等差数列等比数列的题型分析

1、考点透视：高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题题型一：等差、等比数列的基本概念与运算等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的解决等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：基本量法，即运用条件转化成关

2、于a1和d的方程(组)；巧妙运用等差、等比数列的性质例1：(2011江西)设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和若S10S11，则a1()A18 B20 C22 D24解析由S10S11，得a11S11S100，a1a11(111)d0(10)(2)20.故选B.题后反思 ：本小题主要考查等差数列的通项、性质、前n项和以及数列的通项和前n项和的关系，解题的突破口是由S10S11得出a110.变式练习：1. (2011天津)已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90 C90 D110解析因为a7是a3与a9

3、的等比中项，所以aa3a9，又因为公差为2，所以(a112)2(a14)(a116)，解得a120，通项公式为an20(n1)(2)222n.所以S105(202)110，故选D.2.设数列an满足：2anan1(an0)(nN*)，且前n项和为Sn，则的值为()A. B. C4 D2解析：由题意知，数列an是以2为公比的等比数列，故.答案：A3. 已知两个等比数列，满足，.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.思路点拨：(1)根据条件表示出，结合是等比数列，求出其公比，进而得通项公式.（2）根据数列的唯一性，知q的一个值为0，得a的值.审题视点 (1)利用b1、b2、b3等比

4、求解；(2)利用(1)问的解题思路，结合方程的相关知识可求解解(1)设an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2.由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)，即q24q20，解得q12，q22，所以an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10.(*)由a0得，4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根，由an唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a.方法锦囊：关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果

5、在求解过程中能够灵活运用等差(等比)数列的性质，不仅可以快速获解，而且有助于加深对等差(等比)数列问题的认识4.设是公比为的等比数列，令，若数列的连续四项在集合中，则等于( )ABC或D或【知识点】递推公式的应用；等比数列的性质解：bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中且bn=an+1 an=bn-1则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中an是等比数列，等比数列中有负数项则q0，且负数项为相隔两项等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，-24，36，-54，81相邻两项相除则可得，-24，36，-54，81是an中连续的四项，此时q=,同理可求

6、q=q=或 q=.故选B【思路点拨】根据bn=an+1可知 an=bn-1，依据bn有连续四项在-53，-23，19，37，82中，则可推知则an有连续四项在-54，-24，18，36，81中，按绝对值的顺序排列上述数值，可求an中连续的四项，求得q.5.在数1和2之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记为,令,N(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和，证明：【知识点】等比数列，裂项求和，放缩法解：设该递增的等比数列公比为，由题意而所以 7分（2） 14分【思路点拨】本题是一个求的典型例子，后面求的时候符合裂项求和的架构，最后放缩，很自然。题型二：等

7、差、等比数列的基本性质的考查考点总结：从近几年的考题看，数列性质必考，以选择填空为主，中低档，难度较大时一般出现在解答题中，但是注意做题时要活。例：2014石家庄质检一已知各项均为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2，则2a7a11的最小值为()A16 B8 C2 D4解析：由题意知a40，a140，a4a148，a70，a110，则2a7a112228，当且仅当即a72，a114时取等号，故2a7a11的最小值为8，故选B.变式练习：1、等差数列an中，a5a64，则log2(2a12a22a10)()A10 B20 C40 D2log25解析：依题意得，a1a2a3a105(a

8、5a6)20，因此有log2(2a12a22a10)a1a2a3a1020.2、已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则()A. B.或 C. D以上都不对解析：设a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根，不妨设acd0，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a146，记bn，求bn的最小值解(1)设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，da1.Snna1a1n2a1na1(n12)2a1.a10，当n12时，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得d(46)4，an46(n1)44n50，Sn46n42n248n

9、.bn2n5225232，当且仅当2n，即n5时，等号成立故bn的最小值为32.点评：(1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman(mn)dd(m，nN*)；(A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即SnAn2Bn(A2B20)7.若数列满足(

10、nN*，为常数)，则称数列为“调和数列”已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是 () A10 B100 C200 D400【知识点】等差数列的概念、等差数列的性质与基本不等式求最值解：因为正项数列为“调和数列”，则，即数列为等差数列，由等差数列的性质，则，所以，当且仅当即该数列为常数列时等号成立，所以选B.【思路点拨】根据所给的新定义可得到数列为等差数列，从所给的项的项数特征可发现等差数列的性质特征，利用等差数列的性质即可得到则，再由和为定值求积的最大值利用基本不等式解答即可.题型三：数列与的关系的考查考点总结：已知与的关系，有目标把该关系统一到同想和和上，求或，这是常见的递推关系。例：

11、已知数列an的前n项和为Sn且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：是等差数列；(2)求an的表达式审题视点 (1)化简所给式子，然后利用定义证明(2)根据Sn与an之间关系求an.(1)证明anSnSn1(n2)，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0，2(n2)由等差数列的定义知是以2为首项，以2为公差的等差数列(2)解由(1)知(n1)d2(n1)22n，Sn.当n2时，有an2SnSn1，又a1，不适合上式，an方法总结：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题中简单判断变式练习：1.已知是一个公差大于0的等差

