放缩法在导数压轴题中的应用

1、恰当采用放缩法 巧证导数不等式郑州市第四十四中学 苏明亮放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考一、利用基本不等式放缩，化曲为直例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（）设.证明：当时，.证明：由基本不等式，当时，故.记，则.当时，所以在内是减函数.故又由，所以，即， 故当时，.评注：本题第()问若直接构造函数，对进行求导，由于中既有根式又有分式，因此的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对进行放缩处理，使问题

2、得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等式证明，亦即是将抛物线弧放大化简为直线段，而该线段正是抛物线弧在左端点处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法.二、利用单调性放缩，化动为静例2（2013年新课标全国卷第21题（）已知函数.当时，证明.证法1：函数的定义域为，则.设，因为，所以在上单调递增.又，故在上有唯一实根.当时，；当时，从而当时，取得最小值为. 由方程的根为，得，故（当且仅当取等号），又因为时，所以.取等号的条件是，及同时成立，这是不可能的，所以，故 .证法2：因在定义域上是增函数，而，所以，故只需证明当时，即可.当时，在上单调递增.又，故在上有唯一实根

3、，且.当时，；当时，从而当时，取得最小值.由得，故.综上，当时，. 评注：借助导数取值研究函数单调性是证明初等不等式的重要方法.证法1直接求导证明，由于其含有参数，因而在判断的零点和求取得最小值显得较为麻烦；证法2利用对数函数的单调性化动为静，证法显得简单明了.此外，本题也是处理函数隐零点问题的一个经典范例.三、活用函数不等式放缩，化繁为简两个常用的函数不等式： 两个常用的函数不等式源于高中教材（人教A版选修2-2，）的一组习题，曾多次出现在高考试题中，笔者曾就此问题写过专题文章1.例3（2014年高考新课标卷理科第21题）设函数，曲线在点处的切线方程为.（I）求（II）证明：.分析：本题以曲

4、线的切线为背景，考查导数的几何意义，用导数作工具研究函数的单调性，求函数最值以及不等式的证明.第（I）问较容易，一般学生都能做出来，只需求出函数的导数，易得.第（II）问难度较大，主要考查考生运用导数知识证明不等式的能力及运算求解能力，是近年来高考压轴题的热点问题.本题第（II）问证法较多，下面笔者利用函数不等式来进行证明.证明：由，得，即，故（当且仅当时取等号） 又由，得，故，两边取自然对数得，即（当且仅当时取等号） 由于、式等号不能同时成立，两式相加得，两边同乘以，得. 评注：本题证明中利用函数不等式，并进行适当变形，结合不等式性质进行证明，从而避免了繁杂的计算，过程简洁自然，易于理解.例

5、4（2016年高考山东卷理科第20题（）已知.当时，证明对于任意的成立.证明：的定义域为，时，由 得，.即只需证，令，则.设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，由于，因此当时，当且仅当时取得等号，所以，即对于任意的恒成立.评注：要证明，比较麻烦的是式子中有，如果能让它消失，问题势必会简单些，所以自然就想到了利用比较熟悉的函数不等式进行放缩，方法自然，水到渠成.上述两个常用函数不等式的变式： 四、巧用已证不等式放缩，借水行舟例5（2016年高考新课标卷文科21题）设函数.（I）证明当时，；（II）设，证明当时，.证明：（I）易证当时，即.（II）由题

6、设，设，则，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减.由（I）知，故，又，故当时，.所以当时，评注：本题第（II）问利用第（I）中已证明的不等式及巧妙地求出，进而利用在单调性及端点值证明出利用已证不等式（或结论）服务后面问题的情况，在高考和模考试题中屡屡出现，这种解题中的“服务意识”不仅可以避开复杂的计算，往往也为解题思路指明了方向下面再看一例：例6（2013年高考辽宁卷理科21题）已知函数 当时，（I）证明： ；（II）确定的所有可能取值，使得 恒成立证明：（I）证明：要证时，只需证明记，则当时，因此在上是增函数，故所以，要证时， ，只需证明综上，（II）解： 设，则记，则当时，于是在上是减

7、函数，从而当时，故在上是减函数于是，从而所以，当时， 在上恒成立下面证明，当时， 在上不恒成立 ，记，则，当时，故在上是减函数，于是在上的值域因为当时，所以存在，使得，此时，即 在上不恒成立 综上，实数的取值范围是 评注：本题第二问是一道典型的恒成立求参问题，这类题目很容易让考生想到用分离参数的方法，但分离参数后利用高中所学知识无法解决（笔者研究发现不能解决的原因是分离参数后，出现了“型”的式子，解决这类问题的有效方法就是高等数学中的洛必达法则）；若直接构造函数，里面涉及到指数函数、三角函数及高次函数，处理起来难度很大本题解法中两次巧妙利用第一问的结论，通过分类讨论和假设反正，使问题得到解决上述几道导数不等式都不是考查某个单一的初等函数，而是综合考查指数函数、对数函数（尤其与“”和“”有关）、三角函数以及带根号的幂函数和其它函数综合在一起，如果直接求导或求函数零点较为困难，而通过上述放缩法处理，或化动为静或化曲为直或化繁为简或借水行舟，其实就是将这些难以处理的函数转化为较为简单的函数进行处理由于放缩的尺度不