分层多元谱梯度方法及其在大规模非线性方程组求解和医学图像弹性配准中的应用

1、分类号：扭：，咿跌蕊毋博士学位论文分层多元谱梯度方法及其在大规模非线性方程组求解和医学图像弹性配准中的应用学位申请人韩乐一导师姓名厦职称关履泰教授信息计算科学中文摘要中山大学博士学位论文分层多元谱梯度方法及其在大规模非线性方程组求解和医学图像弹性配准中的应用专业：信息计算科学韩乐关履泰教授学位申请人：导师及职称摘要：大规模优化问题不仅出现在经济学、社会学、工程学、管理学等应用领域，也是理论研究领域的研究重点构造大规模优化问题的计算方法，研究这些方法的理论性质和实际计算表现，具有重要的理论意义和实际应用价值求解无约束最优化问题的谱梯度方法由于其简单、有效和存储需求少等特点，已经受到越来越多研究学

2、者的重视本文主要讨论了分层多元谱梯度方法和它的一些应用首先。将谱梯度方法和多元步长的思想结合，提出了求解无约束最优化问题的多元谱梯度方法该方法与谱梯度方法一样具有拟牛顿性质，但允许沿搜索方向的每一个坐标分量方向选取步长，所以多元谱梯度方法具有二次终止性，对具有对角矩阵的正定二次函数至多两步收敛，而且对具有正定对角矩阵的目标函数具有二阶收敛速度，和非单调线搜索结合后，得到了全局收敛的多元谱梯度算法数值实验结果显示多元谱梯度算法对某些目标函数有时收敛的很慢，为了克服这个缺点我们还提出了混合谱梯度方法然后，在多元谱梯度算法数值分析的基础上，将多元谱梯度方法与谱梯度方法的优势结合起来，提出了求解无约束

3、最优化问题的分层多元谱梯度方法它是多元谱梯度方法与谱梯度方法的结合体，兼具了二者的优点，但比它们更灵活，其全局收敛性可以借助于非单调线搜索得到之后，利用求解方程组问题等价于求解某个无约束问题，提出了求解大规模非线性方程组的分层多元谱梯度算法该迭代算法针对非线性映射矩阵的结构特征，用对角阵和非线性映射的乘积确定搜索方向，随着迭代次数的增加，降低对角阵中对角元相异的程度，达到减少层数的效果为了避免矩阵的计算和线性方程组的求解，每步迭代均采取正反两个方向搜索，同时与非单调线搜索结合，保证算法的全局收敛性最后，将谱梯度算法、混合谱梯度算法和分层多元谱梯度算法应用于医学图像弹性配准参数模型的求解医学图像

4、配准是指寻找联系两幅医学图像间的几何一一中文摘要变换，使两幅图像上的对应点达到空间上的一致，具有很重要的临床应用价值依据图像变形的方式，医学图像配准可以分为刚性配准和弹性配准，其中刚性配准的研究已较为成熟，而弹性配准研究则刚刚起步弹性配准模型又可以分为参数模型和非参数模型参数模型本质上是一个图像的多参数最优化问题，首先根据具体的配准问题确定一个衡量是否配准或配准程度的准则，然后根据配准准则定义一个适当的目标函数，最后通过对目标函数的最优化搜索得到配准参数，因此最优化过程在配准过程中具有非常重要的地位本文将提出的算法应用于医学图像弹性配准样条参数模型的求解，主要介绍了样条弹性形变模型的核心思想，

5、相关的相似性测度函数，比较分析了最速下降法、谱梯度方法、混合谱梯度方法对该模型的求解效果；还尝试了分层多元谱梯度方法不同分层方式对该模型无标示和有标示问题的求解，每种算法均给出了配准后的效果图关键词：谱梯度方法，无约束最优化，大规模优化，非线性方程组，非单调线搜索，全局收敛性，弹性配准一一英文摘要：，一英文摘要，：，英文摘要，：，一致谢及声明声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声

