空间向量与立体几何

1、一选择题（共15小题）1（2009奉贤区二模）（理）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1C1上，且，则（）ABCD2已知，且，则（）ABCDx=1，y=13下列命题正确的是（）A若与共线，与共线，则与共线B向量共面就是它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若，则存在唯一的实数使得4如图，空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且OM=MA，N为BC中点，则等于（）Aa+b+cBab+cCa+bcDa+bc5设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A（，）B（，）C（，）D（，）6（2004贵州

2、）已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（）A1BCD27（2007江苏一模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成的角为（）AarctanBCD8（2004武汉模拟）从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB和平面PBC所成二面角正弦值为（）ABCD9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=CC1，ACBC，点D是AB的中点，则直线B1B和平面CDB1所成角的正切值为（）ABCD10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，若二面角CABC1的大小

3、为60°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为（）ABCD11在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，则BD到平面GB1D1的距离是（）ABCD12若=（2，3），=（4，7），则在方向上的投影为（）ABCD13已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）ABCD14若向量=（1，2），=（2，1，1），夹角的余弦值为，则等于（）A1B1C±1D215如图，正方体ABCDA1B1C1D1直线AD1平面A1C1的夹角为（）A30°B45°C90°D60&#

4、176;二填空题（共7小题）16已知=（3，3，2），=（4，3，7），=（0，5，1），则（+）=_17（2010江西）已知向量，满足|=2，与的夹角为60°，则在上的投影是 _18（2010唐山一模）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC=90°，且AA1=AD=DC=2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM=_19（2005南汇区一模）在棱长为4厘米的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，那么点B到平面B1EF的距离是_厘米20如图，正三棱柱ABCA1B1C1（底面是正三角形的直棱柱为正三棱柱）的每条棱长均为2，E、F分

5、别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于_21如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AA1=2，则二面角C1ABC的余弦值为 _22正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成角的大小为_三解答题（共8小题）23（2008南汇区二模）直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=a，BCA=90°，AA1=2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点（I）求BN的长；（II）求BA1，CB1夹角的余弦值24（2008海南）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA=60°（）求DP与CC所成角的大小；（）求DP与平面AADD所成角的大小

6、25（2008北京）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离26（2004重庆）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值27如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1ADC1的大小28（2012武汉模拟）如图

7、，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ADB=90°，AB=2AD（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值29（2012上海二模）直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是BC、AA1的中点求：（1）异面直线EF和A1B所成的角（2）直三棱柱ABCA1B1C1的体积30（2008长宁区二模）在长方体ABCDA1B1C1D1中（如图），AD=AA1=1，AB=3，点E是棱AB上的点，当AE=2EB时，求异面直线AD1与EC所成角的大小，并求此时点C到平面D1DE

8、的距离2013年10月胡金朋的高中数学组卷空间向量与立体几何参考答案与试题解析一选择题（共15小题）1（2009奉贤区二模）（理）在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E在A1C1上，且，则（）ABCD考点：空间向量的基本定理及其意义专题：计算题分析：利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求解答：解：由题意，故选D点评：本题的考点是空间向量的基本定理及其意义，考查棱柱的结构特征，向量加减运算，是基础题2已知，且，则（）ABCDx=1，y=1考点：共线向量与共面向量专题：计算题分析：根据已知条件分别求出、的坐标，利用空间向量共线的充要条件，即

9、可求出结果解答：解：，=（1+2x，4，4y），=（2x，3，22y），解得故选B点评：此题考查空间向量共线的充要条件，以及运算能力，属基础题3下列命题正确的是（）A若与共线，与共线，则与共线B向量共面就是它们所在的直线共面C零向量没有确定的方向D若，则存在唯一的实数使得考点：共线向量与共面向量专题：综合题分析：从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D推出正确命题选项解答：解：若与共线，与共线，则与共线，如果，与不共线，A不正确向量共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线零向量没有确定的方向，满足零向量的定义若，则存在唯

10、一的实数使得，不正确，因为，存在这一条件故选C点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生基本知识掌握运算的能力4如图，空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且OM=MA，N为BC中点，则等于（）Aa+b+cBab+cCa+bcDa+bc考点：空间向量的基本定理及其意义专题：计算题分析：由题意，把，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案，选出正确选项解答：解：由题意=+=+=+=+又=，=，=+故选A点评：本题考点是空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题

