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1、第31卷第6期2010年12月宁夏师范学院学报(自然科学Journal o fN ingx i a T eache rs U n i ve rsity(N atura l Sc i enceV o.l31N o.6D ec.2010分形康托多层结构的光学传输特性刘碧蕊(宁夏师范学院学报编辑部,宁夏固原 756000摘 要:在分形理论的基础上,将分形康托序列引入到一维光子晶体的设计中来,得到了一维准分形康托多层结构,采用传输矩阵法研究了分形康托多层结构的光学传输特性,讨论了该结构的分形维数以及光学传输谱的Sca lab ilit y和Sequenti a l Splitti ng特性.这种结构可
2、用于超窄带光子晶体滤波器,在光学精密测量和光通信超密集波分复用等领域中有一定的应用价值.关键词:光子晶体;康托多层结构;光学传输特性中图分类号:O734.2 文献标识码:A 文章编号:1674-1331(201006-0025-06收稿日期:2010-09-10基金项目:宁夏自然科学基金资助项目(NZ10226;宁夏高等学校科学研究资助项目(2009-193-78.作者简介:刘碧蕊(1969-,女,陕西西安人,副教授,硕士,研究方向:光子晶体、光通信薄膜器件及量子光学等.近年来,人们在研究一维周期结构光子晶体的能带特性的同时,对诸如裴波那契(F i b onacc i序列1,2、分形康托(fr
3、actal C antor结构序列3-6, Thue M orse序列结构7-10等准周期结构光子晶体的光学传输特性,表现出了极大的兴趣.分形是一种具有自相似对称性的几何对象,适当地取出其中的一部分加以放大,所得到的结果与整体完全相同.分形一般分为规则分形和非规则分形.分形作为一种具有分维特征的几何结构,它的特点与传统的欧氏几何结构有着很大的区别.分形不但受到了科研人员的青睐,而且有着广泛的应用价值.近十年来,分形理论在许多领域得到了广泛应用,如描述植物树木的L系统11,12以及分形理论在图象分割中的应用13,14等.另外,具有分形结构的滤波器15、天线16,17等也是这一领域内研究的热点.三
4、分康托集(triad ic Cantor set是典型的规则分形,它的构造方法是,把一线段分为三等分,去掉中间的一段,然后把剩下的两段再三等分,再去掉中间的一段,如此无限重复而最终得到的点集.按照这种分形康托序列堆砌成的一维光子晶体,可被用作光子晶体波导、光子晶体滤波器等光学器件.当电磁场与这类具有自相似特征的分形客体相互作用时,分形客体所具有的自相似性会很好地反映到电磁场中,因此,科技工作者也开始探索这种具有分形特征光子晶体的行为.已有的数值理论及实验研究表明,这种具有自相似特征的分形序列光子晶体不但存在绝对带隙,而且在能带的频率特性方面也有着一定的特点.与传统的周期和准周期结构光子晶体相比
5、较,传统周期结构的光子晶体由于受到周期结构的影响,多数情况下会产生周期结构的频率带隙.而具有分形特征的光子晶体的能带,则具有不同于传统光子晶体能带的双频以及多频带隙的特点;而且,带隙的中心频率可以随着分形结构单元几何形状的调整而得到改变.这种新的带隙特点,为具有分形特征的光子晶体的应用带来了极大的便利.与此同时,随着近年来半导体制造技术的发展,利用半导体的相关制备技术,如等离子体刻蚀,化学刻蚀等方法,制造光频范围内具有分形特征的光子晶体宁夏师范学院学报(自然科学2010年12月也已具有了可能性.由于通常情况下,我们是利用有限级数的分形结构作为光子晶体的元胞,这与分形的定义是有区别的.严格意义上
6、的分形是一种建立在无限自相似分割基础上的点集,因此,我们称这种按照分形特征构造的光子晶体为一种准分形光子晶体.本文在分形理论的基础上,将分形康托序列引入到一维光子晶体的设计中来.在此基础上构造得到了一维准分形康托序列的多层结构,采用传输矩阵法研究了分形康托多层结构的光学特性,讨论了该结构的分形维数以及光学传输谱的Scalab ility和Sequen tial Sp litti n g特性.这种新的耦合腔结构可用作超窄带光子晶体滤波器,在光学精密测量和光通信超密集波分复用等领域中有一定应用价值.1 分形的基本概念数学家B.B.M ande l b rot经过潜心研究,出版了他的关于分形几何的专
7、著 分形:形、机遇和维数 (Fracta:l For m,Chance and D i m ensi o n,这标志着分形理论的诞生18. 分形 (Fracta l这个词是曼德布劳特由拉丁语形容词Fractus创造出的英文单词Fractal翻译而来的,意思为破碎、细分、不规则的碎片形状.所谓分形是指一类其局部与整体有相似性的体系,这种体系称为自相似性体系.其自相似性表征的是:分形在通常的几何变换下具有不变性;它导致体系的维数可以不是整数.因此,这种体系的维数被称为分数维.分形系统可分为规则分形和随机分形两大类.所谓规则分形是人们按一定的规则构造出来的分形曲线,这类曲线具有严格的自相似性,如分形
