全对称实矩阵特征值与特征向量的一种简便求法

1、收稿日期:2009-09-10作者简介:涂文彪(1956-,男,河南正阳人,南通大学副教授,主要从事代数学研究.第26卷第6期2010年6月商丘师范学院学报JOURNAL OF SHANG Q I U TE ACHERS COLLEGE Vol .26No .6June,2010全对称实矩阵特征值与特征向量的一种简便求法涂文彪,陈琳(南通大学理学院计算机科学与技术学院,江苏南通226007摘要:讨论了全对称实矩阵的特征值、特征向量的特点及一种简便求法.关键词:全对称实矩阵;特征值;特征向量;中心对称向量;反中心对称向量中图分类号:O15112文献标识码:A 文章编号:1672-3600(201

2、006-0033-04An ea sy and conven i en t co m put a ti ona l m ethod of character isti c va lue andcharacter isti c vector of full sy mm etr i c rea l ma tr i xT U W enbiao ,CHE N L in(I nstitute of Science,I nstitute of Computer,Nant ong University ,Nant ong 226007,China Abstract:I n this paper gives

3、an easy and convenient computati onal method and the character of characteristic value and characteristic vect or of full sy mmetric real matrix .Key words:full sy matrix;characteristic value;characteristic vect or;central sy mmetric vect or;anti -central sy mmetric vect or全对称矩阵是一种特殊的对称矩阵,它在应用数学及其他相

4、关学科有关问题的讨论中时常见到,本文对该类矩阵的特征值与特征向量的特点进行一些探讨,并给出一种简便求法.定义1设A 为n 阶方阵,用A T 表示A 的转置矩阵;A 表示A 关于次对角线转置的矩阵,称A 为A 的次转置矩阵;当A T =A 且A =A,即A 为对称矩阵又为次对称矩阵,则称A 为全对称矩阵.定义2设X =(a 1,a 2,a n T R n ×1是n 维实向量,若X 满足a i =a n +1-i (i =1,2,n ,则称X 是中心对称向量;若X 满足a i =-a n +1-i (i =1,2,n ,则称X 是反中心对称向量.如(1,3,3,1T 与(1,2,5,2,

5、1T 是中心对称向量,(1,3,-3,-1T 与(-1,2,0,-2,1T是反中心对称向量.显然,奇数维反中心对称向量的中心元是0.引理1设A =(a ij 为偶数n 阶(n =2k 全对称实矩阵,把A 分块为:A =B C TCB(1其中B 与B 是k 阶对称矩阵,C 与C T 是k 阶次对称矩阵,且有:B =J k B J k ,J k CJ k ,这里J k =011是k阶排列矩阵,则必存在正交矩阵U 0,使得:U T0AU 0=B -J kC 0B +J k C.(2证明取正交矩阵U 0=12E k E k -J kJ k即可.引理2设A =(a ij 为奇数n 阶(n =2k +1全

6、对称实矩阵,把A 分块为:B d C TdTd TJ k CJ k dB(3其中B 与B 是k 阶对称矩阵,C 与C T是k 阶次对称矩阵,d 是k 维列向量,=a k +1,k +1是一个实数(称为A的中心元,且有:B=J k B J k ,C T=J k CJ k ,则必存在正交矩阵Q 0,使得:Q T0AQ 0=B -J k C0002dT2d B +J k C.(4证明取正交矩阵Q 0=12E k 0E k020-J kJ k即可.定理1设A 为偶数n 阶(n =2k 全对称实矩阵,且A 有分块形式(1,则A 的全部特征值就是k 阶实对称矩阵B -J k C 与B +J k C 的所有

7、特征值.证明在引理1的(2式中,因为B -J k C 与B +J k C 均为k 阶实对称矩阵,则存在k 阶正交矩阵U 1,U 2,使得:U T 1(B -J k C U 1=d iag (1,k ,U T2(B +J k C U 2=d iag (k +1,n ,这里1,k 与k +1,n分别是实对称矩阵B -J k C 与B +J k C 的特征值,令U 3=U 10U 2,则U 3也是正交矩阵,且U T 3U T0AU 0U 3=di 2ag (1,k ,k +1,n ,又令U =U 0U 3,则U 是正交矩阵,且有U TAU =diag (1,k ,k +1,n ,因此1,k ,k +

8、1,n 是A 的全部特征值,也即A 的全部特征值就是k 阶实对称矩阵B -J k C 与B +J k C 的所有特征值.分析定理1证明中的矩阵U,把U 1,U 2按列分块:U 1=(1,k ,U 2=(1,k ,则U =U o U 3=12E k E k -J k J k U 100U 2=12U 1U 2-J k U 1J k U 2=121k 1k -J k 1-J k k J k 1J k k可知A 的属于特征值1,k 与k +1,n 的特征向量分别为:1=1-J k 1,k =k -J k k ,和k +1=1J k 1,n =kJ k k,(5这里将2去掉后仍为特征向量,且1,2,n

