求轨迹的几种求法

1、三、定义法三、定义法分析题设几何条件，根据分析题设几何条件，根据所学所学曲线的定义，曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程线的方程.椭圆的定义：椭圆的定义：双曲线的定义：双曲线的定义：抛物线的定义：抛物线的定义：圆的定义：圆的定义：|PC|=r (r0)|PF1| + |PF2| = 2a (2a |F1F2|)|PF1| - |PF2| = 2a (0 2a |F1F2|)|PF| = dP-l (F l)由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲由题设条件，根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状后，直接写出曲线的方程线的形状后，直接写出曲线的方

2、程一、定义法求轨迹方程的特征一、定义法求轨迹方程的特征二、二、“定义法定义法”求轨迹求轨迹方程的一般步方程的一般步骤骤一一 建轴设点建轴设点二二 定型定型三三 定定 方方 程程四四 定定 范范 围围：定义法：定义法 例例2已知已知B，C是两个定点，是两个定点，|BC|8， 且且ABC的周长等于的周长等于18， 求这个三角形的顶点求这个三角形的顶点A的轨迹方程的轨迹方程练习练习：知三角形ABC的一边 BC 长为6，周长为16，求顶点A的轨迹方程答：答：)0(1162522yyx14已ACOyxO1O2M练习：练习：已知两圆已知两圆C1：(x4)2y2169， C2：(x4)2y29，动圆在，动圆

3、在圆圆C1内部且和圆内部且和圆C1内切，和圆内切，和圆C2外切，外切， 求动圆圆心的轨迹方程求动圆圆心的轨迹方程ABSSABSAB探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动圆圆心到两定点的距离的和与差不放。CCP例3：变式2：169rr13-rM1 1、如图，圆、如图，圆C C：(x+1)(x+1)2 2+y+y2 2=9=9内一点内一点A(1A(1，0)0)，与圆，与圆 上一动点上一动点Q Q的连线的连线AQAQ的垂直平分线交的垂直平分线交CQCQ于于P P当当Q Q在在圆圆C C上运动一周时，则动点上运动一周时，则动点P P的轨迹方程为的轨迹方程为_Cy xAQP问题问题2 2OxyQ QPF1

4、F2问题问题2 22 2、已知椭圆的焦点是、已知椭圆的焦点是F F1 1、F F2 2，P P是椭圆上的一是椭圆上的一个动点，如果延长个动点，如果延长F F1 1P P到到Q Q，使得，使得|PQ|=|PF|PQ|=|PF2 2| |，那，那么动点么动点Q Q的轨迹是的轨迹是 （ ）(A)(A)圆圆 (B)(B)椭圆椭圆 (C)(C)双曲线的一支双曲线的一支 (D)(D)抛物线抛物线【探究【探究1】如图】如图,已知线段已知线段AB=4,动圆动圆O与线段与线段AB切切于点于点C,且且AC-BC=2 ,过点过点A B分别作分别作 O的切的切线线,两切线相交于两切线相交于P,且且P O均在均在AB同

5、侧同侧,建立适当坐建立适当坐标系标系,当当O位置变化时位置变化时,求动点求动点P的轨迹的轨迹E的方程的方程.2【解析】以【解析】以AB的中点的中点O为坐标原点为坐标原点,以以AB所在直线所在直线为为x轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系(图略图略),则则A(-2,0),B(2,0).由切线长定理可得由切线长定理可得|AC|-|BC|=|PA|-|PB|=2 ).222问题问题1 1：一动圆与圆：一动圆与圆O O1 1：(x+3)(x+3)2 2+y+y2 2=4=4外切，外切，同时与圆同时与圆O O2 2：(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=9=9内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心的轨迹方程，

6、并说明它是什么类型的曲线的轨迹方程，并说明它是什么类型的曲线在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件在两定圆不动的前提下，适当改变其他条件使动圆圆心形成新的轨迹？使动圆圆心形成新的轨迹？ 已知圆已知圆A：(x+2)2+y2=1与点与点A（-2，0），），B（2，0），），分别求出满足下列条件的动点分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程的轨迹方程.（1）PAB的周长为的周长为10;（2）圆）圆P与圆与圆A外切，且点外切，且点B在动圆在动圆P上（上（P为动圆圆心）为动圆圆心）;（3）圆）圆P与圆与圆A外切且与直线外切且与直线x=1相切（相切（P为动圆圆心）为动圆圆心）.【例题例题3】【解析解析】(1

