自动控制原理第九章状态空间分析方法ppt课件

1、第九章形状空间分析方法第第9 9章章 形状空间分形状空间分 析方法析方法根本要求9-1 形状空间方法根底9-2 线性系统的可控性和可观性9-3 形状反响和形状观测器9-4 有界输入、有界输出的稳定性9-5 李雅普诺夫第二方法经典控制实际经典控制实际(50年代前年代前)现代控制实际现代控制实际(50年代后年代后)研讨对象研讨对象单输入单输出的线单输入单输出的线性定常系统性定常系统可以比较复杂可以比较复杂数学模型数学模型传送函数传送函数(输入、输出描画输入、输出描画)形状方程形状方程(可描画内部行为可描画内部行为)数学根底数学根底运算微积、复变函运算微积、复变函数数线性代数、矩阵实际线性代数、矩阵

2、实际设计方法的设计方法的特点特点非独一性、试凑成非独一性、试凑成份多份多, 阅历起很大阅历起很大作用。主要在复数作用。主要在复数域进展。域进展。设计的解析性，与计设计的解析性，与计算机结合，主要在时算机结合，主要在时间域进展。间域进展。掌握由系统输入输出的微分方程式、系统动态构造图、及简单物理模型图建立系统形状空间模型的方法。熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域和复数域求解形状方程的方法。熟练掌握由动态方程计算传送函数的公式。正确了解可逆线性变换, 熟练掌握可逆线性变换前、后动态方程各矩阵的关系。正确了解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和运用可控性判据和可观性判据。 熟练掌握可逆线性变换

3、矩阵的构成方法, 能将可控系统 化为可控规范形。能将不可控系统进展可控性分解。正确了解对偶原理, 会将原系统的有关可观测性的问题转化为对偶系统的可控性问题来研讨。正确了解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、可观测的关系。熟练掌握传送函数的可控性规范形实现、可观性规范形实现的构成方法。正确了解形状反响对可控性，可观性的影响, 正确了解形状反响可恣意配置闭环极点的充要条件。熟练掌握全维形状观测器的公式和设计方法, 熟练掌握由观测器得到的形状估计值替代形状值构成的形状反响系统, 可进展闭环极点配置和观测器极点配置。正确了解系统齐次方程渐近稳定和系统BIBO稳定的概念, 熟练掌握判别渐近稳定的方法和

4、判别系统BIBO稳定的方法。正确了解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和解法, 能经过解李雅普诺夫方程进展稳定性分析。9-1 形状空间方法根底 在经典控制实际中，用传送函数来设计和分析单输入、单输出系统。 在现代控制实际中，用形状变量来描画系统。采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简约明了，为系统的分析研讨提供了有力的工具。形状：动力学系统的形状可以定义形状：动力学系统的形状可以定义为信息的集合。为信息的集合。一、形状空间的根本概念知知 时形状，时形状， 时的输入，可确定时的输入，可确定 时任一变量的运动情况。时任一变量的运动情况。0t0tt 0tt 形状变量：确定动力学系统形状的形状变量：确

5、定动力学系统形状的最小一组变量最小一组变量 。)(,),(1txtxn 12nx txtX txt 形状空间：由 张成的n维向量空间。)(tX形状向量：形状向量： 假设完全描画一个假设完全描画一个给定系统的动态行为给定系统的动态行为需求需求n n个形状变量，那个形状变量，那么形状向量定义为么形状向量定义为X(t)X(t)对于确定的某个时辰，形状表示为形状空间中一个点，形状随时间的变化过程，构成了形状空间中的一条轨迹。例9-2 设一RLC网络如下图。 回路方程为( )1( )( )( )di te tRi tLi t dtdtC图9-2 RLC网络2( )( )x ti t dt)()(1tit

6、x选择形状变量11211RxxxeLLCL 那么有21xx11010RuLCLLxx写成21)()(xCtcty10Cx输出11100RLLuLCxx写成)()(1titx21( )( )x ti t dtC假设选另一组形状变量11211( )Rxxxe tLLL 121xcx 那么有 uyayayaynnnnn 02211 假 设 给 出 ( t = 0 ) 时 的 初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。 0,ttu)0(y)0(y )0()1( ny121, nnyxyxyx单输入单输入- -单输出线性定常系统单输出线性定常系统选取形状变量二、系统的形状空间表达式12231nnxxx

7、xxx9-170 11 21nnnxa xa xaxu或写成xAxBx12012101000001000,00010nnxxxaaaa xAB9-19系统构造图如下图图9-3例9-3222yyyu输入为输入为 u u ，输出为，输出为y y 。试求系统的形状方程和输出方程。试求系统的形状方程和输出方程。思索用以下常微分方程描画的系统思索用以下常微分方程描画的系统解：12222122xxxxxu 1122220102xxuxx形状方程为写成取形状变量12,xy xy 输出1210 xyx图9-4 例9-3系统的构造图多输入-多输出系统图9-6 多变量系统ppnnububxaxaxax111112