12、数列，且满足.(1)求数列的通项公式;（2）若数列和数列满足等式：，求数列的前项和.点拨：（1）等差数列中，已知两条件可以算出两个基本量,再进一步求通项及前项和，当然若能利用等差数列的性质来计算，问题就简单多了.（2）分组求和、倒序相加、错位相减、裂项相消等是常用的求和方法，这里利用（1）的结论以及的关系求的通项公式，根据通项公式求前 项和 .解：（1）解法1：设等差数列的公差为d，则依题设d0 ，由.得 由得由得将其代入得.即， ，代入得解法2：等差数列中，公差，（2）设，则有 两式相减得，由（1）得，即当时，又当时，于是=易错点：（1）由的关系及（1）的结论找不到的通项公式，使解题受阻；（

13、2）在求的通项公式时，由得,把这个条件遗漏；（3）忽略当时，直接写；（4）计算数列的前项和时随意添加项.提炼方法：（1）等差数列与等比数列只有一字之差，部分同学经常出现审题不仔细的现象；（2）等差中项与等比中项的性质混淆，概念模糊不清；（3）对等差数列与等比数列的性质及公式的变式不熟悉，往往要先计算等量，一旦计算量大一点，解题受阻.2.已知数列满足递推关系式 (nN*)，且为等差数列，则的值是_【知识点】等差数列的应用;数列递推式解：若为等差数列，则，为常数，即，则-1-2=0，解得=-1，【思路点拨】根据数列的递推关系式，结合等差数列的定义即可得到结论题型四：等差等比的综合应用考点总结：数列

14、时一种特殊的函数，把数列与函数、不等式、解析几何等知识有机结合，是数列的一个发展方向，考查转化与化归的数学思想。例：（2008山东卷)将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn,b1=a1=1. Sn为数列bn的前n项和，且满足=1（n2）.()证明数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；（时，求上表中第k(k3)行所有项和的和.解析：（1）由已知得，当n2时=1又，所以，即所以，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列。所以，即当时，又 因此（2）设表中从第三行

15、起，每一行的公比为q 且因为，所以表中第1行至第12行共含函数列中的前78项，故表中第13第3列中的数为因此，又，所以记表中第k(k3)行所有项和的和为S，则拓展提高：此题主要考察递推公式，构造新数列，以及求行列式的通项。变式练习：1、已知“三角数阵”每一列成等差数列， 从第三行起每一行成等比数列，且公比为q, 公比相等记第i行第j列个数为（1）求q，（2）求的表达式，（3）记第n行和为， 求的前项和,解析:（1）设公比为,则又, , , 或(舍),则,（2）第一行的公差为, （3）设则则由以上两式得所以拓展提高:数阵题是一种新型题型,解题关键是抓住所给的各行格列所构成的数列的类型,再由特殊项

16、推各行各列的前几项,进而求通项.2、等比数列的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列的前项和解:因为对任意的,点，均在函数且,当时, 当时,又因为为等比数列, 所以, 公比为, 所以（2）当b=2时，, 则相减,得= 所以拓展提高:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前项和.3、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设求数列的前n项和.解析：（1）圆心到直线的距离，（2）相减得4（2012高考

17、四川卷)设函数f(x)2xcos x，an是公差为的等差数列，f(a1)f(a2)f(a5)5，则f(a3)2a1a5()A0B.2 C.2 D.2(1)给出以等差数列前5项为自变量的函数值之和(2)由等差数列性质和三角函数性质把f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)f(a5)的结构用a3表达(3)构造函数，通过函数的单调性确定a3的值(4)将求解结果用a3表示、化简【解析】f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)f(a5)2(a1a2a3a4a5)(cos a1cos a2cos a3cos a4cos a5)10a3cos(a3)cos(a3)cos a3cos(a3)cos(a3)10

18、a3(2cos 2cos 1)cos a3.构造函数g(x)10x(2cos 2cos 1)cos x5，g(x)10(2cos 2cos 1)sin x0，函数g(x)在(，)内单调递增，由g()0，所以方程10x(2cos 2cos 1)cos x50有唯一解x，所以a3.所以f(a3)2a1a5f(a3)2(a3)(a3)f(a3)2a2()2.5. 已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B. C. D不存在解：因a7a62a5，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)又4a1，所以mn6.则(mn).当且仅当，即n2m时，等号成立此

19、时m2，n4.题型五：与其它知识点交汇 考点总结：创新题是以基本概念，基本性质为主，考查学生阅读材料，提取信息，建立数学模型，考查应用所学的知识分析解决问题的能力。例：根据如图所示的程序框图，将输出的x、y值依次分别记为，（1）求数列的通项公式；（2）写出，由此猜想出数列；的一个通项公式，并证明你的结论;（3）求点拨：（1）程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视；（2）由循环体写出数列的递推公式，再由递推公式求出数列的通项公式是解决问题 的关健；（3）掌握错位相减法求数列的前项和及数列求和的一般方法. 解：（1）由框图，知数列中（2）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想证明：由框图，知数列yn中， ，数列yn+1是以3为首项，3