9、 两两正交;并且1,k 是反中心对称向量,且由U 1的列向量确定,而k +1,n 是中心对称向量,由U 2的列向量确定,由以上讨论即得如下结论.推论偶数n (n =2k 阶全对称实矩阵必有n 个两两正交的单位特征向量,且前k 个特征向量是反中心对称的,后k 个特征向量是中心对称的.由定理1可知,若求偶数n 阶(n =2k 全对称实矩阵A 的特征值与特征向量,可以转化为求k 阶对称实矩阵B -J k C 与B +J k C 的特征值与特征向量,然后利用(5式可直接写出A 的特征值与特征向量,这样不但可以使计算量大为减少,且所求的特征值与特征向量还有很好的形式.定理2设A 为奇数n (n =2k

10、+1阶全对称实矩阵,且有分块形式(3,则A 的全部特征值是k 阶对称矩阵B -J k C 与k +1阶对称矩阵G =2dT2d B +J k C的所有特征值.证明在引理2的(4式中,由于B -J k C 与G 分别为k 阶与k +1阶实对称矩阵,则分别存在k 阶与k+1阶正交矩阵Q 1与Q 2,使得:Q T1(B -J k C Q 1=diag (1,k Q T2G Q 2=diag (k +1,n 43商丘师范学院学报2010年令Q3=Q100Q2,则Q3是n阶正交矩阵,且使Q T3Q T0AQ0Q3=diag(1,k,k+1,n,令Q=Q0Q3,则Q是正交矩阵,且有Q T AQ=diag(

11、1k,k+1,n,所以1,k,k+1,n就是A的所有特征值,也即A的全部特征值是k阶对称矩阵B-J k C与k+1阶对称矩阵G=2d T2d B+JkC的所有特征值.分析定理2证明中Q知:Q=Q0Q3,而Q3=Q100Q2,其中Q1,Q2分别是k阶与k+1阶正交矩阵.把Q2如下分块,Q2=b T1b2Q4,其中R,b1,b2R k×1,Q4是k阶实矩阵(未必是正交矩阵,则有Q=Q0Q3=12E k0E k020-Jk0JkQ1000b T10b2Q4=12Q1b2Q4022b T1-JkQ1J k b2J k Q4,(6由于A的属于特征值1,k,k+1,n的特征向量依次是正交矩阵Q的

12、第1,2,k,k+1,n列向量,而由(6式可知,Q的前k个列向量是反中心对称向量,且由Q1的列向量确定,而后k+1个列向量是中心对称向量,且由Q2的列向量确定.由此有如下结论.推论奇数n(n=2k+1阶全对称实矩阵必有n个两两正交的特征向量,且前k个特征向量是反中心对称的,后k+1个特征向量是中心对称的.进一步若设矩阵Q1=(1,k,Q2=(1,k+1,又记j=q1jq2jq k+1,j=q1j-e j,其中e j=q2jq k+1,j(j=1,k+1,则矩阵A的第k个特征值k 的特征向量k是1=1-Jk1,k=k-Jkk,k+1=e12q11J k e1,k+2=e22q12J k e2,n

13、=e k+12q1,k+1J k e k+1(7由定理2可知:若求奇数阶全对称实矩阵A的特征值与特征向量,可以转化为求B-JkC与G的特征值与特征向量,然后利用(7直接写出A的特征值与特征向量,这样不但可以使计算量大为减少,且所求的特征值与特征向量也有很好的形式.例1:设A=322121-322-3121223是一个偶数阶的全对称矩阵,求A的特征值与特征向量.解:由题得到:B=3221,C=2-312,而B-JC=2004,B+JC=444-2.所以B-JC的特征值1=2,2=4,对应的特征向量分别是1=1,2=1.B+JC的特征值1=6,2=-4,对应的特征向量分别是1=21,2=-12.故

14、全对称矩阵A的所有特征值是1=2,2=4,3=6,4=-4.又根据(5式,对应的特征向量分别是:1=1-1,2=1-1,3=2112,4=-122-1,且前两个特征向量是反中心对称的,后53第6期涂文彪,等:全对称实矩阵特征值与特征向量的一种简便求法两个特征向量是中心对称的,若要求正交矩阵U,只要将特征向量分别单位化然后作列即可.例2:设A=942-4-34323-4 22022-43234-3-42 49是一个奇数阶的全对称矩阵,求A的特征值与特征向量.解:由题可知:B=94 4 3,C=-43-3-4,d=22,=0,而:B-JC=12880,G= 0222222602200,可求得B-JC的特征值1=16,2=-4,对应的特征向量分别是1=21,2=1-2, G的特征值3=-2,4=6,5=8,对应的特征向量分别是3=-2211,4=1-1,5=122,故全对称矩阵A的所有特征值是1=8,2=-2,3=-1,4=3,5