8、121111 ppnnububxaxaxax212122221212 pnpnnnnnnnububxaxaxax 112211nxxx,21 为形状变量；puuu,21 为输入量；qyyy,21 为输出变量。矩阵方式：xAxu111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA111212122212ppnnnpbbbbbbbbbB式中ppnnududxcxcxcy111112121111 ppnnududxcxcxcy212122221212 .pqpqnqnqqqududxcxcxcy 112211输出变量方程111212122212nnqqqncccccccccC1112121222

9、12ppqqqpdddddddddDyC xD u图9-7 系统构造图三、线性定常系统形状方程的解式中式中 均为列向量。均为列向量。)2 , 1 , 0(ibixAx9-28齐次向量微分方程齐次向量微分方程kktbtbtbbtx2210)(9-29方程的解为方程的解为1、齐次形状方程的解)(210121kkkktbtbbAtkbtbb可得( ) txxAx代入方程 将方程两边系数必相等方程两边系数必相等, , 即即1022103320011221133 21kkbAbbAbA bbAbA bbA bk ！0)0(bx我们定义022)121()(xtAktAAtItxkk！9-31kKAttAk

10、tAAtIe！121229-32因此，齐次形状方程的解为将 t=0 代入9-29中得0)(xetxAt9-33( )( )x tAx t9-34)()(0sAxxssx9-35Ate为nn矩阵，称矩阵指数。于是齐次形状方程的解为于是齐次形状方程的解为用拉氏变换法求解用拉氏变换法求解01)()(xAsIsx011)()(xAsILtx)(11AsILeAt122311()AtkkkksIAL eL IAtA tkIAAAssss！拉氏反变换后得到9-379-38最终得到 与前一种解法所得结果一致。 AtetAtexp式中( )(0)( ) (0)Atx te xt x 9-41形状转移矩阵具有以

11、下性质：形状转移矩阵具有以下性质：I)0(, 1)()(, 21tt)()()(, 3020112tttttt)()(, 4kttk图9-8 形状转移特性例9-511220100 xxxx设系统的形状方程为设系统的形状方程为试求形状转移矩阵。试求形状转移矩阵。解：2 211( )2!Atk kteIAtA tA tk230100,00001001( )010001nAAAAttt11221( )(0)01( )(0)txtxxtx求形状转移矩阵为其中可以写出方程解为例9-6x3210 x设系统形状方程为设系统形状方程为试求形状方程的解。试求形状方程的解。解：2s21s12s21s22s11s1

12、2s11s2)2s)(1s (s)2s)(1s (2)2s)(1s (1)2s)(1s (3ss213s)2s)(1s (1AsI)AsI(adj)AsI(3s21s)AsI(1用拉氏变换求解。先求出矩阵指数用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 形状方程之解为 t2tt2tt2tt2t11Ate2ee2e2eeee2)AsI(Le)0(x)0(xe2ee2e2eeee2)0(xe) t (x21t2tt2tt2tt2tAt将上式进展拉氏反变换将上式进展拉氏反变换图9-9 系统的瞬态解a与相轨迹b改写为 )()()(tButAxtx用 左乘等式两边 Ate2 2 非齐次形状方程的解非齐次形状方程的解非

13、齐次方程)()()(tButAxtx9-53)()()()(tBuetxedtdtAxtxeAtAtAt9-54dBuextxetAAt)()0()(0dBuexetxttAAt)()0()(0)(用 左乘上式两边Ate9-540( )( ) (0)()( )tx tt xtBud 那么式9-54可以写成9-55积分上式得讨论非齐次形状方程的拉氏变换解法讨论非齐次形状方程的拉氏变换解法 sBusAxxssx)()(0 sBuAsIxAsIsx101)()()()()()0()()(1111sBuAsILxAsILtx拉氏反变换得拉氏反变换得)(11AsILeAt由于由于 ttAdBuesBuA

14、sIL0)(11)()(由卷积定理有由卷积定理有 ttAdBuesBuAsIL0)(11)()(tAAtdtBuexetx0)()0()(ttAAtdBuexetx0)()()0()(因此由于由于最后得到例9-7uxx103210求下述系统形状的时间呼应求下述系统形状的时间呼应控制量控制量u u为单位阶跃函数。为单位阶跃函数。解：112222( )2222tttttttttLsIAeeeeeeee)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(31ssssssssssAsI由形状转移矩阵tttttAeeeedtBue0225.05.0)(tttteeeexttx225 . 05 . 0)0

15、()()(220.50.5( )tttteex tee假设初始形状为零形状，那么假设初始形状为零形状，那么)()()(sBUsAXssX)()()(sDUsCXsY四、传送函数矩阵BuAxx9-58系统形状方程系统形状方程DuCxy9-59输出方程输出方程拉氏变换为拉氏变换为解出解出定义传送函数矩阵为)()()(1sBUAsIsX)()()(1sUDBAsICsYAsIAsIadjAsI)()(1DBAsICsG1)()(9-63所以所以特征方程为AsIDAsIBAsICadjDBAsIAsIadjCsG)()()(0| AsI例9-8 设系统的动态方程为 试求该系统的传送函数矩阵。11122