6、明的法律结果由本人承担。学位论文作者：二阻日期：谜！圣！致谢及声明声明本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。学位论文作者：彝立：日期：丝划一导师签一第一章绪论第一章绪论本章主要介绍了谱梯度方法的研究现状和医学图像弹性配准的相关知识，全面总结了谱梯度方法的发展历程，着重分析了全局的谱梯度算法，详细介绍了谱梯度方法在凸约束优化和方程组求解中的推

7、广、应用，以及医学图像弹性配准的相关概念和研究进展最后介绍了论文的主要工作和内容安排谱梯度方法最优化问题的数学模型如下：（），劈其中，函数，是定义在舻上的实值函数若舻，则称问题（）为无约束最优化问题（简称无约束问题）无约束问题通常记为（）肝（）无约束问题不仅出现在一些应用领域，如经济学、社会学、理学、工程应用、管理科学等，也是理论研究领域的研究重点，因为许多优化问题是转化为无约束问题求解的无约束问题的一个主要研究内容就是求问题（）的解此时，常常假设厂光滑由无约束问题解的最优性条件可以构造求解无约束问题的下降算法，其基本思想是从某个初始点出发，按照使目标函数值下降的的原则构造点列），即点列南）满

8、足条件（）（），算法的最终目标是使得点列）中的某个点或某个极限点是问题（）的解或稳定点下降算法的一般步骤是（）其奄为搜索方向，知为步长因子，可由一维线搜索获取下降算法多是基于梯度的算法，是局部算法，即寻找充分靠近初始点的一个稳定点已经有许多有效的梯度下降法，如最速下降法、牛顿法、拟牛顿方法、信赖域方法和共轭梯度法一般来讲，这些方法收敛快且可以获得高精度的解，已经被成功的应用于很多领域我们着重讨论其中的最速下降法一一第一章绪论最速下降法最初是眭在年提出的，故也常被称为方法，有时也会简称为梯度法若记夕为厂的梯度函数，最速下降法可以表述为：算法（最速下降法）步给出舻，厶：；步计算一；如果，则停止；步

9、由精确一维搜索求步长因子七，使得（七七）恕占，（巩如）；步步（）计算七七；：。转步于年证明了上述算法产生的序列钆）趁。的任意极限点是稳定点，即满足夕（）但对于许多问题，最速下降法并非”最速下降”，而是下降非常缓慢数值实验表明，当目标函数的等值线接近于一个圆（球）时，最速下降法下降较快，而当目标函数的等值线是一个扁长的椭球时，最速下降法开始几步下降较快，然后就会出现锯齿现象，下降十分缓慢其原因是因为一维搜索满足夕玉，且鲰函，这表明在相邻两个迭代点上函数厂（）的两个梯度方向是互相垂直的，即两个搜索方向互相垂直，就产生了锯齿形状当接近极小点时，步长愈小，前进愈慢所以，最速下降法虽然在优化领域有着广泛

10、的应用，但是在解决实际问题时，它经常产生锯齿现象，导致算法收敛的很慢甚至不能收敛总之，最速下降法的主要缺点是：（）每步迭代是独立于其他迭代点独立计算，没有储存信息和加速效果，（）不具有二次终止性，（）收敛速度强烈依赖于目标函数的结构特征，若函数厂的矩阵的最大与最小特征值的比值很大，最速下降法在最优解附近就会发生锯齿现象在多数情况下它的收敛速度很慢且已被广泛接受和于年提出了两点步长梯度法【，其基本思想是利用迭代当前点和前一点的信息来确定步长因子，有时也被称之为梯度法两点步长梯度法本质上是一种最速下降法，它沿着负梯度方向的步长的选取类似拟牛顿方法，是借助于前两步迭代点的位置信息和梯度信息逼近割线方

11、程若记孤为迭代一一第一章绪论点七处的梯度，两点步长梯度法的迭代公式可写作巩一赢矶，其中因子七由（）。丽：挚业未一鲰一魏一知一奄一，瓠一一（）或（）给出，而（）两点步长梯度法步长因子的选取与拟牛顿方程鼠一一（）有一定联系上式中的鼠是一个礼×咒阶的对称正定矩阵，它逼近函数，（）在点处的矩阵事实上，若记矩阵七。，则由奄一一一（）而得，当鼠巧时（）和（）是没有差异的类似的，由仇一仇纨一得到，当七时（）和（）则是一样的其实，已经在有限记忆的拟牛顿算法里作为初始矩阵的比例因子，详细的内容可以参看【】另一方面，两点步长梯度法的步长因子与商有着紧密联系注意到玑一嵋了七一七一）硼】南一，这里，了表示梯