7、)(1)根据题意，知根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10|PA|+|PB|+|AB|=10， 即即|PA|+|PB|=6|PA|+|PB|=64=|AB|4=|AB|，故，故P P点的轨迹是点的轨迹是椭圆椭圆， 且且2a=62a=6，2c=42c=4，即，即a=3a=3，c=2c=2，b=b= ， 因此其方程为因此其方程为 （y0y0）. . （2 2）设圆）设圆P P的半径为的半径为r r，则，则|PA|=r+1|PA|=r+1，|PB|=r|PB|=r， 因此因此|PA|-|PB|=1.|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，P P点的轨迹为点的轨迹为双曲线

8、的右支双曲线的右支， 且且2a=12a=1，2c=42c=4，即，即a=a= ,c=2,b=,c=2,b= ， 因此其方程为因此其方程为（3）依题意，知动点）依题意，知动点P到定点到定点A的距离等于的距离等于 到定直线到定直线x=2的距离，故其轨迹为的距离，故其轨迹为抛物线抛物线， 且开口向左，且开口向左，p=4. 方程为方程为y2=-8x.105-5-10-15y-20-101020PONM1.动点动点P到定点到定点(-1，0)的距离与到点的距离与到点(1，0)距离之差为距离之差为2， 则则P点的轨迹方程是点的轨迹方程是_.的轨迹方程是的轨迹方程是则圆心则圆心相内切相内切同时与圆同时与圆外切

9、外切与圆与圆一动圆一动圆如图如图PyxNyxMP,100)3(:,4)3(:,2222 2.15105-5-10-30-20-1010PNABM.,)0 , 3(,64)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 3.【练习练习3】) 1(0 xy1362722yx15105-5-10-30-20-1010PNABM,:PBPM 由由已已知知可可得得解解.,)0 , 3(,64)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的

10、的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 6, 4 ABAM又又为为焦焦点点的的椭椭圆圆的的轨轨迹迹是是以以点点BAP,)0(12222 babyax设设椭椭圆圆的的方方程程为为62 , 82: ca由题意得由题意得171622 yxP的的轨轨迹迹方方程程为为点点AMPAPM 且且ABPBPAPMPA 8734222 b【练习练习3】第第3题题15105-5-10-15-20-101020PNABM【练习练习3】第第3题题-变式变式.,)0 , 3(,16)3(22的的轨轨迹迹方方程

11、程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 16.,)0 , 3(,16)3(22的的轨轨迹迹方方程程求求动动点点为为垂垂足足的的交交点点为为的的中中垂垂线线和和直直线线线线段段上上的的一一个个动动点点为为圆圆为为一一定定点点的的方方程程为为已已知知圆圆PNPAMMBAMByxA 16【练习练习3】第第3题题-变式变式,:PBPM 由已知可得由已知可得解解15105-5-10-15-20-101020PNABM6, 4 ABAM又又64 PAPBPAPM为为

12、焦焦点点的的双双曲曲线线的的左左支支的的轨轨迹迹是是以以点点BAP,)0, 0( 12222 babyax设双曲线的方程为设双曲线的方程为62 , 42: ca由题意得由题意得523222 b)2(15422 xyxP的的轨轨迹迹方方程程为为点点AMPAPM 且且AMPAPM 且且ABPAPBPAPM 48. (能力题能力题,中中)设设Q是圆是圆C:(x+1)2+y2=16上的动点上的动点,另有另有A(1,0),线段线段AQ的垂直平分线交直线的垂直平分线交直线CQ于点于点P,当点当点Q在圆上运动时在圆上运动时,点点P的轨迹方的轨迹方程是程是_.22xy143解析解析:设设P(x,y),点点P是

13、线段是线段AQ垂直平分线上的一点垂直平分线上的一点,|PA|=|PQ|,|PA|+|PC|=|PC|+|PQ|=42,点点P的轨迹是以点的轨迹是以点A C为焦点的椭圆为焦点的椭圆,且且a=2,c=1,b2=3,点点P的轨迹方程为的轨迹方程为 .22xy143222222212222212例 ：求下列动圆圆心M的轨迹(1)与圆C:(x+2) +y =4内切,且过点A(2,0);（2）与圆C:x +(y-1) =1和圆C :x +(y+1) =4都外切;(3)与圆C:(x+3) +y =9外切,且与圆C :(x-3) +y =1内切.22:(1)1(1)()3yxx 解左支2243(2):41()