16、21122011002011001xxuxxuyxyx解：011010,0020101ABCD知知11111(2)()2102sss ssIAoss故故1( )()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss例9-90100001061161Ab 设系统的形状方程为设系统的形状方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。解：3210| det 01611606116| (1)(2)(3)0ssIAssssssIAsss系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。五、

17、动态方程的可逆线性变换五、动态方程的可逆线性变换DuCxyBuAxxuDxCyuBxAxxPx1Pxx 其中 P 是nn 矩阵1 PAPA1CPCBPB特征多项式AsIAsIPPAsIPPPAsIPPAsIPPAPsPPPAPsIAsI1111111)(特征多项式没有改动。DBAsICDPBPAsIPCPDPBPAsIPCPDPBPAPsPPCPDPBPAPsICPDBAsIC111111111111111)()()()()()(传送函数阵传送函数阵传送函数阵没有改动传送函数阵没有改动例9-10 对例9-9之系统进展坐标变换，其变换关系为 试求变换后系统的特征方程和特征值。1122331111

18、23149xxxxxx解： 根据题意求变换矩阵11111132.50.5123 ,34114911.50.5PPxPAPxPbu代入11223332.50.501011134100112311.50.5611614932.50.50341011.50.51xxxxxxu 132| (1)(2)(3)6116 0sIP APssssss 特征方程为特征值为-1，-2，-3，与例9-9结果一样。可得9-2 9-2 线性系统的可控性和可观测性线性系统的可控性和可观测性 在形状空间法中，对系统的描画可由形状方程和输出方程来表示。 形状方程是描画由输入和初始形状所引起的形状的变化；输出方程那么是描画由于

19、形状变化而引起输出的变化 可控性和可观测性的概念，就是回答可控性和可观测性的概念，就是回答“系统的输入能否系统的输入能否能控制形状的变化能控制形状的变化和和“形状的变化能否由输出反映出形状的变化能否由输出反映出来来这样两个问题。这样两个问题。一、预备知识一、预备知识设设A A 是是 n nn n 矩阵矩阵, x , x 是是 n n1 1 向量向量, ,齐次方程组齐次方程组假设 |A|=0, 9-70式存在非零解；假设|A|0, 9-70式只需零解。Ax=09-701 1、齐次方程组的非零解、齐次方程组的非零解2、Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出， 矩

20、阵A满足本人的特征多项式。那么A满足1110( )nnnfIAaaa9-710)(0111IaAaAaAAfnnn9-72A的特征多项式运用Cayley-Hamilton 定理)(0111IaAaAaAnnn10)(nkkkAtAte9-78120,nnAAA AI,Ate)( ,nkAk对于矩阵指数 可以用来表示。例9-11解：矩阵A的特征多项式22| (1)21IA1201A100?A要求计算矩阵 的矩阵A满足本人的特征多项式，有2324323243(1)nAAIAAAAIAA AAIAnAnI10012001009901AAI此题中n=100，故有3 引理nbAbAAbbrankn12的

21、充分必要条件是：存在的充分必要条件是：存在 使使01t101),0(ttATAtdtebbetWT9-80非奇特。这里非奇特。这里A :nA :nn, b: nn, b: n1.1.假设对恣意形状假设对恣意形状 ，存在一个有限时辰，存在一个有限时辰 和控制和控制量量 ，能在，能在 时辰将形状时辰将形状 转移到转移到0 0，那么称此系，那么称此系统的形状完全可控。统的形状完全可控。)(0tx0ttf)(tuft)(0tx二、线性系统的可控性二、线性系统的可控性1 定义对于恣意时辰对于恣意时辰 和和 ，假设存在控制向量，假设存在控制向量 ，能将，能将 的每个初始形状的每个初始形状 转移到转移到 时

22、辰的另一恣意形状时辰的另一恣意形状 , ,那么称此系统的形状完全可控。那么称此系统的形状完全可控。 )(tu0tft0tt ftt )(0tx()fx t等价的定义例如图9-10 二维系统形状转移过程如下图二维系统形状转移过程如下图系统可控。系统可控。2 可控性判据其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的充分必要条件是ducxybuAxx9-849-85nbAAbbrankn 19-86单变量线性定常系统证明：将u(t) 代入式(9-54)，可得xex)t , 0(Web) t (u1At0f1tATfT9-87假设式假设式(9-86)(9-86)成立，由前面

23、预备知识的引理，存在成立，由前面预备知识的引理，存在t10t10，使得使得(1-30)(1-30)式定义的式定义的W(0, t1)W(0, t1)矩阵非奇特，取矩阵非奇特，取t1t1为可控性为可控性定义中的定义中的tf tf ，且在，且在0, tf 0, tf 上定义上定义由定义可知式(9-86)成立时，系统可控。 ffTfft01At0f1AT)t (A0Atfdxex)t , 0(Webbexe)t (x11AtAt0At0At1Att0f1ATAAt0t0f1ATAAt0Atxxeexexedxe)t ,0(Webbeedx)t ,0(WebbeexeffffffTffTff再证明假设系