12、度函数的矩阵因此，（）是如下形式妁商己旧（一）一七一一第一章绪论式子（）是如下形式拘商己（片（一一）棚尸詹（一一）一乏詹（一一）一为谱系数谱梯度算法可描述如下：算法（谱梯度法）步因此，两点步长梯度法又被称为谱梯度方法，而步长因子（）或（）也相应地称给出舻，后：；步计算毗一肌；如果鲰，则停止；步如果，利用一维搜索求；否则，利用（）或（）计算口七步夏女，步：，转步谱梯度方法无论在理论还是实际应用中都优于古典的最速下降法对于二维的严格凸二次函数，谱梯度方法具有超线性收敛阶，且与最速下降法不同的是，当矩阵病态时谱梯度算法的收敛速度反而是增加的谱梯度方法的发展对于二次函数的极小化问题（）去一矿，厶（）当

13、问题的维数时，和（）证明了此时谱梯度方法具有超线性收敛速度，且用一个几的例子说明了谱梯度方法远比古典的梯度方法有效，但没有给出其他的数值实验之后，（）】对任意维的二次函数，讨论了谱梯度方法与（）中矩阵的谱之间的关系当（）是任意维的严格凸二次函数时，（）证明了谱梯度方法总会收敛到问题（）的唯一解但这两篇文章都没有给出任何数值实验，也没怎么引起大家的重视由于谱梯度方法的收敛性分析很困难且没有统一的标准，所以收敛结论多是针对凸二次函数的分析当（）是任意维的凸二次函数时，和（）！伸】建立了（预条件的）谱梯度方法的线性收敛速度的求证，但有一个假设入这里入，分别是矩阵的最小和最大特征值这一一第一章绪论个假

14、设要求太强，和（）没有用这个假设，在深入分析（）的证明后，建立了谱梯度方法具有线性收敛速度的结论，一个直接的推论就是，对一般的目标函数谱梯度方法具有局部的线性收敛速度，所以，结合了非单调线搜索的谱梯度方法，只要参数选用适当，迭代靠近最优解时的步长因子总是可以接受的然而，很少有人研究谱梯度方法迭代的渐进过程，即使是对二次函数也仅仅知道维数的情形和（）针对朋寸称正定的二次函数分析了计算谱梯度方法渐进过程的可行性，观察到礼时的某些值，随着他的增加有一个从超线性收敛到线性收敛的转变，从而给出了谱梯度方法的一个简单版本，可以预测这个转变之后，等人（）通过仿真谱梯度算法对二维二次函数极小化的求解，提出了极

15、小化二次函数的自适应步长的谱梯度方法，利用拟信赖域技术在两个谱系数（）和（）间选取合适的一个作为步长他们的数值实验说明自适应的谱梯度方法优于谱梯度方法，特别是系数矩阵非常病态时仍可达到要求的精度另外，当限制低精度时自适应谱梯度方法优于线性共轭梯度方法等（）将【】【】的结果推广，提出一类重开始的非单调梯度法，并建立了收敛性，用不同的例子说明了这些新方法的优点和（）】在说明法效果差归因于最优步长的选取而不是梯度方向的取法后，将的线搜索方法推广提出了一种法和法相结合的新梯度法：（）方法这种方法在适当的范数下可以有一线性收敛速度这种方法也是非单调的，其核心思想是在每步迭代时计算一次步长迭代两次文提出的

16、梯度类算法是方法的一种特殊情况，当，是严格凸的二次函数时【】已经建立了方法的全局收敛性对于一般的凸二次函数，则由文】给出了方法线性收敛的证明，而文【】则对一般的非线性目标函数证明了方法的局部线性收敛性对一般的非线性目标函数，谱梯度方法仅是局部收敛而非全局收敛，它的全局收敛性借助于非单调线搜索得到【，对一般的非二次函数极小化问题（），（）建立了全局的谱梯度方法，耳（）方法方法是由谱梯度方法和等人提出的非单调线搜索策略【】结合而成，对一般的光滑无约束问题可以证明具有全局收敛性这篇文章另一同等重要的内容在于，它提供了大量的数值实验，部分问题的维数甚至高达实验结果显示，全局谱梯度方法在数值表现上可以媲

