固体物理旧版习题答案之一

1、 答： 由同种原子组成，而且每个原子周围得情况都一样的晶格，称为布喇菲格子。氯化钠晶体所构成的布喇菲格子是面心立方（由 和 的布喇菲格子套构而成的格子）从书上图113看出，金刚石的结晶原原胞是在结晶学的面心立方原胞体内加上四个间隙原子构成的。四个体内原子分别在四个正面提的中心位置上。正四面提中心的原子和正四面体顶角原子形成四个共价键，由于 中心原子和顶角原子价键的取向个不相同（即中心原子和顶角原子周围的环境不同）所以是复式格子，这种复式格子是两个面心立方格子套构而成的。2：什么式倒格子？在§中取，使d=2（ =0，1， 2）其中d代表任一晶面族的晶面间距，这样所定义的格子就是正格子的

2、付里叶变换，试证明之。证明：在原点O引晶面族ABC（如图）的发现ON，在法线上截取一段OP= 使 d=2 ，d使晶面族ABC的间距，对于每一族晶面都有一点P，使得OP成为该方向的周期，把P平移可得出一个新得点阵，这个新的点阵称为原来晶格得倒格子。 取d1d2d3分是晶面族（100）,(010)和（001）的面间距则：b1=2 /d1, b 2=2 /d2 ,他们是倒格子基矢的模，倒格子基矢为,这里是正格子的原胞体积。因为晶体中任意一点处的物理量，具有周期性，所以，其中是正格矢。可以展开为傅立叶级数：要求=1即 (为整数)因为 是正格矢，所以 为倒格矢。应该是倒格点的位置。即：于是（I，j=li

3、，ji为整数）由此可得：可见，倒格子是正格子的傅立叶变换。3.体心立方格子和面心立方格子互为正，倒格子，试证明之。证：沿这结晶学原胞三个基矢的方向，三个基矢量为已知体心立方和面心立方固体物理原胞的三个基矢为：体心： 面心倒格子基矢为：与面心立方格子形式完全相同 与体心立方格子形式完全相同把， 的表达式和 的表达式进行比较，可以看出体心立方格子的倒格子是面心立方结构，而面心立方格子的倒格子是体心立方格子。4 若基矢a，b，c构成简单正交系，试证明：晶面族（hkl）得面间距为：，并说明面指数简单的晶面，其密度比较大，容易界理。解法1。根据密勒指数的定义可知晶面族（h,k,l）中最靠近原点的一个晶面

4、在基矢上的截距面为：OA=,OB=,OC=.由图n为晶面法向单位矢量，即 解法2 对应晶面族（h,k,l）的倒格矢为（ 根据；正倒格矢关系有 必有所以；，同理 ）对于一定的晶体，原子的体密度是一定，有表达式可以看出面指数简单的晶面族，其比较大，所以原子的面密度教大，而大的晶面间结合较弱，所以易解理。5题及解详见本题解第三部分。6试证六角密积结构中 证；如图所示；（B为等边三角形的重心）若值1.633，则可把晶体视为由原子密积平面所组成，这些面是疏松堆垛的。7.如果把等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大体积和总体积之比为简立方 ， 体心立方 ，面心立方 六角密堆积 ， 金刚石 提示：先

5、求结晶学原胞的基矢长度（a）和硬球半径（R）的关系，再考虑有效属于这个原胞的球有几个。 解：1）简立方：设原胞基矢长度为a，硬球半径为R，由图知： 体积比2）体心立方：原胞体对角线长为，由图原胞内有两个小球体积比3）面心立方：原胞的面对角线长为，由图， 体积比 （原胞内有4个球）4）六角密积 包括六个球 个按密堆积要求 即右图为一个正四面体。其高为原胞底面积的面积体积比（或先标出由此得5） 金刚石：由上图1-13可得：（解5图）其中 ， 体积比8.如射线沿简立方晶胞的负方向入射，求证：当和时，衍射光线在平面上，其中是衍射光线和方向的夹角。证：按题意：入射光线的 ，2os以此代入劳厄方程：（即x

6、方向有：（为单位矢量）注意到：入射光线的（利用一知条件代入方程，利用，根据，可得出）则有，用代入则有， 即所以衍射线在YZ平面内。9，在氧化钾晶格中，在 ，诸点，在诸点，试讨论衍射面指数与衍射强度的关系讨论：（1）当nh,nk,nl全为偶数时，如（200）（2）当nk,nh,nl全为奇数时，如（111）（3）当nk,nh,nl部分为偶数，部分为奇数时，如（211）归纳以上结果，当衍射面指数为全偶数时，衍射强度最大，当全为奇数时，衍射强度最小；当奇偶混杂时，则衍射强度为0，即衍射不出现。10，在六角晶系中，晶面常用四个指数（h,k,l,m）来表示。它们代表一个晶面在六角平面基失轴上的截距为在六度

7、轴上的截距为，试写出,四个面的面指数。试普遍的证明：h+k=-l.解：晶面CA2A3在这基矢的截距为（a1,a2,-a3,c）截距倒数之比为:1,1,1所以面指数为（1，1，1）同理：证：h+k=-l=由图可知a若密勒指数为（h,k,l,m）则晶面族中最靠近原点的晶面在轴上的截距分别为均在同一晶面上，设晶面的法向单位矢量，则=d,=d,=d即：*=hd,*=kd,*=ld因为，即：-hd-kd=ld,所以h+k=-=.11.设某晶体中每对原子的平均结合势能具有的形式。平衡时，结合能焦耳。试计算A和B以及晶体的有效弹性模量。解： 平衡时，r=r0=,=0由（2）得B=9A代入（1）得：按定义：其

8、中V=NU=N （认为晶体为简立方结构）而12.有一晶体，在平衡时的体积为V0,原子间总的互作用能量为U0,如果原子间互作用能由式所表达，试证明体弹性模量可由得出。 解：将值代入设晶体体积为V=nU=N可求得平衡时总得互作用能量为U013已知有N个离子组成得NaCl晶体，其结合能为，今若排斥项由来代替，且当晶体处于平衡时，这两者对互作用得势能得贡献相同，试求出n与得关系。解：，排斥项由来代替后，平衡时14：试证：由两种离子组成的间距为R0的一维晶格的马得隆常数。证：考虑到仅与库仑能有关，可写作15已知，S=4.52，（注：原文缺此条件）.计算O-和Mg+地单价泡林半径和晶体半径.解：16.在立方晶体中，若弹性波S沿向传播，试求（1）它的三个波速：（2）位