24、统可控，那么式(9-86)成立 根据凯莱哈密尔顿定理 d)(bue)0(xft0A9-881n0mmmAA)(e9-89假定系统由恣意初始形状被控制到零形状，即 x(tf)=0 。根据(9-54)式，那么有把(9-89) 式代入(9-88) 式，得记d)(u )(bA)0(xft0m1n0mm0( ) ( )(0,1,2,1)ftmmudumnm1n0mmubA)0(x这时0111(0)nnuuxbAbAbu9-90由于x(0)是恣意的n维向量，(9-90)式要有解，一定有(9-86)式成立，即n)bAbAAbb(rank1n2由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于由上述可控性判据可知，系

25、统的可控性只取决于(9-84) (9-84) 式中的式中的A A阵和阵和b b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记为为S S，这样，可控的充要条件就写成：，这样，可控的充要条件就写成：rankS=n rankS=n 或或 detS0detS0。图9-11 不可控系统例子系统可控uxx1100410201229414212102bAAbbPc01detcP系统3 约当型方程的可控性判据 约当块的普通方式为111111001由前面讨论可知，等价变换不改动可控性。可控的充分必要条件为同一特征值对应的约当块只需一块，即各约当块的特征值不同。每一约当块最后一行，所对应

26、的b中的元素不为零。这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控性判据。例9-12ubbbbx11x43212211系统形状方程为系统形状方程为i21b,试确定系统可控时，试确定系统可控时， 应满足的条件。应满足的条件。解：0bb)(4221 假设用直接计算可控性矩阵的方法也可得到同样结果 .由于由于A A阵有两个假设当块，根据判据的阵有两个假设当块，根据判据的(1)(1)应应有有 ，由判据的，由判据的(2)(2)，A A的第二行所对的第二行所对应的应的b b中的元素中的元素b2,b4b2,b4均不为零，因此系统可均不为零，因此系统可控的充要条件为控的充要条件为214、可控规范形uxxn1

27、000100000100001012109-92那么系一致定可控。一个单输入系统，假设具有如下方式(9-92)式的方式被称为单输入系统的可控规范形 。 对于普通的单输入n维动态方程 (9-93) 其中A，b分别为nn,n1的矩阵。成立以下定理： 假设n维单输入系统可控，那么存在可逆线性变换，将其变换成可控规范形。buAxx下面给出变换矩阵P的构成方法 计算可控性矩阵S；计算 ，并记 的最后一行为h。构造矩阵 P令 1S21nhhAPhAhAPxx 1S1 PAPAPBB 1CPCDD 即可求出变换后的系统形状方程。即可求出变换后的系统形状方程。例9-13 设系统形状方程为 试将系统形状方程化为

28、可控规范形。u110 x041020122x解： 先判别可控性，再计算变换矩阵，将形状方程化为可控规范形。 故系统可控。 一定可将它化为可控规范形。 0Sdet941421210bAAbbS2此时规范形中的系统矩阵的最后一行系数就是A阵特征式的系数，但符号相反。那么变换矩阵为112h112225012S1102121012P324223112P1可求出1211221210322020121423140201010001254APAP 100110324223112Pbb5 系统按可控性进展分解 系统可控时，可经过可逆线性变换变换为可控规范形，如今研讨不可控的情况，这时应有nnbAAbbrank

29、11n下面的结果被称为系统按可控性进展分解的定理 假设单变量系统(9-84，85)式的可控性矩阵满足(9-103式，那么存在可逆线性变换矩阵P，使得变换后的系统方程具有以下方式 式中 是n1维向量, 是n2维向量，并且121114221122(9 104)00(9 105)AAxbxuAxxxyccdux111n1111nbAbAbrank1db)AsI(cdb)AsI( c111n1119-1069-1071x2x(9-106)式阐明下面的动态方程是可控的： 9-107)式阐明的动态方程式(9-108，109)和原来的n维动态方程式(9-84，85)具有一样的传送函数。或者说传送函数中未能反

30、映系统中不可控的部分。duxcyubxAx1111119-1089-109证明：证明：nnbAbAbAAbbrank11nn1n119-110调查调查(9-103)(9-103)式，并将它重新写出如下式，并将它重新写出如下11nnbAAbbrank1进而可以证明进而可以证明1nn21q,q,q补充选取线性无关的向量补充选取线性无关的向量11,211nnnqqqbAAbb并使得向量组并使得向量组 线性无关。线性无关。令q,q,q, bA,Ab, bP11nn211n1假设将假设将(9-104(9-104，105)105)式所表示的系统用方框图表示，式所表示的系统用方框图表示，可控性分解的意义就能