17、美一些标准的共轭梯度算法（）对算法作了进一步分析讨论，解释了为什么它会优于共一一第一章绪论轭梯度法，说明了非单调线搜索在全局收敛性中的重要性，指出【】中的非单调线搜索方式并不是全局谱梯度方法最好的选择，并给出了其他的替换选择其实，对于一般的非二次函数极小化问题，（）和（）中的和月匕：会非常大或非常小，甚至对非凸函数还可能是负的，这些都可能造成算法不收敛因此，必须要求（）和（）中的值满足七口，（）对所有的正整数成立，这里的乜，“是给定的固定值然而，这样仍不能保证算法对一般非二次函数的收敛性，所以，需要对步长因子的选取作些其它的限制由于谱梯度方法的步长因子不能保证目标函数值的单调下降性。而它对正定

18、二次函数又有较好的收敛速度，所以全局算法既要尽可能的选择谱系数作为步长因子，又要维持谱梯度算法的局部收敛速度，就得采用非单调线搜索策略值得注意的是，非单调的全局技术对困难的非线性问题是非常有效的，因为它不仅具有默认步长因子特殊的局部收敛性质，更重要的是它可以跳出局部极小方法中采用的是的非单调线搜索公式七七）。毗）七一歹）靠也，（），（，），（，】这是一种基于型的非单调线搜索，（）中的是一给定参数全局谱梯度算法是对谱梯度算法加（）和（）的步长因子限制得到的，数值结果显示全局谱梯度算法在梯度计算次数和时间上有时甚至优于一些共轭梯度算法，然而，数值结果也显示，对一些病态的问题全局谱梯度算法是失效的注

19、意到，（）满足时，需要每步迭代的七必须落在水平集七：）。蛐（）七一）（）中这个限制太严格了，要求，（，）均要落在局部极小点附近，致使线搜索实施过程中这样的非单调线方法可能不是很有效另一个后果是，对病态的凸问题和困难的非线性问题，全局谱梯度算法强烈依赖初始点的选取和参数以一个凸问题（目标函数含有一个小的非凸项）为例，分析了增加非单调性的重要性和必须性，同时介绍了比（）稍弱些的非单调搜索原则在同一一第一章绪论一篇文献中，丕分析了凸问题，提出了一种基于梯度范数的非单调线搜索方法，它不需要计算函数值，且数值应用效果良好另外，在分析了谱梯度方法对大多数问题在数值上的非单调行为，以及为何比共轭梯度法有效的

20、原因后，进一步强调了谱梯度方法需要和非单调线搜索结合的重要性之后，等人【驯对一般的非凸问题定义了两种新的非单调线搜索方法，使得一些点可以跳出当前的水平集驴，但最终仍会收敛到目标函数，在中的稳定点，且不会收敛到局部极大值其中的一种方法将看门狗技术引入（），可以看作是（）的修正；另一种方法主要是采用，（七以）。（奄，），知一）饥吾毗一能比，（）饥，饱，他的搜索准则这两种搜索方式与谱梯度方法结合后形成了新的算法，等人还证明了相关算法的全局收敛性，并做了大量的数值研究辅助说明算法对大规模无约束问题的有效性文贝提出了一种新的非精确线搜索策略，线搜索是它的特殊情况，与下降法结合的新算法在某些情况下也即为谱

21、梯度方法方法其他的修正，主要旨在提高算法效率和降低线搜索参数的影响方面文提出了一种自适应的非单调线搜索策略，可以降低非单调搜索中参数对算法的影响，与谱梯度方法结合得到了自适应的谱梯度算法，该算法同样具有全局收敛性，而且数值结果良好，但与（）相比又多了个参数文贝从插值的角度解释了谱系数的选取其实，对于一维的优化问题，谱梯度方法就是切线法，在高维情形下，谱系数不仅可以由拟牛顿方程得到，还可以由和七间的二次插值得到从而，文提出了两种新的计算步长因子的方法，当，（）在七一和七间是二次函数时，新步长就等同于（）和（）基于这两种新步长因子文还提出了两个求解无约束问题的修正两点步长梯度法文【】则对搜索方法做