8、康托集(fractal Can tor se t、塞尔宾斯基铺垫(Sierpinski gasket、柯赫(Kock曲线等.而随机分形的自相似性是近似的或统计意义上的相似,这种自相似性只存在于无标度区域.超出无标度区域,自相似性就不复存在了.自然界中所存在的各种分形实际上均属于随机分形.2 分形的基本特征和维数分形是破碎的、不规则的,其几何性质十分丰富,可以说,到目前为止它的几何性质还没有完全被挖掘出来.它的组成部分可以被无限细分,而且它的局部的形状一般与整体相似,是自相似的和标度不变的.一般认为,它具有五个基本特征或性质19:(a分形是破碎的,局部不可微的不规则图形;(b分形一般是自相似的,
9、或是统计自相似的;(c分形有时也是自仿射的;(d分形的维数一般是分数的,但也有整数维数的分形,如Peano曲线;(e分形图像具有精细结构,即无论局部放大多少倍,仍然具有复杂的结构;第(d条中所说的分形维数,是针对集合而言的.如果在对集合的描述中需要若干个坐标,这些坐标的个数就是该集合的维数.分形相似维数是指:如果一个图形是将原图形缩小为1/a相似的b个图形,则分形的相似维数为lg a/lg b.分形的容量维数是指几何体s,若用直径为 的小球去覆盖它,所需的小球最小数目为N( ,则s的容量维数为d f=li mln N( l n(1/ .(13 分形康托多层结构的光学传输特性3.1 物理模型康托
10、多层结构序列的一维光子晶体是光子晶体的非周期结构.由于它是按康托分形序列堆砌而成的,所以从分形的角度来讲,它包含了许多不同比例的与自身相似的样本.任何一种康托多层结构都可用两个基本参数来表征,即生成器G (G=3,5,7, 和产生数N=(N=1,2,3, .按照前面介绍的康托集的生成方法,先取一种介质作为 种子 (记为A,然后再用另外一种介质(记为B取代 种子 一定位置的某些部分,其中取代的具体位置和多少取决于生成器的G值.然后,对所有余下的 种子 介质A重复上述过程,最终会得到一类分形集.当这些步骤进行N次26第6期刘碧蕊:分形康托多层结构的光学传输特性后,所获得的结构就是基本参数为(G,N
11、 的康托多层结构5.因此,参数为(G,N 的康托多层结构也称之为(G,N 结构,这种结构的总层数为:G N.它的分形维数d f =ln G +12ln G.(2本文仅以三分康托集(triadic Cantor set为例,来说明康托多层结构的Scalab ility 和Sequen tial Sp litting 特性.对于其它类型的康托多层结构,如五分康托结构或七分康托结构等,该光学传输特性也是成立的.图1给出的是当N =0,1,2,3,4时的典型三分康托结构的构造过程示意图.它是通过把高折射率介质A 中间的某些部分用低折射率介质B 来替换,然后再对剩下的部分实施同样的操作,如此重复N 次后
12、而产生的.当N =3时,该结构共有27层. 图1 给定G =3和N =0,1,2,3,4的康托多层结构按照分形康托多层结构序列堆砌而成的一维光子晶体的透射(或反射谱与严格周期的多层结构光子晶体的透射(或反射谱是不相同的.在选用相同的折射率材料、相同层数的情况下,从整体展示的传输谱来看,在一个周期内均有相同数量的共振透射峰,且都存在禁带.但是,二者透射峰的分布却是完全不同的.一般来说,康托多层结构谱的禁带稍宽,而周期结构光子晶体带隙内出现的共振峰相对而言显得尖锐一些.这些特性与法布里 珀罗微腔的物理机制是相同的.从结构的堆砌方式和理论上的处理方法来说,可以把分形康托多层结构看作是一种介质与另外一
13、种植入了大量不同缺陷的介质周期排列而成.在周期结构中引入缺陷会引起透射谱中某些地方出现缺陷态,从而导致一个或多个透射峰移入禁带,而其它的透射峰也将会重新分布.一般而言,这样的缺陷态是通过相应频率的电场在缺陷层内的强烈局域来反映的.3.2 光学传输谱特性通过对大量的分形康托多层结构传输谱形状和特性的分析,可以发现所有分形康托多层结构的传输谱,都展示出了明显的Sca lability 和Se quential Sp litti n g 特性.所谓Scalab ility 特性是指在一个周期内,(G,N -1多层结构光子晶体的完整的谱是(G,N 结构的谱的一部分.如果把(G,N 结构的光谱放大G 倍
14、,所得谱的中心部分的形状与(G,N -1结构的谱几乎是完全匹配的.这个特性对于G 取任何值的分形康托结构都成立,也就是说对任何规则分形的康托多层结构都是成立的.选取高折射率介质A 为磷化镓Ga P (图中用黑色表示,其折射率n A =3.30,低折射率介质B 为氟化镁M gF 2(图中用白色表示,其折射率n B =1 35,光子晶体禁带中心频率对应的波长 0=1550nm ,每一基本层的高低折射率介质的光学厚度均相等且为四分之一个中心波长,即n A d A =n B d B = 0/4.下面,我们采用传输矩阵法3,9,20,研究该康托多层结构光子晶体的传输特性.图2(a和(b 分别是光波通过G