31、更直观地表达出来，可控性分解的意义就能更直观地表达出来，(9-104(9-104，105)105)式的系统方块图如图式的系统方块图如图9-129-12所示。所示。Pbb,PAPA1即可证明 具有定理所要求的(9-104)的方式。图9-12 系统按可控性分解 从图9-12中可见，控制输入不能直接改动 也不能经过影响 间接改动 ，故 这一部分形状分量是不受输入影响的，它是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传送函数完全由图中虚线以上的部分所决议，即传送函数未能反映系统的不可控部分。 1x2x2x例9-14 设有系统方程如下 其传送函数为 试进展可控性分解 。x001yu010 x110010

32、011x2) 1s (1) s (g解：210111210bAAbbS2系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵由于由于S S的第的第3 3列是第列是第1 1列与第列与第2 2列的线性组合，列的线性组合，系统不可控系统不可控 。1(001)Tq选取选取计算出 1010110011PbAbq010cPc,001Pbb,100021010PAPA11构成构成110100101P故有因此得10c01b2110A11121001rankbAbrank111) s (g) 1s (1012s11s10b)AsI(c211111三、线性系统的可观测性设n维单变量线性定常系统的动态方程为cxy,buAxx(9-11

33、3,114) 假设在有限时间间隔0, t1 内，根据输出值y(t)和输入值u(t)，可以独一确定系统的初始形状x(0)的每一个分量，那么称此系统是完全可观测的，简称可观的。式中A,b,c分别为 矩阵。1 1、 可观测性的定义可观测性的定义,1,1nn nn图9-13 不可观测系统 分析(9-117)式，当知道某一时辰的输出时， (9-117)式是n个未知量x(0)的(一个)方程，显然不能独一确定初值，要解出x(0) ，必需求利用一段时间上的输入和输出的值。将(9-117)式左乘一个列向量，再从0到t1积分就可得到n个未知数x(0)的n个方程。就可利用线性方程组存在独一解的条件来研讨。()0(

34、)( )(0)( )tAtA tg tcx tce xcebud(9-117)我们思索没有外作用的系统，可求出2 可观测性判据 可观测的充分必要条件是ncAcAcrank1n(9-118)(9-118)式中的矩阵称为可观性矩阵。并记为V。式9-118又可以写成det0V nc)A(c)A(cAc rankT1nTT2TTTT取x(0)= ，这一非零的初始形状引起的输出为AtAtce)0(xce) t (y9-1200dtcecedet)t , 0(VdetAtt0TtA11T根据预备知识中的引理，存在将 代入上式，得 显然不能够由y(t)=0来确定。即系统不可观测。1n0kkkAtA) t (

35、e100111( )( )(0)( )( )( )0nkkknny tct A xccAtttcA2030111 0 xxuyx 试判别系统的可观测性。设系统动态方程为例题9-15解： 系统的可观性矩阵 是奇特的，故系统不可观测。0201cAcV系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下坚持不变，因此可逆线性变换不改动系统的可观测性。坚持不变，因此可逆线性变换不改动系统的可观测性。 现实上 111n1n111111nVPPcAcAc)PAP(cPPAPcPcPAcAccV1P3 对偶原理上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定的关系，称

36、系统、是互为 对偶 的系统。 cxy,buAxxzbw, vczAzTTT系统系统 对偶原理对偶原理 系统的可控性(可观性)等价于系统的可观性(可控性)。 只需写出系统的可控性矩阵(可观性矩阵)和系统 的可观性矩阵(可控性矩阵)即可证明以上结论。 利用对偶原理，可以将可控性的研讨结果运用到可观测性的研讨上。由于对对偶系统的可控性研讨就相当于对原系统的可观性研讨。 运用： 假设式(9113)和式(9114)的动态方程中A阵具有约当规范形，那么系统可观测的充分必要条件为 同一特征值对应的约当块只需一块。 每一约当块的第1列所对应的c中的元素 非零。n上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可以

37、由对偶系统的可控性判据得到。例9-16 设动态方程为 试确定系统可观测时 应满足的条件。iic,xccccyu2010 x11x43212211解：x2010yuccccx1010 x43212211由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要条件为. 0c, 0c,3121这也就是原系统可观测的条件。构造原系统的对偶系统如下：4 可观测规范形 一个单输出系统假设其A,c 阵有如下的规范方式，它一定是可观测的。9-122式称为单输出系统的可观测规范形。 0121000010001000001000001nAc9-122xcy,ubxAx经过对偶原理证明： 给定系统方程如下cxy,buAxx)xMx

38、(xMx19-123假设有等价变换假设有等价变换将其化为可观测规范形将其化为可观测规范形式中式中 具有具有(9-122)(9-122)的方式。的方式。Ac和构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所以其对偶系一致定可控。zbw,uczAzTTTPzz 化为以下的可控规范形，其变换矩阵为P.zcw,ubzAz11111111PbcPcbPPAATTT，因此有TT11TT1T1TT1cPbb)P(cAP)P(AcMcbMbAMMA11TPM 9-134比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵它可将系统方程化为可观测规范形。它可将系统方程化为可观