22、了一定的限制后提出了预条件的谱梯度方法而文针对带强噪声的无约束问题提出了一种更有效的策略：谱梯度方法和随机逼近方法的有效结合无约束问题（）的求解往往借助于一阶必要条件，即极小值处的梯度为零一一第一章绪论利用这点构造无约束问题的解法可归为这样两种：（）几何解法，构造迭代序列。态，最简单的梯度流，七以夕礼，其中以为下降步长，钆为下降方向当一，以取作谱系数时，即为谱梯度方法的迭代格式（）动力系统，即梯度流方法最优解满足某一动力系统的稳定状掣一（亡），亡，【（）梯度方法】引入梯度流，构造了求解非线性问题的预条件梯度流法（）显然，对时间的离散化后即是简单的梯度法和将预条件的谱总之，谱梯度方法由于其简单性

23、、数值有效性和对存储空间的极小需求，已经受到越来越多研究学者的关注也延伸到了许多其他的研究领域谱梯度方法的应用谱梯度方法虽然不能保证目标函数值在每一步迭代的下降性，但在实际计算时远远优于经典的最速下降法，甚至比一些共轭梯度法还快，而且谱梯度方法往往只需要极少的计算量且编码简单，所以已经被推广并广泛地应用于其它领域谱梯度方法最早最直接的应用是在化学中的应用方法提出后，被成功应用于物理研究【】，且被推广求解凸约束优化、随机优化、方程组求解等问题（）的想法后来在】中进一步扩展，用于极小化闭凸集上的可微函数，从而引出了一类更有效的投影梯度法：谱投影梯度法啪锄】此外，矛等对谱梯度方法及其应用也做了大量的

24、研究【坫，文禾用梯度投影法和活动集技术将谱梯度方法推广至求解箱形约束优化问题凸约束优化中的应用在谱梯度方法的基础上，、和提出了一种求解凸约束优化（）（）的谱投影梯度（）方法，简称为方法（）中为闭一一第一章绪论凸集该方法的主要思想是在当前迭代点七处，计算搜索方向（一口七鲰）一七，（名）是向量在闭凸集上的垂直投影，而七即为谱系数新的迭代点知，（）（）其中七为迭代步长当闭凸集上的投影易于计算时，方法非常有效，特别是对箱形约束和球形约束这种情形下，方法特别易于编码而且所需的存储空间很少令人吃惊的是它的数值表现很好，优于与之比较的复杂的信赖域算法到目前为止，算法已经成功的解决了许多学术问题和工业问题文】

25、列举了大量的数值实验，结果显示步长取为谱系数比取作常数求解算法效率有极大的提高，而且非单调线搜索也很有效然而，其中的收敛定理证明有一点小错误，原因是情形（见文的页）的证明里，错误的将序列七看作是序列的子列，所以原文献里的结论是得不到的事实上，如果添加一些合适的条件，该定理的结论仍然成立文献】重新研究方法的收敛性，去掉了原定理中各种无界的假设，证明了如果目标函数的梯度函数一致连续，则方法收敛且投影梯度序列趋近于零向量，在适当的条件下方法还有一些令人鼓舞的收敛性质，如全局收敛性和有限终止性鉴于方法的成功，文将算法应用求解条件约束问题，（），（），（）的外层迭代，并做了大量的数值实验来评价算法的应用

26、（）的目标函数，：兄和约束函数九：形舻均为一阶连续可微，舻龟（），其中连续可微且为凸函数另外，文将【】中求解无约束优化拘（）方法推广到求解箱形约束问题（）：），一一（）第一章绪论其中，是连续可微的实值函数，定义在集合召钟：），其中，或者如一或且与（具体说明见】）和（数值比较（），）方法做了对于箱形约束问题，文在箱形约束可行集内部迭代时采用了比例循环的谱梯度迭代，从而提出了一种求解箱形约束的仿射比例算法，与非单调线搜索结合后具有全局收敛性，当满足二阶充分优化条件时具有局部的线性收敛速度，数值实验显示收敛速度对问题条件不敏感文将活动集技术与谱梯度方法结合用于求解大规模的箱形约束问题，全局收敛性也借