11、是向量的基础题5设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则（x，y，z）为（）A（，）B（，）C（，）D（，）考点：空间向量的加减法专题：计算题；待定系数法分析：由题意推出，使得它用，来表示，从而求出x，y，z的值，得到正确选项解答：解：=（+）=+（+）=+（）+（）=+，而=x+y+z，x=，y=，z=故选A点评：本题考查空间向量的加减法，考查待定系数法，是基础题6（2004贵州）已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC的距离为（）A1BCD2考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题；

12、压轴题分析：由已知中球的表面积为20，我们可以求出球半径R，再由ABC中，AB=AC=2，BC=2，解三角形我们可以求出ABC所在平面截球所得圆（即ABC的外接圆半径），然后根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，我们即可求出球心到平面ABC的距离解答：解：球的表面积为20球的半径R=又AB=AC=2，BC=2，由余弦定理得CosA=则SinA=则ABC的外接圆半径2r=4则r=2则球心到平面ABC的距离d=1故选A点评：本题考查的知识点是空间点、线、面之间的距离计算，其中根据球心距d，球半径R，截面圆半径r，构造直角三角形，满足勾股定理，是与球相关的距离问题常用方

13、法7（2007江苏一模）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线A1B与平面BC1D1所成的角为（）AarctanBCD考点：直线与平面所成的角专题：计算题；综合题分析：建立空间直角坐标系，求出平面BC1D1的法向量，利用公式求出直线A1B与平面BC1D1所成的角解答：解：如图建立空间直角坐标系，设棱长为1，是平面BC1D1的法向量，=（0，1，1）=（1，0，1）直线A1B与平面BC1D1所成的角为sin=所以故选B点评：本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题8（2004武汉模拟）从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面P

14、AB和平面PBC所成二面角正弦值为（）ABCD考点：与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题分析：截取PA=PB=PC=a，由于每两条射线夹角为60°，所以四面体PABC正四面体取PB得中点O，连接OA，OC，则AOC就是所求二面角的平面角，从而可求解答：解：由题意，截取PA=PB=PC=a，由于每两条射线夹角为60°，所以四面体PABC正四面体取PB得中点O，连接OA，OC，则AOC就是所求二面角的平面角，在AOC中，故选A点评：本题的考点是与二面角有关的立体几何综合，主要考查求解二面角的平面角，关键是由题意作出二面角的平面角9如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=

15、BC=CC1，ACBC，点D是AB的中点，则直线B1B和平面CDB1所成角的正切值为（）ABCD考点：直线与平面所成的角专题：计算题分析：以D为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC1=2，我们易求出几何体中各顶点的坐标，及而求出直线B1B的方向向量和平面CDB1的法向量，代入向量夹角公式，求出直线B1B和平面CDB1所成角的正弦值，再由同有三角函数关系，即可求出直线B1B和平面CDB1所成角的正切值解答：解：以D为坐标原点，以CA，CB，CC1为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，令AC=BC=CC1=2则C（0，0，0），A（2，0，0），B

16、（0，2，0），D（1，1，0），B1（0，2，2）则=（0，0，2），=（1，1，0），=（0，2，2）设=（x，y，z）为平面CDB1的一个法向量则，即令x=1则=（1，1，1）则cos=设直线B1B和平面CDB1所成角为则sin=，cos=则tan=故选D点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中建立适当的空间直角坐标系，将空间线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，若二面角CABC1的大小为60°，则异面直线A1B1和BC1所成角的余弦值为（）ABCD考点：与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题分析：取AB的中

17、点D，连接CD，C1D，利用ABA1B1，将异面直线A1B1和BC1所成角转化为异面直线AB和BC1所成角，在ABC1中解决解答：解：如图取AB的中点D，连接CD，C1D，则有CDAB，C1DAB，C1DC=60°，在ABC1中，cosABC1=，ABA1B1，因此ABC1是直线A1B1与BC1所成的角或补角，因此直线A1B1与BC1所成的角的余弦值是故选D点评：本题考查正三棱柱的性质、二面角的意义及异面直线所成的角解决的关键是将空间角化为平面角，在三角形当中去解决11在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，则BD到平面GB1D1的距离是（）ABCD考点：点、线、面间的距离计算