39、测规范形。例9-17 系统动态方程为 将系统动态方程化为可观规范形，并求出变换矩阵。x11y,u11x1111x解： 显然该系统可观测，可以化为可观规范形。写出它的对偶系统的A,b阵，分别为11b,1111A 根据根据A,bA,b阵，按化可控规范形求变换阵的阵，按化可控规范形求变换阵的步骤求出步骤求出P P阵：阵： 计算可控性矩阵计算可控性矩阵S S0121AbbS5 . 05 . 0h5 . 05 . 0100121S11015 . 05 . 0hAhP由由(9-128)(9-128)式求出式求出P P阵阵1120M,05 . 015 . 0015 . 05 . 0PM1TT由由(1-60)

40、(1-60)式求出式求出M M阵阵 式中式中1005 . 015 . 011cMc02111120bMb212005 . 015 . 011111120AMMA11 5 系统按可观性进展分解 系统可观测，那么经过等价变换可以化为可观测规范形。如今研讨系统不可观的情况，它是系统不可控的对偶结果。 假设(9-113，114)的系统不可观测，且nncAcAcrank21n那么存在可逆矩阵P，将动态方程化为式中 是n2维向量, 是n-n2维向量，并且1x2xnnAcAccrank21n1111129-211212143121xx0cyubbxxAA0Axx9-9-(9-,)的式子也可用图9-14表示。

41、 这可以用前面证明可观规范形的方法论证。这可以用前面证明可观规范形的方法论证。 (9-)式阐明n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可观的； 这部分形状变量是不可观的； (9-)式阐明传送函数未能反映系统的不可观部分。2x11111)()(1bAsIcbAsIcn 系统按可观性分解的结系统按可观性分解的结果果(9-)图914 系统按可观测性分解由图上可以看出传送函数完全由图中虚线以上的部分所决议，即传送函数未能反映系统中不可观测的部分。四、可控性、可观测四、可控性、可观测性与传送函数的关系性与传送函数的关系 ) s (D) s (NAsIb)AsI(cadjb)AsI( c) s (g19-

42、141对应的传送函数为cxy,buAxx9-140思索单变量系统，其动态方程为1 1、可控性、可观测性与零、极点对消问题、可控性、可观测性与零、极点对消问题式中：AsI) s (Db)AsI(cadj) s (N N(s)=0的根称为传送函数g(s)的零点， D(s)=0的根称为传送函数g(s)的极点。下面是本段的主要结果。证明：首先用反证法证明条件的必要性，假设有s=s0既使N(s0)=0，又使D(s0)=0，由(9-141)式即得0b)AIs(cadj,0AIs00(9-143)利用恒等式IAsIb )AsI(cadj)AsI()AsI)(AsI(1I )s(D)AsI(adj)AsI(可

43、得(9-144)将s= s0代入(9-144)式，并利用(9-143)式，可得)AIs(Aadj)AIs(adjs000(9-145)将上式前乘c、后乘b后即有0)s(Nsb )AIs(cadjsb )AIs(cAadj000009-146将(9-145)式前乘cA、后乘b后即有0b )AIs(cAadjsb )AIs(adjcA00029-147依次类推可得0b )AIs(adjcA0b )AIs(adjcA0b )AIs(cAadj0b )AIs(cadj)s(N01n0200这组式子又可写成0b )AIs(adjcAcAc01n 出现矛盾，矛盾阐明N(s)和D(s)无一样因子，即g(s)

44、不会出现零、极点相消的景象。由于动态方程可观测，故上式中前面的可观性矩阵是可逆矩阵，故有0b )AIs(adj00ss1b)AIs(adj1n000又由于系统可控，无妨假定A、b具有可控规范形(9-92)的方式，直接计算可知9-148例9-18 设系统动态方程为101010146411210 xxuyx 不难验证系统是可控、可观测的。不难验证系统是可控、可观测的。 显然显然N(s)N(s)和和D(s)D(s)无非常数的公因式，这时传无非常数的公因式，这时传送函数没有零、极点相消。现实上送函数没有零、极点相消。现实上422342)1s()1s(1s4s6s4s1s2s)s(g1s4s6s4sAs

45、I)s(D1s2sb)AsI(cadj)s(N2342 分别计算分别计算 2 传送函数的最小阶动态方程实现 知动态方程，可以用(9-64)式计算出传送函数。假设给出传送函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题称为传送函数的实现问题。 假设又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为传送函数的最小实现问题。设给定有理函数设给定有理函数011n1nn011n1n011n1nn011n1nn0asasasbsbsbdasasasdsdsdds)s(g(9-149)(9-149)式中的d 就是以下动态方程中的直接传送部分ducxy,buAxx(9-150)所以只需讨论(9-149)式中的严厉真有理分式部分。

