全 站 仪 ， 即 全 站 型 电 子 测 距 仪全 站 仪 ， 即 全 站 型 电 子 测 距 仪（Electronic Total Station），是一种集光学、），是一种集光学、机械、电子、计算机为一体的精密测量仪器，机械、电子、计算机为一体的精密测量仪器，是集是集距离距离、角度角度、高度高度测量功能于一体的仪测量功能于一体的仪器系统。由电子测距、电子测角、电子补偿、器系统。由电子测距、电子测角、电子补偿、微处理器装置等几部分构成。广泛用于空间微处理器装置等几部分构成。广泛用于空间测量等精密工程测量领域。测量等精密工程测量领域。电子测距原理：

32、电子测距原理：通过测量光波（电磁波）在待测距离上往返传播的时间来计算待测距离的。 在A点安置全站仪，B点安置反射棱镜，全站仪发射的激光波束经棱镜反射后，被全站仪接收。测量出激光在A、B之间往返传播的时间，利用物理学原理计算两点之间的距离：D = C * t/2 根据不同的测时方法，电子测距的方法主要有脉冲法测距、干涉法测距、相位法测距相位法测距。相位法测距原理图相位法测距原理图 相位法测距相位法测距:本振产生恒定频率的本振信号，通过锁相环产生需要的主振频率信号，驱动发光管产生调制光波经棱镜返射后，由接收器接收，经混频电路产生低频信号经放大后送检相计数器，同早期送到的基准信号进行比相，得出发射时

33、刻的调制光波的相位差，然后计算并显示。例例:徕卡徕卡 TS09 plus 全站仪精度指标全站仪精度指标 测距精度：测距精度：1.5mm+D*10-6 测角精度：测角精度： 1 。测距系统误差测距系统误差主要有: 1）周期误差; 2) 加、乘常数误差; 3) 幅相误差。测角系统误差测角系统误差主要有（三轴误差）（三轴误差）: 1）视准轴误差; 2) 水平轴误差; 3) 垂直轴误差。测距系统误差测距系统误差主要来源有: 1）周期误差）周期误差 周期误差是指由于测距仪光学和电子线路的光电信号窜扰而使待测距离以/2为周期重复出现的误差，主要来源于仪器内部的同频率窜扰信号，误差大小为：注：注：在一台测距仪内部，虽