18、专题：转化思想分析：画出图形，说明BD到平面GB1D1的距离，就是求O到O1G的距离，解三角形GOO1即可解答：解：BD平面GB1D1，上下底面的中心分别为O1，O，求O到O1G的距离h，GO=GO1=；O1O=2 ；h=故选B点评：本题考查正方体的线段间的距离，考查作图能力，转化思想，中线到平面的距离，转化为点到平面的距离，进而转化为解三角形的问题，转化思想是求几何体的高，距离，是重要方法12若=（2，3），=（4，7），则在方向上的投影为（）ABCD考点：向量的投影专题：计算题分析：向量在向量上的投影为 ，代入数据计算即可解答：解：=8+21=13.=向量在 在向量上的投影为 =故选B点评

19、：本题考查向量投影的概念，牢记公式是前提，准确计算是关键13已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是（）ABCD考点：与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；转化思想分析：因为D1D面ABCD，故可由三垂线定理法作出二面角的平面角，再求解解答：解：因为D1D面ABCD，过D做DHAE与H，连接D1H，则D1HD即为截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的平面角，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在D1HD中，D1D=1，因为DAHABE，所以DH=所以D1H=，所以sinD1HD=故选C点评：本题考查二

20、面角的做法和求解、解三角形知识，考查空间想象能力和运算能力14若向量=（1，2），=（2，1，1），夹角的余弦值为，则等于（）A1B1C±1D2考点：用空间向量求直线间的夹角、距离专题：计算题分析：根据向量=（1，2），=（2，1，1），求得，和|、|，代入cos，=即可求得的值解答：解：cos，=解得=1故选A点评：考查空间向量的数量积和模的运算，和利用数量积求向量的夹角，属基础题15如图，正方体ABCDA1B1C1D1直线AD1平面A1C1的夹角为（）A30°B45°C90°D60°考点：直线与平面所成的角专题：计算题；转化思想分析：在正方

21、体ABCDA1B1C1D1中，证明A1A平面A1C1，则AD1A1=，就是直线AD1平面A1C1所成角，解直角三角形AD1A1即可解答：解：正方体ABCDA1B1C1D1中，A1A平面A1C1，直线A1D1是直线AD1在平面A1C1内的射影，AD1A1=，就是直线AD1平面A1C1所成角，在直角三角形AD1A1中，A1D1=A1A，AD1A1=45°故选B点评：考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题二填空题（共7小题）16已知=（3，3，2），=（4，3，7），=（0，5，1），则（+）=9考点：空间向量运算的坐标

22、表示专题：空间向量及应用分析：根据向量坐标形式的运算律进行计算即可解答：解：由于=（3，3，2），=（4，3，7），则+=（7，0，9）又由=（0，5，1），则（+）=（7，0，9）（0，5，1）=9故答案为 9点评：本题考查向量坐标形式的运算，掌握其运算律是解题的关键17（2010江西）已知向量，满足|=2，与的夹角为60°，则在上的投影是 1考点：向量的投影专题：常规题型；计算题分析：根据投影的定义，应用公式|cos，=求解解答：解：根据向量的投影定义，在上的投影等于|cos，=2×=1故答案为：1点评：本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用1

23、8（2010唐山一模）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC=90°，且AA1=AD=DC=2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM=考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题分析：由D1M平面A1C1D可知D1M1 A1D，由三垂线定理逆定理得到M在面DAA1D1上的射影为A，同理M在面DCC1D1上的射影为C利用DM2=DA2+DC2=8 即可求出DM解答：解：D1M平面A1C1D，A1DD1M，设D1M在面ADD1A1上的射影为D1M1，由三垂线定理逆定理，D1M1 A1D，AA1=AD=DC=2，D1AA1D，M1与A重合同理M在面DCC1D1上的射影为C

24、所以AMCD是正方形，DM2=DA2+DC2=8，DM=2故答案为：2点评：本题考查直线和平面，直线和直线的位置关系，距离的计算，得出AMCD是正方形是关键考查空间想象、计算的能力19（2005南汇区一模）在棱长为4厘米的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，那么点B到平面B1EF的距离是厘米考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题；综合题分析：由BDEF，D1M在平面ABCD的射影为BD，由三垂线定理可得D1MEF，连接A1M，易证得D1MB1E，由线面垂直的判定定理，可得D1M平面B1EF；D1N平面B1EF，则D1N的长即为D1到平面B1EF的距离，连接B1D1