46、给定严厉真有理函数给定严厉真有理函数011n1nn011n1nasasasbsbsb) s ( g(9-151)要求寻觅 A,b,c，使得) s ( gb)AsI( c1(9-152)并且在一切满足(9-152)式的A,b,c中，要求 A 的维数尽能够的小。下面分两种情况讨论 可控规范形的最小阶实现式(9-153) 对(9-151)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c)1n101n210bbbc1000b1000001000010A(9-153)1 1g(s)g(s)的分子和分母的分子和分母无非常数公因式的情况无非常数公因式的情况1000cbbbb10001001000A1n101n210(

47、9-154) 可观规范形的最小阶实现 (9-153)式给出的(A, b, c)具有可控规范形，故一定是可控的。可直接计算它对应的传送函数就是(9-151)的传送函数。由于g(s)无零、极点对消，故可知(9-153)式对应的动态方程也一定可观。同样可以阐明(9-154)式是(9-151)的可观规范形的最小实现。 假设g(s)的分母曾经分解成一次因式的乘积，经过部分分式分解，容易得到约当规范形的最小阶实现。现用例子阐明,设g(s)有以下的方式)s(c)s(c)s(c)s(c)s()s(bsbsbsb)s(g)s(u)s(y4413212311431012233(9-155) 约当规范形的最小阶实现

48、约当规范形的最小阶实现 由于g(s)无零、极点对消，故可知上式中c1c4均不为零。令)s(us1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(xs1)s(u)s(1)s(x)s(us1)s(x44213113121213uxxxxxxxxuxx44421113212313分别对应于而44332211xcxcxcxcy综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T可得xccccyu1100 x001001x43214111由假设当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是可控、可观测的，因此它是g(s)一个最小阶实现。 假设g(s)的分母是n阶多项式，但分子和分母有相消的公因式时,这时n 阶

49、的动态方程实现就不是最小阶实现，而是非最小实现，(或是不可控的，或是不可观的，或是既不可控也不可观的)。 g(s)的最小实现的维数一定小于n。2 2g(s)g(s)的分子和分的分子和分母有相消因式的情况母有相消因式的情况例9-19设g(s)的分子N(s)=s+1,而分母D(s)= ，分子与分母有公因子(s+1) 。1s2s2s23仿照(9-153)式，可写出g(s)的一个三维的可控规范形实现x011yu100 x221100010 x无须验证这个实现是可控的x100yu011x210201100 x因此这一实现是不可观的。同理，假设按(9-154)式构造如下的可观测规范形的三维实现，它一定是不

50、可控的。2rankV121110011V计算可观测性矩阵 当然也可以构造出g(s)的既不可控又不可观测的三维实现。如今将分子和分母中的公因式消去，可得1ss11s2s2s1s)s(g223 假设用上式中最后的式子，仿照(9-153)式或(9-154)式，构造出二维的动态方程实现，它是g(s)的最小实现。 9-3 9-3 形状反响与形状观测器形状反响与形状观测器本节首先研讨用形状变量作反响的控制方式。系统的动态方程如下cxy,buAxx(9-157)令kxvu(9-158)一、形状反响和极点配置问题一、形状反响和极点配置问题式中的v 是参考输入，k称为形状反响增益矩阵，这里它是1n 的向量。图9

51、-15cxy,bvx)bkA(x(9-159)图9-15所示的闭环系统的形状空间表达式为式中A-bk为闭环系统的系统矩阵。 将(9-157)式和(9-158)式用方框图表示，见图9-15，它是一个闭环系统。计算(9-159)式闭环系统的可控性矩阵，由于)bA,bA,Ab,b(bAb)bkA()bA,Ab,b(bA)Ab,b(bA)(bkA(b)bkA()Ab,b(bA)bdAb)(bkA(b)bkA(bdAbbkbAbb )bkA(2n21n1n232322的线性组合的线性组合的线性组合的线性组合1 1 形状反响不影响可控性形状反响不影响可控性10000101bAAbbb)bkA(b)bkA(

52、b1n1n上式中最后一个矩阵显然是非奇特矩阵，因此有bAAbbrankb)bkA(b )bkA(brank1n1n(9-160)因此有式(9-160)阐明，假设原来系统可控，加上恣意的形状反响后，所得到的闭环系统也可控。假设原来系统不可控，不论用什么k 阵作形状反响，所得到的闭环系统依然不可控。这一性质称为形状反响不改动系统的可控性。 形状反响能够改动系统的可观测性。即原来可观的系统在某些形状反响下，闭环可以是不可观的。同样，原来不可观的系统在某些形状反响下，闭环可以是可观的。形状反响能否改动系统的可观测性，要进展详细分析。例9-20 系统的动态方程如下xccy,u10 x1011x21下表列