14、()34xyy上支且在两圆外部22(3)1(2).45xyx方法：利用双曲线的定义求轨迹方程题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点面几何知识推出等量关系，列出含动点P（x,y）的解析式的解析式. .一、直接法一、直接法例例3如图，设点如图，设点A、B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0)，(5,0).直直线线AM,BM相交于点相交于点M，且它们的斜率之积为，且它们的斜率之积为 ,求求M的轨迹方程的轨迹方程.49ABMyOx方法方法3：直接法：直接法,:,.C. 1F 1 0l x1 PPlQQP QFFP FQP

15、 典例 已知点直线为坐标平面上的动点 过 作直线 的垂线 垂足为点且求动点 的轨迹方程,Q1,y ,(, ),(, )2,y .:4x.2P x yQP QFFP FQx1 02yx1 yC y 【解】设动点则由得化简得【例题例题1 1】.,259,),05(),05(的的轨轨迹迹方方程程求求顶顶点点于于所所在在直直线线的的斜斜率率之之积积等等边边，的的两两个个顶顶点点坐坐标标分分别别是是CBCACBAABC 则有则有的坐标为的坐标为解：设顶点解：设顶点),(yxC5,5 xykxykBCAC25955 xyxy由由题题意意知知092525922 yx化化简简得得192522 yx即即) 5(

16、 x)5( x)5( x2.与圆与圆x2+y2-4x=0外切，且与外切，且与y轴相切的动圆圆心轴相切的动圆圆心 的轨迹方程是的轨迹方程是_.y2=8x(x0)或或y=0(x0)1.已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为距离的比为 1:2的点的轨迹的点的轨迹,则此曲线的方程是则此曲线的方程是_.22(1)4xyPABxyo解：设动圆圆心为解：设动圆圆心为P(x,y).由题，得由题，得即即 -4x+y2=4|x|得动圆圆心的轨迹方程为得动圆圆心的轨迹方程为 y=0(x0)【练习练习】2222221(1)42(3)xyxyxy平方化简得:9. (经典题经典题

17、,中中)ABC的顶点的顶点B(-1,0),C(2,0)若若ACB=2ABC,则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为_.()22yx1 x13二、待定系数法二、待定系数法题目已知曲线类型题目已知曲线类型,正确设出曲线的标准方程正确设出曲线的标准方程,然后结合问题的条件然后结合问题的条件,建立参数建立参数a,b,c,p 满足的满足的等式等式,求得其值求得其值,再代入所设方程再代入所设方程.1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且轴，且经过点经过点P（-6，-3），则抛物线方程为），则抛物线方程为_212xy 【练习练习2】._412736222则双曲线方程为则

18、双曲线方程为线的实轴长为线的实轴长为且双曲且双曲有共同的焦点有共同的焦点、设双曲线与椭圆、设双曲线与椭圆，yx 15422yx四、代入法（相关点法）四、代入法（相关点法） 当所求动点当所求动点P的运动很明显地依赖于一已知曲的运动很明显地依赖于一已知曲线上的动点线上的动点Q的运动时，可利用的运动时，可利用代入法代入法，其关键是，其关键是找出两动点的坐标的关系。找出两动点的坐标的关系。 设所求动点设所求动点 P坐标坐标 (x,y)，再设与，再设与P相关的已相关的已知点坐标为知点坐标为Q(x0,y0)，找出，找出P.Q之间的坐标关系，之间的坐标关系，并表示为并表示为x0=f(x),y0=f(y)，根

19、据点，根据点Q的运动规律得的运动规律得出关于出关于x0,y0的关系式的关系式,把把x0=f(x),y0=f(y)代入关系式代入关系式中中,即得所求轨迹方程即得所求轨迹方程.讲授新课讲授新课例例1.yx. 2的轨迹中点，求线段线段轴作垂向从这个圆上任意一点半径为心为坐标原点，如图，已知一个圆的圆MPPPPxP例例2、如图，在圆、如图，在圆 上任取一点上任取一点P，过点，过点P作作x轴的垂线段轴的垂线段PD，D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，在圆上运动时，线段线段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？224yx分析：点分析：点P在圆在圆 上运动，点上运动，点P的运动

