2019年年普通高考数学科一轮复习学案第2讲函数概念与表示.doc

1、2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第2讲 函数概念与表示一课标要求1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应关系在刻画函数概念中的作用； 了解 构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数；3通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；5学会运用函数图象理解和研究函数的性质。二命题走向函数

2、是整个高中数学的重点， 其中函数思想是最重要的数学思想方法， 函数问题在历年 的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看， 对本部分内容的考察形势稳中求变， 向着更灵活的的方向发展， 对于函 数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题(几何问题、 实际应用题)找出变量间 的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较 小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测 2013 年高考对本节的考察是：1题型是 1 个选择和 1 个填空； 2热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难

3、度、题型新颖的试题综合考察函数成 为新的热点。三要点精讲1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数 X,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f： ATB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作：y=f(x), x Ao其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域。注意： ( 1)“y= f(x) ”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”；(2) 函数符号 y=f(x)中的 f(x)表示与 x

4、 对应的函数值，一个数，而不是 f 乘 X。 2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域( 1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式：1自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如：分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等)；2限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是 难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误；3实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

5、配方法(将函数转化为二次函数) ； 判别式法(将函数转化为二次方程) ； 不2013 年普通高考数学科精品复习资料 第 1 页 共 13 页2013 年普通高考数学科精品复习资料第2页共 13 页等式法(运用不等式的各种性质)；函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、 函数图象等)。3 两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函 数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4. 区间(1) 区间的分类：

6、开区间、闭区间、半开半闭区间；(2) 无穷区间；(3)区间的数轴表示。5. 映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f: AB 为从集合 A到集合 B 的一个映射。记作 “：ATB ”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件非空数集”弱化为 任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫 映射。注意：(1)这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中f表示具体的对应法则，可

7、以用汉字叙述。(2)都有唯一 ”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6. 常用的函数表示法(1) 解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的 解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。7. 分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；&复合函数若 y=f(u), u=g(x),x (a, b),u(m,n)，那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量， 它的取值范围是 g(x)的值

8、域。四.典例解析题型 1：函数概念2, x匸(一处,11(2)设函数 f(x)=，则满足 f(x)=的 x 值为_Jog* (1严)4解：(1)这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，例 1. (1)设函数f (x) = x-3、ff(x+5)(小00), 求 f(89).(x : 100)2013 年普通高考数学科精品复习资料第3页共 13 页f(89) = f(f(94) = f(f(f(99) = f(f(f (f (104) f (f(f (101)2013 年普通高考数学科精品复习资料第4页共 13 页=f (f (98) = f(f(f(103) = f(f(10

9、0) = f(97) = f(f (102) = f (99)=f (f (104) = f (101) =98.(2)当 x(a,1，值域应为1,+9,2当 x( 1,+ 时值域应为(0,+a), y= , y( 0,+a)411此时 x ( 1 , +a) log81x=, x = 814= 3o4点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等)，这都是函数学习的常用基本功。变式题：设I2exv2,f(X)二2则 f (f (2)的值为( )log3(x -1),x _2.A 0B 1C. 2D. 3解：选项为 Co例 2 (1)函数1f x对于任意实数x满足条件f

10、 X 2二，右f 1-5,则fxf f 5 =_；1(2)函数f x对于任意实数x满足条件f x 2，若f 1二-5,则f(X)f f 5二_ 。1 1解：(1)由f x 2得f x 4f (x)，f(x)f(x+2)所以f(5)=f(1) = 5，则f f 5ij=f(-5) = f (-1)=1 1由f x応得fx，所以f(5)=f(1)5，点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式， 考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同1f (T 2)f (-1)二1f (T 2)2013 年普通高考数学科精品复习资料第5页共 13 页例 3 试判断以下各组函数是否表示同一函

