人教版八年级上册第2讲与三角形有关的角讲义

1、第2讲 与三角形有关的角三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°。如图所示，过C作CMAB，将求ABACB转化为求12ACB，过A点作DEBC，把求BACBC转化为求BACDABEAC.(3) 理解与延伸：一个三角形中最多只有一个钝角或直角；一个三角形中最少有一个角不小于60°；直角三角形两锐角互余；等边三角形每个角都是60°(4)作用：求角度，尤其是三角形中的角度计算。【例11】 填空：(1)在ABC中，若A80°，C20

2、6;，则B_°；(2)若A80°，BC，则C_°；(3)已知ABC的三个内角的度数之比ABC235，则B_°，C_°.【例12】如图，在ABC中，CAB=B=2C，AD是BAC的平分线，求ADC的度数.【例13】如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向，求ACB的度数。【例14】若等腰三角形的一内角为40°，则顶角为（ ）A. 40° B. 100° C. 70°或40° D.40°或100°

3、直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余如图所示，在RtABC中，如果C90°，那么AB90°.【例21】 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果43°，则的度数是 ()A43° B47° C30° D60°【例22】 如图所示，ABCD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P，求证：EPF是直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。【例23】下列条件能确定ABC是直角三角形的条件有_A+B=C； A:B:C=1:2:3；A=90°-B；

4、  A=B=C；A-B=C；A=2B=3C ；A=B=C【例24】如图,在ABC中,ABC=60,ACB=54，BE是AC边上的高，CF是AB边上的高，H是BE和CF的交点，HD是BHC的平分线，求ABE，ACF和CHB的度数。三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角如图，ACD就是ABC其中的一个外角练习：选出下图中1是ABC的外角的序号：_ 注意：一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示三角形外角的理解:外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角

5、是指的三角形的内角，这点要注意【例3】 在ABC中，A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B的两倍，那么A_，B_，C_.4.三角形外角性质性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角如图所示：1BCB1C或C1B注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等【例4-1】填空：求出下列各图中1的度数. (3) (2)(1)如图，1=_；(2)如图，1=_；(3)如图，1

6、=_； (1) (6) (4)(4)如图，1=_；(5)如图，1=_；(6)如图，1=_. (5) 【例4-2】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则12_.【例4-3】 填空：(1)如图(1)，P为ABC中BC边的延长线上一点，A50°，B70°，则ACP_°.(2)如图(2)所示，已知ABE142°，C72°，则A_°，ABC_°.(3)如图(3)，3120°，则12_°. 图4【例4-4】如图4,CE是ABC的外角ACD的平分线,若B=35°,ACE=60°，则

7、A=_.三角形外角和(1)定义：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如1，2，3，它们的和叫做三角形的外角和(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和【例5】 如图所示用两种方法说明123360°.多边形内角和多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 多边形的分类:多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形 凹多

8、边形 正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。思考：五边形共有_条对角线，n边形共有_条对角线。多边形内角和：从五边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将五边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180°×_；从六边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将六边形分为_个三角形，五边形的内角和等于180°×_；从n边形的一个顶点出发，可以作_条对角线，它们将n边形分为_个三角形，n 边形的内角和等于180°×_。n边形的内

9、角和等于_。【例6-1】在四边形ABCD中，AC180°，BCD123，则A_【例6-2】如图，DCAB，BAE=BCD，AEDE，D=130°，则B=_【例6-3】一个多边形内角和是1080°，则这个多边形的边数为（ ）A、 6 B、 7 C、 8 D、 9【例6-4】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（ ）.A6 B7 C8 D9n边形的外角和等于_。【例6-5】一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形（ ）A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形角平分线的夹角与三角形内角关系的探究(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系如图

10、，在ABC中，ABC的平分线与ACB的平分线交于点O，求BOC与A之间的关系 (2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系如图，在ABC中，BP，CP分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，试探究BPC与A的关系(3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系如图，在ABC中，CE平分ACB，BE是ABC的外角ABD的平分线，试探究BEC与A的关系【例71】 如图，BO，CO分别是ABC，ACB的两条平分线，A100°，则BOC的度数是()A80° B90°C120°D140°【例72】 如图所示，ABC的平分线和ABC的外角ACE的平

11、分线交于点D，D30°，A的度数是_；当D_时，A的度数是90°.作业1：1三角形的三个外角之比为，则与之相应的三个内角之比为（）ABCD2如图，在ABC中，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE.CD相交于F，A=70°，ACD=20°，ABE=28°，则的度数为（）A62°B68°C78°D90°3若三条线段中，为奇数，那么由为边组成的三角形共有（）A个B个C无数多个D无法确定4如果线段能组成三角形，那么它们的长度比可能是（）ABCD5不一定能构成三角形的一组线段的长度为（）A3，7，5 B3x，4x，5x(x0)C5，5，a(0a10) Dm，m，m26如图1，的平分线交的平分线于，若，则_