2019年大连市高三一模理科数学

1、 2019 年大连市高三第一次模拟考试 说明： 数学（理科）参考答案与评分标准 一、 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答 有较严重的错误，就不再给分. 三、 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 、选择题 、填空题 13. 13. 8 8 14.14. 3 2

2、 15.15. 12 13 16.16. 5 2 n 4 、解答题 17.17.解： （I）由正弦定理得： 6 2 ；2 si nC 3 所以sinC 1, C , . 2 . 3分 所以BC 62 4 2 $ 2 所以 S 1 2 4 2 4 2 . 2 (n)设DC x，则BD 2x，所以 . 6分 3.1 2x 2 62 3.2 2 x2 4 .2 $ 2 3.2 2x 2 3 2x 解得：x - 所以BC 3DC -J69. 1212 分 3 18.18.解：（I I）估计第一车间生产时间小于 75min75min 的工人人数为 200 60 (人) . 201. D 2. A 3.

3、A 4. B 5. C 6. B1. D 2. A 3. A 4. B 5. C 6. B 7. 7. D 8. AD 8. A 9. D 10. B 11. C 12. C9. D 10. B 11. C 12. C 估计第二车间生产时间小于 75min75min 的工人人数为 400 (0.025 0.05) 10 300 (人) . (II II )第一车间生产时间平均值约为 x 60 2 70 4 80 10 90 4 X第一车间 20 第二车间生产时间平均值约为 x第二车间 60 0.25 70 0.5 80 0.2 90 0.05 70.5( minmin) X的分布列为: X 0

4、 0 1 1 2 2 P 1 3 1 5 5 5 1 3 1 数学期望E(X) 0 - 1 - 2 - 1 . 12分 5 5 5 19. 19. (I I )证明：在等腰梯形 ABCD中，连接BD,交AE于点O, QABPCE,AB CE，四边形 ABCE平行四边形， AE=BC=AD=DE ADE为等边三角形， 在等腰梯形 ABCDK C ADE 一 , 3 DAB ABC 3 在等腰 ADB 中， ADB ABD 6 DBC T e 2 即BD BC， BD AE , 2 2 分 翻折 后可得： OP AE,OB AE ,又 QOP 平面 POB , OB 平面 POB , OP I O

5、B O , AE 平面 POB , Q PB 平面 POB , AE PB ; 4 4 分 78 ( minmin) x第一车间 x第二车间, 第二车间工人生产效率更(III III )由题意得，第一车间被统计的生产时间小于 人，从中抽取 3 3 人，随机变量 X服从超几何分布, X可取值为 75min75min 的工人有 6 6 人，其中生产时间小于 65min65min 的有 2 2 P(X P(X P(X 0 3 C2C4 4 1 C； 20 5， C2C2 12 3 c； 20 5， C2C1 4 1 c： 20 5 1010 分 1111 分 2 2, 0) 1) 2) 0 0, 1

6、 1, (IIII ) 解：在平面 POB作 PQ OB , 垂足为 Q , 18(1 2 得 2 yo 2 x0 2 x 9 2 又Q鱼 18 2 纠 9 2 小 2x2 Q AE 平面 POB, AE PQ , OB 平面 ABCE, , AE 平面 ABCE AEI OB O PQ 平面 ABCE ,直线 PB与平面 ABCEe角为 PBQ ,又 Q OP OB , OP OB , 4 OQ两点重合，即 OP 平面 ABCE , . 6 6 分 以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 P(0,0,】),E(1,0,0) , C(1,f ,

7、0), 2 2 2 uuu 1 3 uuu 1 3 PE (-,0, -) , EC (-,0), 2 2 2 2 uu 设平面PCE的一个法向量为n1 (x,y,z), 1,1), X0 x y0 3 直线NB2 : 由题意得平面PAE的一个法向量 uu n2 (0,1,0)， 设二面角A-EP-C为， cos 易知二面角A-EP-C为钝角，所以 2020.解：（I I）法一：设 N(x, y), u uu n1 n2 UuU g |n2 cos 1111 分 1212 分 M(X0,y)(X0 0) , Q MB1 NB1 , MB2 NB2, X 设 o o z y -3-2 -3-2

8、X X 1-2 1-2 1 o o IDmlDm LUELuc uupuuE Hu 贝 直线: 2 2 4 4 分 直线NB1：y 3 直线NB2 : y 3 x y0 3 X1为, . 4分 x0 2x1 故0 1，代入 2 X0_ 2 1得： 2 2 :1, y。 1 9 9 9 2 2 2 点N的轨迹方程为 y_ x 1 ( x 0) 6 6 分 9 9 2 法三：设直线MB1 ： y kx 3 (k 0), 则直线NBy 1 x 3 k 2 2 直线MB,与椭圆C話专1的交点M的坐标为 (12k 6k2 3 (2k2 l2k2 1 I 3 k 2k2 1 MB2 12k 2k2 1 直

9、线NB2: y 2kx 3 2 y 9 2 2 x1 X0 又Q匹 y0 1 18 9 y1 y。 由，解得: 整理得点N的轨迹方程为： 9 x 9 法二：设 N(x yj , M (x0, y0) (x0 0) , Q MB, NB, , MB2 NB2, 则直线MB2的斜率为 2 2 4 4 分 由，解得N点的坐标为(炉 6k2) 2k2 1)， X2 1 (x 0) 2 法二：由(I I )法三得：四边形 MBQNB,的面积 当且仅当|k|上2时, 2 S取得最大值27L2 2 2 a ax 2 2 2 ，: x (0,6) x x x 当 a 0 时，f (x) 0在x (0,6)上恒