11、数?2013 年普通高考数学科精品复习资料第6页共 13 页(1) f (X)= . X2, g (X)=3x3；(3) f (x) =2nx2n 1, g (x) = (2nJx)2nT(n N*);(4)f (x) =、.x、x 1, g (x) =. x2x;(5)f(x)=x?2x1,g(t)=t?2t1o解：(1)由于 f(x) =#X2=|x|, g ( x) =3：X3=x,故它们的值域及对应法则都不相同， 所以它们不是同一函数；Ix|1x30,(2) 由于函数 f(x)=11的定义域为(一8,0)U(0,+8),而 g (x)= Jx-1 xcO;的定义域为 R，所以它们不是同

12、一函数；(3) 由于当 n N*时，2n1 为奇数，二f(x) =2n1Jx2n*=x, g (x) = (2n)2n 1=X,它们的定义域、值域及对应法则都相同， 所以它们是同一函数；(4)由于函数 f (x) = , x , x1的定义域为x|x 0,而 g (x) = . x2x的定义域为X|XW1 或 x 0它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；(5) 函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。点评：对于两个函数 y=f (x)和 y=g (x),当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都 相同时，y=f(x)和 y=g (x)才表示同一函数 若两个函数表示同一函数，则它们

13、的图象完 全相同，反之亦然。(1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f (x) =x2+1 , f (t) =t2+1, f (u+1) = (u+1)2+1都可视为同一函数。(2)对于两个函数来讲， 只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两 个函数就不可能是同一函数。题型三：函数定义域问题例 4 求下述函数的定义域：(2) f(x)=凶,g1 X3 0,-1 x cO;(1)2x - x2ig(2x-1)(3_2x)0；2013 年普通高考

14、数学科精品复习资料第7页共 13 页(2)f(x)二lg(xka) lg(x2a2).2013 年普通高考数学科精品复习资料第8页共 13 页02x 1 0i33解: （1）；，解得函数定义域为（,1） （1,） （,2.2x-仃12223 -2x =0 ka（2）寫22，（先对 a 进行分类讨论，然后对 k 进行分类讨论）x a当 a=0（kR）时，函数定义域为（0,：）；x ka当a 0时，得丿x c -a 或 x a1）当丿a0时，函数定义域为（ka,p），k 12）当a 时，函数定义域为（a,址），厂1兰k 1a A 0i r3）当:时，函数定义域为（ka,-a）U（aE；一x a k

15、a当a c0时，得丿/ a 或 x a -a1）当产0时，函数定义域为（ka,母），k -12）当产0时，函数定义域为（-a,畑）， 厂1 ck兰13）当F1点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力。例 5 .已知函数f x定义域为（0, 2），求下列函数的定义域：-.2、丄 ccf(X ) +1(1)f (x ) 23； (2)厂 丿 。/log ,2 - x).2解：(1)由 0vx2v2,得，-, 所师)的定义域加也 Q)U运).2013 年普通高考数学科精品复习资料第9页共 13 页由，解应)o1X

16、J2.所以所求的定义域为(1血)点评：本例不给出 f(x )的解析式，即由 f(x)的定义域求函数 fg(x)的定义域*关键在于理 解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中 产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到。f (x) =23x-1的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是()ax2+ ax 3解：(利用函数的单调性)函数y=3x2-x，2在1,3上单调增，当x = 1时，原函数有最小值为4；当x = 3时，原函数有最大值为26 o函数y =3x2-X 2,1,3的值域为4,26。(2)求复合函数的值域：变式题：已知函数B.12va0C.12va

17、v0a13解：由 a=0 或丿屮口可得12va1)，则x=,xt -12 2f=lg ， f (x) =lg(x 1) ot -1x 1(3) 设f (x)二ax b(a = 0),则3f (x 1) -2 f (x-1) =3ax 3a 3b-2ax 2a -2b = ax b 5a = 2x 17,- a = 2,b = 7, f (x) = 2x 7 o1(4)2f(x) f () =3x，x113把中的x换成一，得2f) f(x)，xxx32-得3 f (x) = 6x -,x1- f (x) = 2x _2013 年普通高考数学科精品复习资料第15页共 13 页x点评：第(1)题用配