27、助于非单调线搜索得到，数值实验结果可与算法媲美线性方程组求解显然，求解（）等价于求解线性方程组，（）其中对称正定若记吼为点乱处的残量，即鲰七一，则很容易得到求解问题（）相应的最速下降法和谱梯度法等【给出了这两种方法的一般形式，并比较了几种不同的步长选举策略等人【】对求解非对称线性方程组（系数矩阵煳非奇异但不一定是对称正定阵）的谱梯度方法予以分析假设未知量仅有两个变量且有两个实特征值，此外，还假设：纨对任意的成立，这个假设并不能保证是正定的，而这恰是，所需要的在这些假设下，等证明了：如果有两个相同的特征值，谱梯度法是一超线性收敛的；如果有不同特征值，谱梯度法几乎对所有的初始点收敛且具有超线性收敛

28、性这些结论强烈的依赖于文中两个非线性递推关系的分析研究文中还指出，谱梯度法的收敛性与矩阵的对称程度有关如果陵近于对称矩阵，算法则收敛的很快；反之，若明显的非对称，则算法收敛的很慢而且，谱梯度法求解非对称线性方程组的收敛速度慢于求解对称线性方程组的收敛速度，当对称时，若有两个相同特征值则谱梯度法至多两步收敛；若有一对相异特征值，由【】可知该方法的超线性收敛阶是一，是任一第一章绪论一比以小的正数；当非对称时，若有相异特征值则超线性收敛阶仅为所以，要加速求解非对称线性方程组的谱梯度法的收敛速度，需要进一步研究怎样将非对称矩阵变化以提高它的对称性另外，至子空间方法中】还将谱系数用大规模非线性方程组求解

29、近年来，谱梯度方法己被用于求解大规模非线性方程组问题【蝴】考虑非线性方程组问题：（），研，（）其中，：毋为连续可微的非线性映射我们着重讨论迭代求解和大规模情形，即当很大，（）相应的矩阵无法获取或存储量太大无法承受、计算时间太长无法接受的情形求解非线性方程组的基本迭代解法主要有三种第一种为固定点迭代，此方法仅需要函数（）的信息，以残向量作为搜索方向第二种为有限差分或不精确牛顿法，此方法建立在子空间投影理论上，需要用一向量逼近矩阵的变化从而保持牛顿法的快速收敛性【最后一种方法相关的研究很少，也许因为要用到一些方法的有限记忆手段【其中主要的解法有牛顿法和拟牛顿法，嘶这些方法在充分靠近真解时具有快速的

30、局部收敛速度，但不适用于求解大规模非线性方程组问题，因为每步迭代需要利用矩阵或其近似求解一线性系统全局收敛技术一直是非线性方程组求解中的一个主要的研究内容，即保证从任一初始点都可以收敛逼近最优解经典的作法是引入对偶函数。如（）（）（），利用线搜索或信赖域技术极小化，（）在适当的假设前提下，理论上可以通过合适的极小化算法收敛到非线性系统的解然而，因为（）狗矩阵是未知的，全局算法不能用到对偶函数厂（）的梯度信息，因此，要建立收敛理论必须用有限差分逼近厂（）的梯度或依赖于合适的全局收敛理论和无梯度方法在这样的框架下。等人建立了求解大规模非线性方程组的谱算法（），迭代格式（）巩一（七）（），一一第一章

31、绪论七取作谱系数的适当修改全局收敛性由【】中的非单调线搜索方法的变形得到，搜索方向一（七）七，线搜索中的（七）七用向前差分获得同时（）以逼近值的符号还被用于确定搜索方向的符号原则上，这种方法的收敛条件就要求（）的梯度不能与（）正交即使这样，算法的数值表现在计算时间上与一些牛顿型方法比仍具有竞争力之后，等人又提出了一种新的无梯度线搜索方法，进一步给出了求解大规模非线性方程组问题的（）方法【，数值实验表明该方法非常有效等人】定义分析了一系列针对无约束问题的非单调无梯度的线搜索策略，并介绍了一种结合了看门狗技术和非单调线搜索的全局技术，将其与谱梯度方法结合用于求解大规模非线性方程组和将谱梯度方法和文

