阻尼振动共振

1、目目 录录2 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动3 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振作业：作业：6-7, 6-8,6-9（旧版）（旧版）6-13，6-14，6-15（新版）（新版）22 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动kmT 220 2-2 谐振子的阻尼振动谐振子的阻尼振动dtdxvfr 2-1 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比，与其方向相反。与其方向相反。弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力

2、学方程：弹性力或准弹性力和上述阻力作用下的动力学方程：xkxxm 3022022 xdtdxdtxd 称称 为振动系统的固有角频率为振动系统的固有角频率, ,称称 为阻尼系数为阻尼系数 0m2 ;20mk xkxxm 令：令：（1）阻尼较小时阻尼较小时， 此方程的解此方程的解：202 220 )cos()(0 tAetxt这种情况称为欠阻尼这种情况称为欠阻尼阻力使周期增大阻力使周期增大4由初始条件决定由初始条件决定A和初相位和初相位 ,设设0000,)0(,0Vdtdxxxtt 即有即有： 00000cossincos AAVAx 220020)( xVxA 0000 xxVtg t欠阻尼欠阻

3、尼)(tx5tteCeCtx)(2)(1202202)( 202 （2）阻尼较大时，）阻尼较大时， 方程的解：方程的解：21CC ，其中其中 是积分是积分常数，由初始条件常数，由初始条件来决定，这种情况来决定，这种情况称为过阻尼。称为过阻尼。t过阻尼过阻尼)(tx无振动发生。无振动发生。6t临界阻尼临界阻尼)(tx202 称之为临界阻尼情况。它是振动系统称之为临界阻尼情况。它是振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置的情况，应用在天平调衡中。平衡位置的情况，应用在天平调衡中。21,CC是由初始条件是由初始条件决定的积分常数决定的积分常数。tetCCtx

4、)()(21（3）如果如果 方程的解：方程的解：202 220 是从有周期性因子是从有周期性因子 到无周期性的临界点。到无周期性的临界点。7mHhmmk 2 ;20；令令 3-1 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动3 3 谐振子的受迫振动谐振子的受迫振动 共振共振设强迫力设强迫力ptHfcosxvfr阻尼力：阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022 是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。是典型的常系数、二阶、线性、非齐次微分方程。由微分方程理论由微分方程理论：非齐次微分方程的通解非齐次微分方程的通解= =齐次微分方程的解齐次微分方程的解+ +非齐次的一个特解非齐次的一个特解8202

5、 其解为：其解为：)cos()cos()(00220 ptAtAetxpt经过足够长的时间，称为定态解：经过足够长的时间，称为定态解：)cos()(0 ptAtxp该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；该等幅振动的角频率就是强迫力的频率；稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：稳定态时的振幅及与强迫力的相位差分别为：2222204)(pphAp 22002pparctg 9求振幅对频率的极值，得出求振幅对频率的极值，得出2222204)(pphAp 2202 rp共振时强迫力的角频率共振时强迫力的角频率 2202 hAr共振的振幅共振的振幅振幅有极大值振幅有极大值3-2 共振共振22002ppa

6、rctg 代入代入 2200 arctgr与强迫力的相位差与强迫力的相位差0 dpdAp104 简谐振动的合成简谐振动的合成4.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成4.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成4.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成本讲提纲本讲提纲作业：作业：6-10， 6-11 , 6-12（旧版）（旧版）6-16，6-17，6-18（新版）（新版）4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成11 代数方法：设两个振动具有相同频率，代数方法：设两个振动具有相同频率，

7、同一直线上运动，有不同的振幅和初相位同一直线上运动，有不同的振幅和初相位4 4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.1 同方向、同频率的简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成)cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)()()(21txtxtxtAtAsinsincoscos)cos(tA 结论：仍然是同频率仍然是同频率的简谐振动。的简谐振动。合振幅合振幅122AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA 几何方法几何方法)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAarctg 13讨论一：讨论一：, 2, 1