18、凑法；第(2)题用换元法；第(3 )题已知一次函数，可用待定 系数法；第(4)题用方程组法。例 7已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x) x2+x)=f(x) x2+x。(I)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);(n)设有且仅有一个实数X0,使得 f(X0)= X0。求函数 f(x)的解析表达式。2013 年普通高考数学科精品复习资料第16页共 13 页解：(I)因为对任意x R,有 f(f(x) x2+ x)=f(x) x2+x,所以 f(f(2) - 22+2)= f(2) - 22+2。又由 f(2)=3，得 f(3 22+2) - 3 22+

19、2，即 f(1)=1。 若 f(0)=a，则 f(a- 02+0)=a- 02+0，即 f(a)=a。(H)因为对任意 x R,有 f(f(x)- x2+x)=f(x)- x2+x。 又因为有且只有一个实数X。,使得f(xo) - X。所以对任意 x R,有 f(x) x2+x= xo.。在上式中令 x= xo,有 f(x。) x2+ xo=X。又因为 f(x。)一 xo,所以 x。一 x0=0，故 xo=O 或 xo=1。2 2右 x=0，贝 y f(x) x +x=0, 即卩 f(x)= x -o但方程 x2-=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故X2老。2 2右 X2= 1，则有 f(

20、x) x +x=1，即 f(x)= x -+1。易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数为 f(x)= X2之+1 ( X R)o点评：该题的题设条件是一个抽象函数，通过应用条件进一步缩小函数的范围得到函数的解析式。这需要考生有很深的函数理论功底。题型六：函数应用例 8 某租赁公司拥有汽车 100 辆当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出。当每 辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆。 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50 元。(1)当每辆车的月租金定为3600 元时，能租出多少辆车？(2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益

21、最大？最大月收益是多少？解：(1)当每辆车的月租金定为3600 元时，未租出的车辆数为：3600 -3000=12，所以这时租出了 88 辆车。50(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为：整理得：f( X) =-X2+162X-21000= -1( X- 4050)2+307050。5050所以，当 x=4050 时，f (x)最大，其最大值为 f (4050) =307050。即当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050 元.点评：根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量去寻求等量关系并求得函数表达式

22、后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。例 9对 1 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1_污物质量)为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99。有两种方案可供选择，物体质量(含污物)f (x) = (100 -x - 3000)50(x 150)x - 300050X50,2013 年普通高考数学科精品复习资料第17页共 13 页方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗。该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量2013 年普通高考数学科精品复习资料第18页共 13 页变为a(乞a乞3)。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是x 0.8(x . a -

23、1)，用y单x+1位质量的水第二次清洗后的清洁度是y-ac,其中c(0.8 :：c :：0.99)是该物体初次清洗后y + a的清洁度。(I)分别求出方案甲以及c二0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；(n)若采用方案乙，当a为某固定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量， 使总用 水量最小？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。解：(I)设方案甲与方案乙的用水量分别为x 与 Z。由题设有x 0.8=0.99，解得 x=19。x+1由c =0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量 y 满足方程：y 0.95a=0.99,解得 y=4a,故 z=4a+3.即两种方案的

24、用水量分y +a别为 19 与 4a+3。因为当1乞a乞3时，x-z = 4(4-a) 0,即x z,故方案乙的用水量较少。(II)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，类似(I)得5c_4 x,y=a(99 -100c)(*)5(1 -c)5c -41于是x y+a(99-100c)100a(1-c)-a-15(1c)5(1c)当8为定值时，x + y A 2 J1x100a(1 -c)一a-1 =a + 5-1,5(1-c)1 1此时c = 1(不合题意，舍去)或 c =1(0.8,0.99),10、5a10、5a/ 1故c =1-时总用水量最少，10j5a此时第一次与第二次用水量分别为2. 5 -1与2 5 - a,当且仅当15(1 -c)=100a(1 -c)时等号成立。将c =1 -代入(*)式得x=2.5a -1a -1, y = 2、5a - a.2013 年普通高考数学科精品复习资料第19页共 13 页T(a)二-a 4. 5a -1o当仁a乞3 时,T(a