25、，解RtB1D1M即可得到D1N的长，进而得到点D1到平面B1EF的距离解答：解：D1M在平面ABCD的射影为BD又BDEF，D1MEF，连接A1M，D1M在平面A1ABB1的射影为A1M由A1M B1B1BE知A1MB1ED1MB1E，又B1EEF=E，D1M平面B1EF设B1HD1M于N，由知D1N平面B1EFD1N的长即为D1到平面B1EF的距离连接B1D1，则在RtB1D1M中D1N=cm故答案为：点评：本题考查的知识点直线与平面垂直的判定，点到平面之间的距离，解题的关键是证得D1N的长即为D1到平面B1EF的距离20如图，正三棱柱ABCA1B1C1（底面是正三角形的直棱柱为正三棱柱）

26、的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，则EF的长等于考点：点、线、面间的距离计算专题：计算题分析：由已知中正三棱柱ABCA1B1C1（底面是正三角形的直棱柱为正三棱柱）的每条棱长均为2，E、F分别是BC、A1C1的中点，我们可以建立空间坐标系，求出E，F两点的坐标后，代入空间两点间的距离公式，即可得到答案解答：解：以E为坐标原点，以EC，EA和竖直向上的方向分别为X，Y，Z轴的正方向建立坐标系，E是BC的中点，则E（0，0，0），A（0，0），C（1，0，0）A1（0，2），C1（1，0，2）F是A1C1的中点，则F点的坐标为（，2）则|EF|=故答案为：点评：本题考查的知识点是

27、空间点、线、面的距离，其中建立坐标系，求出E，F两点的坐标，是解答本题的关键21如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=1，AA1=2，则二面角C1ABC的余弦值为 考点：与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题分析：因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，故可通过建立空间直角坐标系，用向量法求解分别求出面C1AB和面ABC的法向量，再由夹角公式求两个向量所成角的余弦值即可解答：解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），=（0，1，2），=（，0）设n=（x，y，z）为平面ABC1的法向量则取n=（，2，1），取m=（0，0，1），作为平面ABC的法向量则cosm，n=二

28、面角C1ABC的余弦值为故答案为：点评：本题考查空间二面角的计算、空间向量，考查空间想象能力和运算能力22正四棱锥的底面边长为，体积为，则它的侧棱与底面所成角的大小为60°考点：直线与平面所成的角分析：由已知中正四棱锥的底面边长为 ，体积为，我们可以求出棱锥的高，从而求出它的侧棱与底面所成角为60°解答：解：由已知中正四棱锥的底面边长为 ，故底面积S=2又正四棱锥的体积V=正四棱锥的高为 正四棱锥的底面边长为 侧棱与底面所成角为60°故答案为：60°点评：本题考查侧棱与底面所成角，关键是利用棱锥的体积，求出棱锥的高，从而得解三解答题（共8小题）23（20

29、08南汇区二模）直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=a，BCA=90°，AA1=2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点（I）求BN的长；（II）求BA1，CB1夹角的余弦值考点：空间向量的夹角与距离求解公式；棱柱的结构特征专题：计算题分析：（I）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），=（a，a，2a），=（0，a，2a），再由cos，能求出BA1，CB1夹角的余弦值解答：解：以C为原点建立空间直角坐标系（I）B（0，a，0），N（a，0，a），（4分）（II

30、）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），=（a，a，2a），=（0，a，2a），=a×0+（a）×a+2a×2a=3a2，（8分）|=，|=，cos=（14分）点评：本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用cos进行求解24（2008海南）如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA=60°（）求DP与CC所成角的大小；（）求DP与平面AADD所成角的大小考点：用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求直线间的夹角、距离专题：证明题；综合题；转化思想分析：方法一：如

31、图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz连接BD，B'D'在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H求出（）利用，求出即可（）平面AA'D'D的一个法向量是通过，得到即可方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz求出解题过程同方法一解答：解：方法一：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则，连接BD，B'D'在平面BB'D'D中，延长DP交B'D'于H设，由已知，由可得解得，所以（4分）（）因为，所以即DP与CC'所成的

32、角为45°（8分）（）平面AA'D'D的一个法向量是因为，所以可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°（12分）方法二：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz则，设P（x，y，z）则，（x1，y1，z）=（，），则，由已知，24+2=0，解得，（4分）（）因为，所以即DP与CC'所成的角为45°（8分）（）平面AA'D'D的一个法向量是因为，所以可得DP与平面AA'D'D所成的角为30°（12分）点评：本题是中档题，考查空间向量求直线与平面的夹角，法向量的求法，直