53、出了系统 c 阵参数、形状增益向量 k 和系统可观测性的关系。 可观可观 恣意恣意 可观可观01 可观可观 1 111 不可观不可观 1 2 可观可观11 不可观不可观 0 110 可观可观 1 1 不可观不可观10闭环系统闭环系统 k 原系统原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传送函数的极点变化、能否发生零极点对消来阐明。2 2 形状反响对闭环特征值的影响形状反响对闭环特征值的影响 闭环方程(9-159)中的系统矩阵A-bk的特征值，普通称为闭环的极点。闭环系统的质量主要由闭环的极点所决议，而稳定性那么完全由闭环极点所决议。 经过选取反响增益阵来改动闭环特征值在复平面上的位置，称为形状

54、反响进展极点配置问题。证明：定理：定理： 闭环方程闭环方程(9-159) 的的系统矩阵系统矩阵A-bk 的特征值的特征值可以由形状反响增益阵可以由形状反响增益阵 k 配置到复平面的恣意配置到复平面的恣意位置，其充分必要条件位置，其充分必要条件是是(9-157)式的系统可控。式的系统可控。先证充分性 由于(9-157)式的系统可控,那么存在可逆矩阵P，将(9-157)式的系统经过 的变换化为可控规范形。Pxx 1n101n10cccc100baaa1010AxcyubxAx式中(9-161)现引入1n10kkkk9-162这时(9-158)式的形状反响式可写为：思索矩阵xkvxkPvkxvu1P

55、kkkPk1)ka ()ka ()ka (1110kbA1n1n1100它的特征式为由于)kbA(sIdet)ka (s )ka (s )ka (s00111n1n1nn)PbkPPAP(sIdet)kbA(sIdet11)bkA(sIdetP)kbA(sIPdet1故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有一样的特征值。bkA kbA bkA kbA 设恣意给定的闭环极点为 , 且n21,011n1nnn21sss)s()s)(s(9-166)式中 完全由 所决议。比较 (9-165a)式和(9-166)式可知，假设要(9-166)的根为 ，需有)1n,2 ,1i(iiiiiiiiiak)1n

56、 , 1 , 0i (ka(9-167)这阐明恣意给定闭环n个极点，均可经过(9-167) 、(9-163)式确定，使A-bk具有给定的n个特征值，充分性证毕。必要性 假设系统(9-157)可恣意配置闭环特征值，要证明系统(9-157)可控。用反证法，假设系统(9-157)不可控，那么存在一个可逆矩阵，经过等价变换后，可将(9-157)式转换为(9-104，105)的可控分解方式。思索矩阵4212111211421A0kbAkbAkk0bA0AAkbAkA4的特征值不受 的影响，即A-bk中的一部分特征值不受k 的影响，这与可恣意配置A-bk的特征值相矛盾。矛盾阐明系统(9-157)可控。 以

57、上定理的充分性证明中，已给出经过可控规范形来选择k阵，使闭环具有恣意要求的特征值的计算步骤，现归纳如下 计算A的特征式011n1nnasasas)AsIdet( 由所给的n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式n21,011n1nnn21sss)s()s)(s( 根据(9-94) 式，计算化可控规范形的坐标变换阵PPkk 求出反响增益阵 上述步骤中有化可控规范形这一步。假设不经过这步，也可直接求k。)aaa(k1n1n1100 求ku1010 x01100100001000010 x系统形状方程为假设加形状反响使闭环特征值分布为-1,-2,-1+j,-1-j，试求形状反响增益阵k。例9-21方法

58、一、经过化可控规范形求解242211)11()det(ssssAsI 计算A的特征式 由所给的4 个期望特征值，计算期望的多项式4s10s10s5s)2s2s)(2s)(1s(2342解： 求出反响增益阵100001001 . 01 . 0001 . 001 . 0PPkk=-0.4 -1 -21.4 -6 根据(9-94) 式，计算化可控规范形的坐标变换阵P 求52110405111001004k方法二：令 ，计算A-bk的特征式4321kkkkk 432241321()(11)1010sIA bkskk skksk sk比较两个特征式的系数可得4k10,10k10,1011kk, 5kk1

59、23142所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 最后强调： 在极点配置定理中，“恣意配置是和系统可控等价的。假设不要求恣意配置，就不一定要求系统可控。因此给定一组期望的特征值，只需它包含了一切不可控部分的特征值时，才是可配置的。 例9-22 设系统形状方程为 这一系统是不可控的。uxx11101000010000200012假设指定闭环特征值假设指定闭环特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-11100010000100001P11000100001000011P10000100002000121PAP0110Pb0210kkkk 令令有10000102001221021

60、0kkkkkkkbA20112)2(42)4(skksks441k44201kk所以00816k00816 Pkk02k令对-2,-2,-2,-1100001020012210210kkkkkkkbA)(kbAsI) 1(442)4()3(2102102213skkkskkkskks) 1()2(3ss84421246321021021kkkkkkkk所以有 但假设指定闭环特征值为 -2 ,-2,-2,-2 ， 就找不出k来到达这一配置要求。091980364k091980364Pkk例9-23)2s)(1s( s10)s(u)s(y有一系统的传送函数为有一系统的传送函数为要求用形状反响的方法