32、】中的投影方法结合用于求解非线性的单调方程组类似于【】，等人【】则将共轭梯度法与中的搜索方法结合后应用于求解大规模非线性方程组问题喻【也作了一些这方面的研究医学图像弹性配准医学图像配准是指寻找联系两幅医学图像间的几何变换，使两幅图像上的对应点达到空间上的一致医学诊断和治疗过程中，常需要对比分析多幅图像，以获得更为精确和全面的信息图像分析大都要求多幅图像的几何位置一致，因此配准是医学图像分析的一个重大课题图像配准不仅可以校正病人多次成像问的位置变化，也可以校正由于成像模式本身导致的畸变对同一个病人的不同时间的图像进行配准，可以了解发育过程及肿瘤或退行性病变的病情进展；对不同人的图像进行配准，去除

33、种族、年龄等临床及遗传差异，从而形成疾病或人群特异性图谱，可用于正常与否的分析；对不同成像模式进行配准，可以获得互补信息用兄和表示待配准的两幅图像，其中兄为参考图像（），表示检验图像（）配准过程就是要找到一个空间变换西，使参考图像与变形后的检验图像达到空间上的一致性即选择合适的相似性测度（）使得它们的相似性（，）（，西（）（）达到最大其（）是相似性测度，也常常称为价格函数（）或目标函数（）圣为参考图像和检验图像之间的空间变换，如果这个变形函一一第一章绪论数表示线性关系，这种变形就称为刚性变形【；如果表示非线性关系，则称为弹性变形【”图像配准的过程可归结为变换模型（，西（），（）即寻求使得（，西

34、（）取得最大值的空间变换西变换模型中的参数可能的取值范围称为搜索空间，参数的个数称为变换模型的自由度参数的个数与变换模型的特性有关，不同的变换模型，其自由度常常是不同的二维刚体变换只有三个自由度，分别表示坐标轴方向上的平移和空间的旋转角度：三维刚体变换则有六个自由度，分别表示三个坐标轴方向上的偏移量和相对旋转角度，参数的取值范围根据特定的应用和实际情况进行选取；弹性配准所含参数更多，有可能达到成千上万个，变换模型更加复杂图像配准是信息融合研究中的一项重要课题对于部分计算机视觉和模式识别任务而言，图像配准是其关键和先决条件图像配准依据其解决图像形变的能力而分为刚性配准方法和弹性配准方法两类其中，

35、刚性配准只解决刚性形变问题，是寻找一个六自由度（三个旋转，三个平移）的变换，使得参考图像中的点映射到检验图像中的对应点经过多年的发展，用于同一模式和不同模式的刚性配准算法已经成熟，可以达到很高的配准精度，并且能够临床应用弹性变换具有足够的通用性，可以逼近任意的非线性变换，则可以处理图像中存在的弹性形变（亦称为非刚性形变）相对于刚性配准方法而言，弹性配准方法的研究起步较晚，是近些年才开始的从现有文献来看，目前弹性配准方法的研究主要集中在基于区域的方法中弹性变换的变形模型基本可以分为两类：一类是非参数化模型在这种模型中，图像被看成是一片有弹性的薄膜，在外力和内力的作用下达到平衡外力由参考图像和变形图像（即检验图像）的差异确定；内力由薄膜的强度和平滑程度确定主要有以下几种模型：、弹性力学模型思路是将检验图像到参考图像的变形过程建模为一个物理过程，类似于拉伸一个诸如橡皮的弹性材料这个物理过程由两种力来控制内力和外力内力是由于弹性材料的变形和抵消任何使弹性体从平衡形状变形的力产生的外力是外界作用于弹性体的力，当作用于弹性体上的外力和内力达到平一一第章绪论衡时变形过程结束弹性体的变形可以由线性偏微分方程（，）（）（乱（，），（，）（）来