20、引的运动引 起点起点M运动。运动。224yx解：设点解：设点M的坐标为的坐标为(x,y)，点，点P的坐标为的坐标为(x0,y0)，则，则 x=x0,y=y0/2.因为点因为点P (x0,y0)在圆在圆 上，所以上，所以把把x0=x,y0=2y代入方程代入方程(1)，得，得即即 所以点所以点M的轨迹是一个椭圆。的轨迹是一个椭圆。22400yx224yx2244yx2214xy此法实际上是利用中间此法实际上是利用中间变量变量x0,y0求轨迹方程求轨迹方程【例题例题4】.)0 , 6(,191622连连线线的的中中点点的的轨轨迹迹方方程程求求它它与与定定点点上上移移动动一一动动点点在在椭椭圆圆Myx

21、 【练习练习4】2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-4-3-2-11234PNOM的的轨轨迹迹方方程程。的的中中点点为为垂垂足足，求求线线段段，作作垂垂线线段段轴轴向向，从从圆圆上上任任意意一一点点已已知知圆圆PMNNMNxMyx4. 122 8642-2-4-6-10-5510PBAO.,2. 2的的轨轨迹迹方方程程求求点点且且满满足足上上在在点点轴轴上上滑滑动动和和轴轴分分别别在在和和两两个个端端点点长长为为线线段段PBPPAABPyxBAaAB 1422 yx222ayx五、参数法五、参数法如果轨迹动点如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找）的坐标之间的关系不

22、易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数参数法中常选角、斜率等为参数法中常选角、斜率等为参数.【例题例题5】 解：解：设动直线方程为：设动直线方程为：y=x+b， 和椭圆方程联立得：和椭圆方程联立得： x2+4y2-4x=0 y=x+b 5x2+8bx-4x+4b2=0设中点设中点M（x，y），），则则 x=（x1+x2)/2=(2-4b)/5,与联立消去参数与联立消去参数b，得：得：x+4y-2=0 （椭圆内的一段）（椭圆内的一段）倾斜角为倾斜角为45450 0的直

23、线与椭圆的直线与椭圆 交交于于A A、B B两点，求两点，求ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。 xyoAB14)2(22 yx【练习练习5】1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，相交，求求弦中点的轨迹方程。弦中点的轨迹方程。 14)2(22 yx2. 如图如图,过点过点A(-3,0)的直线的直线l与曲线与曲线C：x2+2y2=4交于交于A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 AoxyBCPoxyMA【练习练习5】 解：设解：设OA斜率为斜率为k（kR），）， 由由 y=kx x2+4y2-4x=0 得：（得：（1+4k2）x2-4x=0设

24、中点设中点M（x，y），则），则 x=（x1+x2）/2=2/（1+4k2） k=y/x 消参数得：消参数得： x2+4y2-2x=01.1.过原点的直线与椭圆过原点的直线与椭圆 相交，相交，求求弦中弦中点的轨迹方程。点的轨迹方程。 oxyMA14)2(22 yx2.如图如图,过点过点A(-3,0)的直线的直线l与曲线与曲线C：x2+2y2=4交于交于A,B两点两点.作平行四边形作平行四边形OBPC，求点，求点P的轨迹。的轨迹。 AoxyBCPG解法一解法一：利用韦达定理解法二解法二：点差法 连PO交CB于G.设P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),则x12+

25、2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ (y2-y1) (y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=003yx 解得，x0=2231kk231kky0=x=2261kk261kky=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求轨迹为(-3,0)为圆心，3为半径的圆.?【练习练习5】,( , ),.,.22yx14M 0 1lA B1OlPOPOAOB2lMP 典例1.设椭圆方程为过点的直线 交椭圆于点 是坐标原点 上的动点 满足当 绕点旋转时 求动点 的轨迹方程,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1lklA x yB x yA Bykx1x yx yyx14【解】直线 过点当 的斜率存在时设其斜率为则 的方程为设由题设可得点 的坐标是方程组的解,()2kx30,(,)2(,). 221221221212224kx2kxx4k8yy4kxxyy1OPOAOB22k44k4k 将代入并化简 得所以于是,ykx1.(,), (,),(,),(,),1122211222lM 0 1