10、成立, f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间； . 1 1 分 2 1 当a 0，且 6，即0 a 时，f (x) 0在x (0,6)上恒成立， a 3 f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间； . 2 2 分 2 1 2 2 当 a 0，且 6，即 a 时，在 x (0,)上，f (x) 0,在 x (,6)上，f (x) a 3 a a 上单调递减，(2 ,6)上单调递增 .3 3 分 a 1 综上，当a 1时，f(x)在(0,6)上单调递减，无单调递增区间； 3 当a 1时，f (x)在(0,2)上单调递减，(-,6)上单调递增 . 4 4 分 3 a a6k 2k2

11、1 3 6k2 解得: 2k2 1 (II(II)法一：设 N(xi,yj , M(xo,yo)(xo 0)，由(I I )法二得：捲 Xo 四边形MB2NB1的面积S 1 jB1B2|(|x1| 3 |x|) 3 2以。|, 1010 分 2 2 Q 0 Xo 18 ,当 Xo 18时，S的最大值为弩 1212 分 S 2|B1B2|(|xM | 风 |) 3(22 2 2k I 2k I 54|k| 2k2 1 54 2|k| |k| 2A 2 2 1010 分 点N的轨迹方1212 分 21.21.解：(I) f (x) 0, f(x)在(0,-) a In x1 二 bl b2=4 (

12、丄丄) x1 x2 In x2= 2 ln(* 1) x1 2 - X (3,4) 两条切线在y轴上的截距: X2 法二： x2 亠, X 2 曲线在Q X2,f (X2)处的切线方程为 y (- In X2)( 2 2 )(x X2) X2 X2 X2 若这两条切线互相平行，则 2 2 1 2 2 1 1 1 1 X1 X1 X2 X2 X1 X2 2 .1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - , ,且 0 X1 X2 6 , , x2 2 x1 6 2 X1 X1 4 X1 3， 设曲线在P为(咅)处的切线方程为 令x 0，则b1 4 Inx! 1，同理，b2 In x2 Xi 1 -

13、0 b2 =4( _ x1 1) X2 In x1 2 In x2=4( X1 1 In & 设 g(x) 8x In x 1 In(2 订 1 1 (4,3) In(-2 x) , x 16x2 8x 1 2x2 2 0 2x2 x (4x 1 1 X 2 1 1 g(x)在区间(一，一)上单调递减， 4 3 2 g(x) (3 In 2,0) g (x) 8 1010 分 即bi b2的取值范围是 2 (3 In 2,0). . 1212 分 2 由(1 1)可知2 2 , a 1 a 2 2 1 y (- In X1) ( 2 )(x X1X1 X1 X1 () x 2是f (x

14、)的极值点， Xi g(x) (3 In 2,0) - b b2 么 In 人 In x2 4(x2xi) Inx N x2 N x2 X 2 1 x1 2 x2 x1 -ln x1 X2 lnx1 x1 x2 1 冬 X2 X2 、八 2 1 x 设 g(x) Inx 匕1 G1)， 1 x X2 2 2 x I) 1 g (x) 0 ,函数g(x)在区间(一,1)上单调递增， . 2 g(x)总 In 2,0) 2 b| b2的取值范围是(In 2,0) . 3 22.22.解：(I)直线I1的参数方程为 2 tCs30 y 1 tsi n30o 2 2 ( t为参数) . 丄t 2g(x

15、) 4 (1 x)2 x(1 x)2 令 g(x) 8 x ln( 1) 2，其中 x (3,4). x 2 二 g (x) 8 1 x2 8x 16 (x 4)2 2 2 2 x2 x 2 x2(x 2) x2(x 2) 函数g(x)在区间(3,4)上单调递增, 1010 分 b| b2的取值范围是 (| In 2,0). . 1212 分 法三：T Xi X2 , 1010 分 1212 分 所以 AP AQ t1t2 3 3. . . 1010 分 23.23.解：（I）当 x 1时, f(x) 3x 2 / 2 1 4, x .1 .1 分 2 3 2 1 当1 x 1时， f(x)

16、x 4, 1 x 1 . 2 2 分 2 2 当 x x 1 1时, f(x) 3x 2 4, 1 1 x 2x 2 . 3 3 分 2 综上：f (x) 4的解集为 - x 2 . 5 5 分 3 3x+2, x - 2 1 1 (II II )法一：由(I I )可知 f (x) x, X 1 , f(x)min -,即 2 2 3x 2,x 1 m 1 . 6 6 分 2 又a, b,c R ,且a b c - 2 ，则 2a 2b 2c 1, 设 x .2a 1 , y .2b 1 , z .2c 1 , Q x2 2 y 2xy, c 2 2xy x y2 2a 1 2b 1 2a

17、2b 2 同理: 2yz 2b 2c 2, 2zx 2c 2a 2 , 2xy 2yz 2zx 2a 2b 2 2b 2c 2 2c 2a 2 8, 8 8 分 (x y 2 2 z) x 2 2 y z 2xy 2yz 2zx 2a 1 2b 1 2c 1 8 12 2 .3 , x y z 2 3 , 即.2a 1 2b 1 、1 9 9 分 当且仅当a b c 1时，取得最大值 2 3. . 1010 分 61 12 刚 3 即 12，即 4co 八 1 cos ,M 1, 1 0, 0 (n) 将 li的参数方程代入 C的直角坐标方程中， 3 2 、 .3 2 1 2 t 4 21 t 0 . 7 7 分 2 2 2 即t2 t 3 0, t1,t2为方程的两个根，所以 址2 3 , . . 9 9 分 所以 x2 4x y2 Ox 0 0 . 5 5 分 法二：由（I I )可知f(x) f (x)min a,b,c ,2a 1 ,2b 2a 1 当且仅当 法三：由（ 3x+2, 1 x, 2 3x 2,x 1 c 1 )2.3 9 9 分