带电粒子在磁场中的临界问题

1、图621【例例1 1】真空中宽为真空中宽为d d的区域内有强度为的区域内有强度为B B的匀强磁场，方向如图的匀强磁场，方向如图6 62 21 1所示，质量所示，质量m m带电量带电量-q-q的粒子以与的粒子以与CDCD成成q q角的速度角的速度v v0 0垂直垂直射入磁场中要使粒子必能从射入磁场中要使粒子必能从EFEF射出，则射出，则初速度初速度v v0 0应满足什么条件？应满足什么条件？EFEF上有粒子射上有粒子射出的区域？出的区域？一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极一、处理同源带电粒子在磁场中运动的临界极值方法值方法-放缩法放缩法思维导图思维导图SvvBPSvSQPQQ量变积累到一定

2、程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态P【分析分析】如图甲所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动如图甲所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知个临界值时便从右边界射出，依此画出临界轨迹，借助几何知识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下边界识即可求解速度的临界值；对于射出区域，只要找出上下

3、边界即可即可【解析解析】粒子从粒子从A A点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆点进入磁场后受洛伦兹力做匀速圆周运动，要使粒子必能从周运动，要使粒子必能从EFEF射出，则相应的临界轨射出，则相应的临界轨迹必为过点迹必为过点A A并与并与EFEF相切的轨迹如图乙所示，作出相切的轨迹如图乙所示，作出A A、P P点速度的垂线相交于点速度的垂线相交于O O即为该临界轨迹的圆心即为该临界轨迹的圆心设临界半径R0，由R0(1+cos )=d得：R0= ；故粒子必能穿出EF的实际运动轨迹半径RR0即：R= 得：v0 1dcosomvqB1dcos1qdBmcos 由图知粒子不可能从P点下方射出EF，即只能从P点上

4、方某一区域射出；又由于粒子从点A进入磁场后所受洛伦兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从AG直线上方射出；由此可见EF中有粒子射出的区域为PG，且由图知：PG=R0sin +dcot = +dcot .【评析】带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键是寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R与R0的大小关系确定范围sin1 cosd总结：总结：放缩法放缩法 带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁场带电粒子以任意速度沿特定方向射入匀强磁

5、场时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随时，它们将在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹半径随速度的变化而变化，如图所示，速度的变化而变化，如图所示，( (图中只画出粒子带正图中只画出粒子带正电的情景电的情景) )，速度，速度v v0 0越大，运动半径也越大可以发现越大，运动半径也越大可以发现这样的粒子源产生的粒子射这样的粒子源产生的粒子射 入磁场后，它们运动轨迹入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度方向的直线的圆心在垂直速度方向的直线PPPP上上 由此我们可得到一种确定临界条件由此我们可得到一种确定临界条件的方法：在确定这类粒子运动的临的方法：在确定这类粒子运动的临界条件时，可以以入射点界条

6、件时，可以以入射点P P为定点，为定点，圆心位于圆心位于PPPP直线上，将半径放缩直线上，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，使作轨迹，从而探索出临界条件，使问题迎刃而解，这种方法称为问题迎刃而解，这种方法称为“放放缩法缩法”变式题变式题1ovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）V0OabcdV0Oabcd300600MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.二、处理一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思维方法二、处理一群带电粒子在磁场中运动的临界极值思

7、维方法 -平移法平移法2RR2RMNO总结：平移法总结：平移法本题是粒子以一定速度沿任意本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，由方向射入磁场的问题，由平移平移法法做出做出练习4【变式题变式题2】(2010新课标新课标)如图如图613所示，在所示，在0 xa、0y 范围内有垂直于范围内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为应强度大小为B.坐标原点坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为发射大量质量为m、电荷量为、电荷量为q的带正电粒子，它们的的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在速度大小相同，速度方向均在xy平面内

8、，与平面内，与y轴正方向轴正方向的夹角分布在的夹角分布在090范围内已知粒子在磁场中做圆范围内已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于周运动的半径介于 到到a之间，从发射粒子到粒子全部离之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的的四分之一求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的2a2a(1)(1)速度的大小；速度的大小；(2)(2)速度方向与速度方向与y轴正方向夹轴正方向夹角的正弦角的正弦分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向射入磁场的问题，分析：本题是粒子以一定速度沿任意方向

9、射入磁场的问题，由由平移法平移法做出做出 最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，最后离开磁场的粒子在磁场中的圆周运动的弦最长，经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一则粒子速度方向改变一则粒子速度方向改变90900 0粒子也即粒子半径转过的最大圆粒子也即粒子半径转过的最大圆心角为心角为90900 0在动态圆中在动态圆中与边界相切与边界相切的这种情况的这种情况弦最长，对弦最长，对应的圆心角应的圆心角为为90900 0，最后，最后射出磁场射出磁场【解析】(1)设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律和洛

10、伦兹力公式，得qvB=m 由式得R= 当a/2R0,0 x0,0 x0y0，xxa a的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为大小均为B B. .在在O O点处有一小孔，一束质量为点处有一小孔，一束质量为m m、带电量为、带电量为q q( (q q0)0)的粒子沿的粒子沿x x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的使荧光屏发亮入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值各种数值已知速度最大的粒子在已知速度最大的

11、粒子在0 xa的区域中运的区域中运动的时间之比为动的时间之比为2 5，在磁场中运，在磁场中运动的总时间为动的总时间为7T/12，其中，其中T为该粒为该粒子在磁感应强度为子在磁感应强度为B的匀强磁场中的匀强磁场中做圆周运动的周期试求两个荧光做圆周运动的周期试求两个荧光屏上亮线的范围屏上亮线的范围(不计重力的影不计重力的影响响)【分析分析】此类题的关键是寻找临界点，有效的方法此类题的关键是寻找临界点，有效的方法是通过缩放法画动态圆，找到是通过缩放法画动态圆，找到“临界是点临界是点”同时同时准确判定在不同磁场中的运动情况准确判定在不同磁场中的运动情况 【解析解析】对于对于y y轴上的光屏亮线范围的临

12、界条件如图轴上的光屏亮线范围的临界条件如图(1)(1)所示：带电粒子的轨迹和所示：带电粒子的轨迹和x=a相切，此时相切，此时r=a，y y轴轴上的最高点为上的最高点为y=2r=2a，故亮线在，故亮线在y y轴上的范围是轴上的范围是0y2a；对于对于x x轴上光屏亮线范围的临界条件如图轴上光屏亮线范围的临界条件如图(2)(2)所示：左所示：左边界的极限情况还是和边界的极限情况还是和x=a相切，此刻，带电粒子在右相切，此刻，带电粒子在右边的轨迹是个圆，由几何知识得到圆心在边的轨迹是个圆，由几何知识得到圆心在x x轴上的坐标轴上的坐标为为x=2a；速度最大的粒子轨迹是图；速度最大的粒子轨迹是图(2)(2)中的实线，由两中的实线，由两段圆弧组成，圆心分别是段圆弧组成，圆心分别是C和和C，由对称性得到，由对称性得到C在在x x轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为轴上，设在左右两部分磁场中运动时间分别为t1和和t2，满足满足 = ， t1+t2 = T解得解得t1= Tt2= T由数学关系得到：由数学关系得到： R=2a OP=OP=2 2a+R+R12tt25712165123代入数据得到：代入数据得到：OP=2(1+ )a所以在所以在x x轴