15、 =3,N =3和G =3,N =2时的两种康托多层结构光子晶体后的透射谱的中心部分,其中归一化频率的选取范围是 / 0=13.从图中可以看出,如果把图2(a ,即G =3,N =3结构的谱放大3倍,则谱的中心部分(归一化频率的范围是 / 0=1 72 3的形状完全和G =3,N =2的谱相同.图2(c 给出的是放大了的G =3,N =3康托结构的透射谱的中心部分,归一化频率的范围是 / 0=1 72 3.从图中可以看出,所得到的透射谱与图2(b 展示的G =3,N =2的谱是完全匹配的.同样,如果取G =3,N =4所得到的康托多层结构27宁夏师范学院学报(自然科学2010年12月的谱,把谱
16、放大3倍,得到谱的中心部分和多层结构G =3,N =3的谱是相同的或是匹配的;放大9倍后所得到的谱的中心部分与G =3,N =2的谱完全匹配.对于G =5的五分康托多层结构(pentad ic Can tor mu ltilayer struct u re 序列的光子晶体,把G =5,N =4结构的谱放大5倍所得谱的中心部分和G =5,N =3的谱是相同的;放大25倍得到的谱的中心部分与G =5,N =2的谱相匹配.通过对大量的分形康托多层结构传输谱的分析,可以得出这样的结论,对于G 取任意数值的分形康托多层结构,决定(G,N m 2的传输谱的中心部分与(G,N m 1结构的谱匹配的因子为:G
17、m 2-m 1,称之为缩放比例因子(sca ling factor ,其中差值m 2-m 1表示的是两个产生数之差. 图2 康托多层结构谱的Scalab ility 特性所谓分形康托多层结构的Sequenti a l Splitti n g 特性是指,对给定生成器G 的多层结构,随着产生数N 的增加,对于(G,N -1结构禁带边缘的一条共振谱线,在(G,N 结构中就会分裂成多重谱线.在(G,N -1结构禁带中没有谱线的地方,到(G,N 结构中就会有新的谱线产生.这种新分裂的和新产生的谱线的数目与生成器G 以及产生数N 的取值有关,产生数N 每增加1,新出现的谱线数目和分裂的谱线数目满足如下的规
18、律,分别可以表示为S new =G -12,(3S s p lit =G +12.(428第6期刘碧蕊:分形康托多层结构的光学传输特性因而被称之为Sequentia l Splitting 特性.一个周期内出现的总的谱线数目等于康托多层结构的总层数:G N. 图3 康托多层结构的Sequentia l Sp litti ng 特性在三分康托多层结构的禁带中,新产生谱的数目和一个共振峰的分裂数目都等于2,如图3(a 和(b 所示.图3(a 中用实线表示的是G =3,N =3结构的部分透射谱,用虚线表示的是G =3,N =2结构的部分透射谱.从图中展示的共振透射谱可以看出,在当N =2时禁带内没有
19、透射谱线;而当N 增为3时在原来的禁带中出现了两条透射谱线,满足新产生谱线公式(3.原来对应的一条谱线随产生数N 的增加会出现分裂,图3(b 给出了三分康托多层结构谱线的分裂情况,可以看出,当产生数N 由2增加到3时,原来在归一化频率 / 0=1 22附近的共振透射峰分裂为两个,满足谱线分裂公式(4.这一特性和康托多层结构的几何构成方法有关.我们还注意到,在分裂前和分裂后,即N =3和N =2这两种情况下所对应的共振透射峰的半高宽的变化并不大.这说明在康托多层结构中,由于产生数N 的增加导致的传输共振谱的分裂对谱的半高宽的影响不是太大.4 结束语通信技术正朝着宽带化、智能化、大众化和个性化的方
20、向发展.随着骨干传输网、局域网容量的大幅度增长,波分复用(w aveleng th d i v isi o n m ulti plex ing ,简写为W D M 技术被越来越广泛地采用.因为采用波分复用(WDM 系统可以充分利用光纤的巨大带宽资源,使传输容量迅速扩大几倍至上百倍;在大容量长途传输时,可以节约大量的光纤和再生器,从而大大降低传输成本.本文用光学传输矩阵法研究了分形康托多层结构的传输谱特性,可以看出,康托多层结构的传输谱展示了明显的Sca lability 特性和Sequentia l Sp litti n g 特性;讨论了G =3,N =3序列康托结构光子晶体透射谱特征.这一特
21、征与分形康托多层结构光子晶体的几何特性相关,是由构成晶体介质的周期性排列导致的自相似性引起的.这些特性在光通信超密集波分复用和光学精密测量等技术中有重要的应用价值.参考文献:1 K oh m oto M,Suthe rland B ,Lguch iK.Loca lization in opti cs :quasi pe ri od i c m ed i a J.P hys .R ev .L ett .,1987,58:2436.2 G ell ermann W,K oh m oto M,Sutherland B ,et a.l L ocalizaton of li ght waves i n
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