33、线与平面所成的角，考查计算能力25（2008北京）如图，在三棱锥PABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的大小；（）求点C到平面APB的距离考点：与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算专题：计算题；证明题分析：（）欲证PCAB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB平面PCD，欲证AB平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面PCD内两相交直线垂直，而PDAB，CDAB，又PDCD=D，满足定理条件；（）取AP中点E连接BE，CE，根据二面角平面角的定义可知BEC是二面角BAPC的

34、平面角，在BCE中求出此角即可；（）过C作CHPD，垂足为H，易知CH的长即为点C到平面APB的距离，在RtPCD中利用勾股定理等知识求出CH即可解答：解：（）取AB中点D，连接PD，CDAP=BP，PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB平面PCDPC平面PCD，PCAB（）AC=BC，AP=BP，APCBPC又PCAC，PCBC又ACB=90°，即ACBC，且ACPC=C，BC平面PAC取AP中点E连接BE，CEAB=BP，BEAPEC是BE在平面PAC内的射影，CEAPBEC是二面角BAPC的平面角在BCE中，BCE=90°，BC=2，二面角BAPC的大小为（）

35、由（）知AB平面PCD，平面APB平面PCD过C作CHPD，垂足为H平面APB平面PCD=PD，CH平面APBCH的长即为点C到平面APB的距离由（）知PCAB，又PCAC，且ABAC=A，PC平面ABCCD平面ABC，PCCD在RtPCD中，点C到平面APB的距离为点评：本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题26（2004重庆）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PA底面ABCD，AEPD，EFCD，AM=EF（1）证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；（2）若PA=3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值考点：直线与

36、平面所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系专题：计算题；综合题；转化思想分析：（I）利用矩形，以及直线与直线的判定定理证明AMMF，MFPC，推出MF是AB与PC的公垂线（II）连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上推出OH面MAE连接AH，说明HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，在RtAHO中，求出sinHAO即可解答：（I）证明：因PA底面，有PAAB，又知ABAD，故AB面PAD，推得BAAE，又AMCDEF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AMMF又因AEPD，AECD，故AE面PCD，而MFAE，得MF面PCD，故MFPC，因此MF是

37、AB与PC的公垂线（II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上易知PD面MAE，故DEBE，又OHBE，故OHDE，因此OH面MAE连接AH，则HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，因RtADERtPDA，故，从而在RtAHO中点评：本题是中档题，考查异面直线的公垂线的证明，直线与平面所成角的正弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型27如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1ADC1的大小考点：与二面角有关的

38、立体几何综合题；异面直线专题：计算题分析：（）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知EDCC1，而EDBB1，即可证得；（）连接A1E，作EFAD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知A1FE为二面角A1ADC1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可解答：解：（）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB（2分）AB=BC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO平面ACC1A1，E

39、D平面ACC1A1，EDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线（6分）（）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF=，tanA1FE=，A1FE=60°所以二面角A1ADC1为60°（12分）点评：本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理

40、能力，属于基础题28（2012武汉模拟）如图，在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，ADB=90°，AB=2AD（）证明：PABD；（）若PD=AD，求二面角APBC的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质专题：综合题分析：（）由ADB=90°，得BDAD因为PD底面ABCD，所以PDBD由此能够证明BDPA（）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设AD=a，则=（a，a，0），=（a，0，0），=（a，0，a），=（a，a，a）从而得到平面PAB的法向量=（3，3）同理，求得平面PBC的一个法向

41、量为=（0，1，）由此能求出二面角APBC的余弦值解答：（本小题满分12分）解：（）由ADB=90°，可得BDAD因为PD底面ABCD，所以PDBD又PDAD=D，所以BD平面PAD，因为PA平面PAD，所以BDPA（4分）（）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设AD=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（a，a，0），P（0，0，a），=（a，a，0），=（a，0，0），=（a，0，a），=（a，a，a）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），得设y=，则x=z=3，得=（3，3）同理，可求得平面PBC的一个法向量为=（0，1，）所以cos，=由图形知，二面角APBC为钝角，因此二面角APBC的余弦值是（12分）点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用易错点是容易忽视二面角是钝角的情况29（2012上海二模）直三棱柱ABCA1B1C1的底面为等腰直角三角形，BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E，F分别是BC、AA1的中点求：（1）异面直线EF和A1B所成的角（2）直三棱柱ABCA1B1C1的体积考点：用空间向量求直线间