购房中的数学问题

1、购房中的数学问题授课教师：谭支环 一、使用年级及对象：高二级学生此课题选自普通高中新课标人教版数学教材必修五，是高二数列部分的教学内容。本课旨在使学生了解数列在解决实际问题中的应用，体会实际问题数学化的方法。二、教学目标：（1）知识与技能目标：掌握分期付款概念，学会不同付款方式的计算方法。（2）过程与方法目标： 初步学会用数列解决分期付款问题，提高学生处理数据和应用（包括运用计算器）的能力（3）情感、态度、价值观目标：培养学生学习和探究数学的兴趣，培养学生的团结协作精神，了解数学的应用价值，提高数学应用意识，激发学习数学的兴趣和积极性。三、教学重点、难点分析： 研究性学习是一种新型的教学方式，

2、它需要教师转变观念，关注学生思维发展过程，重视学生的探究、参与，因此我认为本节课的重点是探究分期付款中的有关计算。 学生有了等比数列知识作基础，在探究解决这一问题时，在知识上不会有太大困难，关键是了解分期付款中的有关规定，因此我认为教学难点是理解贷款金额与每期付款的增值规律。四、 教学方法及策略：（1）提出问题、激发兴趣（2）学生分小组，合作学习更高效（3）合作探究，分析数据，借助信息技术进行数据处理。（4）总结解决问题的全过程，反思结果对实际问题的指导作用五、教具、实验室等教学资源：（1）资料：全日制普通高级中学教科书（2）工具：图形计算器、背投，ppt课件（3）辅助材料：数列，数学建模等知

3、识，计算器使用方法。六、教学过程设计：（一）准备：1.学生以自愿为原则分小组，全班共四个小组 2.学生上网或到图书馆查找“购房贷款”的主题资料。（二）问题引入： 有一位居民，决定重新购房。某日，他来到了一个房屋交易市场。面对着房地产商林林总总的宣传广告，是应该买商品房还是二手房呢，他一时拿不定注意。这位居民根据搜集的一些住房信息，列出了他的家庭经济状况和可供选择的方案如下： 家庭经济状况：家庭每月总收入3000元，也就是年收入3.6万元。现有存款6万元，但是必须留23万元以备急用。预选方案：1、买商品房：一套面积为80平方米的住宅，每平方米售价1500元。 2、买二手房：一套面积为110平方米

4、的二手房，售价为14.2万元，要求首付4万元。 购房还需要贷款。下面我们将来了解关于贷款以及还款的相关信息，然后请你用我们学过的数列知识帮这位居民算一算这笔经济帐。你认为预选方案1、2到底哪个是他的最佳选择？（三）小组自主学习活动：（1）分析银行贷款信息，寻找突破口 这位居民选择了一家银行申请购房贷款。该银行的贷款评估员根据他提供的信息，向他提供了下列信息和建议：申请商业贷款，贷款期限为15年比较合适，年利率 5.04%(02年的利率)。购房的首期付款应不低于实际购房总额的20%，贷款额应不高于实际购房总额的80%。 还款方式为等额本金还款，如果按季还款，每季还款额可以分成本金部分和利息部分，

5、其计算公式分别为： 本金部分=贷款本金贷款期季数 利息部分=（贷款本金已归还贷款本金累计额）季利率（2）了解参考资料，深化认识 贷款买房时，购房者首先与房地产开发商签定房屋购买合同，然后与银行签定贷款合同。用这套住房作为抵押，向银行申请贷款。银行在审查同意你的申请后，通常会将住房总价值的70%或80%直接划给房地产开发商。这时候，购房者只需要拿出住房总价值的30%或20%（通常叫做首期），就可以搬进新房了。其余的款项，购房者以一定的利率，逐月(季)偿还给银行，偿还期限短则3-5年，长则15年、20年、甚至30年。 二手房即旧房。新建的商品房进行第一次交易时称为“一手”，第二次交易称为 “二手”

6、。二手房贷款是向购买二手房的购房者提供贷款，由借款人分期还款的贷款方式。 目前银行规定有两种还款方式：（1） 等额本息还款法；（2）等额本金还款法。等额本金还款法的特点是：每期还款额递减。利息总支出比等额本息还款法少。等额本金还款法可以是按月还款和按季还款。由于银行结息惯例的要求，一般采用按季还款的方式。 对于家庭经济收入的分配，国内外经济学家提供了下述参考标准：家庭收入的30% 用于偿还购房贷款，30%用于投资储蓄，20%用于子女教育，20%用于日常开销。因此，偿还购房贷款的金额占家庭总收入的20%30%为宜。（四）确定各小组分工：第一、二小组：若按方案1，贷款15年，用等额本金的办法每季度

7、需还款多少钱？15年总还款多少钱？第三、四小组：若按方案2，贷款15年，用等额本金的办法每季度需还款多少钱？15年总还款多少钱？（五）各小组内自主分工合作，借助信息技术解决问题（六）展示学习成果与问题解决：方案1 如果首付3.6万（约为住房总价值的30%），贷款8.4万，季利率5.04%4=1.26%，以贷款期为 15年为例。 每季等额归还本金：84000（154）=1400（元） 第1个季度利息：840001.26%=1058.4（元）则第1个季度还款额：1400+1058.4=2458.4（元） 第2个季度利息：（84000-14001）1.26%=1040.76（元）则第2个季度还款额：

8、1400+1040.76=2440.76（元） 第60个季度利息：（84000-140059）1.26%=17.64（元） 则第60个季度（最后一期）还款额： 1400+17.64=1417.64（元） 问题：15年中每个季度支付的利息构成一个数列，这个数列有何特征？ 是一个以1058.4为首项，-17.64为公差的等差数列！ 其和为：（元）15年的总还款额：（元）。方案2 因为首付4万，所以需要贷款10.2万，季利率5.04%4=1.26%，以贷款期为15年为例。每季等额归还本金：102000（154）=1700（元） 第1个季度利息：1020001.26%=1285.2（元） 则第1个季度

9、还款额：1700+1285.2=2985.2（元） 第2个季度利息：（102000-17001）1.26%=1263.78（元）则第2个季度还款额：1700+1263.78=2963.78（元） 第60个季度利息（102000-140059）1.26%=21.42（元）则第60个季度（最后一期）还款额：1700+21.42=1721.42（元）问题：15年中每个季度支付的利息构成一个数列，这个数列有 何特征？ 是一个以1285.2为首项，-21.42为公差的等差数列！其和为：（元） 15年的总还款额：（元）结论：建议这个居民采用方案1，理由如下： （1）因为这个居民每月的家庭总收入为3000元，那 么每个月用于偿还购房贷款的金额为600900元比 较合适，每个季度为18002700元。如果采用方案1，满足上述条件。如果采用方案2，由于15年中每季度需支付的还款额构成一个首项为 2985.2 ，公差为d= -21.42的等差数列。，则n15, 这说明方案2不能满足条件。（2） 以贷款15年为例，方案2比方案1需要多支付利息：39198.6-32281.2=6917.4（元）。 （3） 方案2中的住房是旧房，使用年限较短(房子的使用年限