8、, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A当当 称为干涉相长。称为干涉相长。 21AA 12AA 14讨论二：讨论二：|21AAA当当 时，时， 称为干涉相消。称为干涉相消。21AA 0A2AA1A讨论三：讨论三：1A2AA,)(2101212 kk |2121AAAAA k 12一般情况：一般情况：154.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成利用三角函数关系式：利用三角函数关系式：为了简单起见，先讨论两个振幅相同，为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。其振动表达式分别为

9、：率振动的合成。其振动表达式分别为：222 coscoscoscos)cos()( tAtx22)cos()( tAtx111621与当当 都很大，且相差甚微时，可将都很大，且相差甚微时，可将 视为振幅变化部分，视为振幅变化部分，合成振动是以合成振动是以 为角频率的谐振动。为角频率的谐振动。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种即振动忽强忽弱，所以它是近似的谐振动这种合振动忽强忽弱的现象称为合振动忽强忽弱的现象称为拍拍。)cos()cos()( tAtAtx21)(c

10、os(cos 2221212ttA）17单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频显然，拍频是振动显然，拍频是振动 的频率的两倍。的频率的两倍。即拍频为：即拍频为：)cos(t212 )(txt12122212 )()2(212 184.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成垂直方向、同频率简谐振动的合成设一个质点同时参与了两个振动方向相互设一个质点同时参与了两个振动方向相互垂直的同频率简谐振动，即垂直的同频率简谐振动，即 );cos(101 tAx)cos(202 tAy10101 sinsincoscos ttAx20202 sinsincoscos ttAy19

11、 2212222122sincos AAxyAyAx)(1020上式是个椭圆方程，具体形状由上式是个椭圆方程，具体形状由 相位差决定。相位差决定。质点的运动方向与质点的运动方向与 有关。当有关。当 时，时，质点沿顺时针方向运动；当质点沿顺时针方向运动；当 时，时，质点沿逆时针方向运动。质点沿逆时针方向运动。2021AA 当当 时，正椭圆退化为圆时，正椭圆退化为圆。20讨论讨论1 01020 )( 0221222212 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的运动。直线上的运动。yx 2212222122sincos AAxyAyAx21讨论讨论2 )(10200221222212

12、 AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直线上的振动。直线上的振动。讨论讨论321020 )(1222212 AyAx所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且顺时针旋转。的椭圆方程，且顺时针旋转。1A2Ayx22质点的轨道是圆。质点的轨道是圆。X和和Y方向的相位差决定旋转方向方向的相位差决定旋转方向。21AA 讨论讨论5讨论讨论4所以是在所以是在X轴半轴长为轴半轴长为 ， Y轴半轴长为轴半轴长为 的椭圆方程，且逆时针旋转。的椭圆方程，且逆时针旋转。1A2A1222212 AyAx231020 )(23讨论讨论6 k21020 则为任一椭圆方程。

13、则为任一椭圆方程。32102121020， kk 综上所述：两个频率相同的互相综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动垂直的简谐振动合成后，合振动在一直线上或者在椭圆上进行在一直线上或者在椭圆上进行(直线是退化了的椭圆直线是退化了的椭圆)当两个当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。道就成为圆。244.4 垂直方向、不同频率简谐振动的合成垂直方向、不同频率简谐振动的合成一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，一般是复杂的运动轨道不是封闭曲线，即合成运动不是周期性的运动。即合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论下面就两种情况讨论 视为同频率的合成，不视为同频率的合成，不过两个振动的相位差在缓慢地变化，过两个振动的相位差在缓慢地变化，所以质点运动的轨道将不断地从下图所以质点运动的轨道将不断地从下图所示图形依次的循环变化。所示图形依次的循环变化。012120212当当 时是顺时针转；时是顺时针转； 时是逆时针转。时是逆时针转。25012412431245 47 21223262、如果两个互相垂直的振动频率成整数比，如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