高一数学竞赛试题

1、一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1 已知集合 M=错误！未找到引用源。，则集合 错误！未找到引用源。中元素的个数是（A ）A.0B. 1C.2D.无穷多2 已知函数 错误！未找到引用源。，若直线 错误！未找到引用源。是函数错误！未找到引用源。图像的对称轴，贝 U8 已知函数 错误！未找到引用源。，若直线 错误！未找到引用源。 是函数错误！未找到引用 源。图像的对称轴，贝 UA. a 是整数B. a 是无理数C. a 是有理数D. a 不存在3 设错误！未找到引用源。 则 x 的取值范围为（B ）A.错误！未找

2、到引用源。4 设 O 是正三棱锥 P-ABC 的中心，过 O 的动平面与 记为 Q, R,S,则和式错误！未找到引用源。P-ABC的三条侧棱或其延长线的交点分别A.有最大值，而无最小值C.既有最大值，又有最小值 5 设函数错误！未找到引用源。 取值范围是 （D.）B. 有最小值，而无最大值D.是一个与平面 QRS 位置无关的常量,若 f（错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的A .错误！未找到引用源。B.错误！未找到引用源。C.错误！未找到引用源。D.错误！未找到引用源。6 已知函数 f （x） =错误！ 未找到引用源。且,错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的值 （B，错误！

3、 未找到引用源。）,错误！未找到引用源。A. 一定大于零B. 一定小于零C.等于零 D.正负都有可能7 已知集合 M=错误！未找到引用源。，则集合错误！未找到引用源。中元素的个数是B. 0B. 1C.2D.无穷多B. a 是整数B. a 是无理数C. a 是有理数D. a 不存在二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上)9错误！未找到引用源。是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)=f(1-x),则 f(2010)=_0_ .已知二次函数10 已知正四面体 S-ABC 的棱长为 a,其内部有四个半径相同两两相切的小球，且每个小球都与 相 邻 的 三 个

4、 面 相 切， 则 小 球 的 半 径,6 -1 1011 已知直线 ax +by + c =0 中的 a ,b, c 是取自集合 错误！未找到引用源。 中的 3 个不同的元 素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_43_.12 已知 P 是直线错误！未找到引用源。 的动点，PA PB 是圆错误！未找到引用源。的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值为 _2忑_ .三、解答题(本大题共 3 小题，共 60 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 13 在平面直角坐标系 Oxy 中，设二次函数 错误！未找到引用源。的图像与两个坐标轴有三个交

5、点，经过这三个交点的圆记为 C.(1) 求实数 b 的取值范围；(2) 求圆 C 的方程；(3) 求圆 C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.14 已知二次函数f仗)=ax2+ bx(ib为常数且a丰0)满足条件:f(-x + 5)= f(x一3)且方程如x有等根.错误！未找到引用源。求 f(x)的解析式；(2)是否存在实数 m , n (m 错误！未找到引用源。n),使 f(x)的定义域和值域分别是 错误！未找到引用源。？如果存在，求出 m , n 的值； 若不存在，说明理由.15 如图 ABEDFC 为多面体，平面 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD

6、上, OA = 1， OD = 2， OAB， OAC， ODE， ODF 都是正三角形.(1)证明直线 BC / EF ；求棱锥 F OBED 的体积.【解答】(1)证明：设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点，由于 OAB 与厶 ODE 都是正1三角形，0A= 1, OD = 2,所以 OB 綊1DE, OG = OD = 2.1同理，设 G 是线段 DA 与 FC 延长线的交点，有 OC 綊-DF , OG= OD = 2,又由于 G 和 G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合.1 1在厶 GED 和厶 GFD 中，由 OB 綊DE 和 OC 綊 qDF，可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的 中点.所以 BC 是厶 GEF 的中位线，故 BC / EF.(2)由 OB = 1 , OE = 2，/ EOB = 60 而厶 OED 是边长为 2 的正三角形，故3 3所以SOBED=SAEOB+SAOED= 2. 过点 F作 FQ 丄 DG ,交 DG 于点 Q,OBED 的高