《直线与圆的位置关系》教案

1、课题：直线与圆的位置关系胪岗植英中学郭梓华教材：普通高中课程标准实验教科书必修 2第四章第2节教学目标1. 能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系；2. 通过直线与圆相交所得的弦长求割线的方程，向学生渗透类比、分类、数形结合的思想，培养学生观察、分析和发现问题的能力。3. 能应用直线与圆的位置关系解决一些相关的生活问题。教学重点与难点1. 直线与圆的方程的应用；2. 如何实现“数”与“形”的有机结合。教学方法与手段直观演示，分析类比，讲练结合。教学过程一. 情景引入让学生欣赏一幅“海上日出图”，说出他们所看到的数学元素一一圆和直线， 由此引出对直线与圆的位置关系的思考。 教师借助多媒体平台

2、演示：模拟日出的 全过程，让学生观察，得出直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离。二、知识新授1、复习题问：我们可以怎样判断直线与圆的位置关系？相交相切相离方法1 从交点个数看（代数法）：直线 I : Ax+ By+ C= 0;圆：x2 + y2+ Dx+ Ey+ F= 0,联立可得:人嘗C=0消元x + y +Dx+Ey+F=0L 0二相交元二次方程一判别二仏=0二相切A £0=相离d r = I« d = r =d > r 二相交相切相离x y -2y -4 = 0方法2从圆心到直线的距离看(几何法)：直线 I : Ax+ By+ C= 0;圆：(x a)2 +

3、 (y b)2= r2，圆心(a , b)到直线 IAa + Bb+C的距离为d=PA+ B2消去y,整理，得x 2-3x+2=0=9-4 x 8=1>01 x 二 21 x = 1、.解得 或，故直线与圆有两个交点(2,0)和(1,3)畀=0=3依据圆心到直线的距离与半径长的关系。过程是： x2+y2-2y-4=0 可整理为 x2+(y+2) 2=5.C(0,-2) , r=、5|3汶0+16|5 厂.圆心到直线的距离为 d2丁210八5直线与圆相交。接下来，再联立直线和圆的方程求交点坐标。教师点评：对比两种解法，哪种方法更优越？例2、已知直线L过点M(-3,-3)，且被。N: x2+

4、y2+4y-21=0所截得的弦AB以M为中点，求直线L的方程。设问：已知直线过一点，要求直线方程，关键是确定什么量？学生会发现：只要求出直线的斜率就行，而直线NMLAB因此由互相垂直的直线的斜率的关系可得L的斜率，问题可顺利解决。变式1已知直线L过点M(-3,-3)，且被。N: x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 |AB|=4 ,5，求直线L的方程。通过学生讨论，可能有两种解答方法(代数法、几何法)，教师可根据实际 情况，引导学生在草图中寻找有用信息，使他们能初步建立起从数到图的过度， 并小结出“半弦长、弦心距和半径长”之间的数量关系。在解法的对比上，加深 学生对利用图形的认识、理解。请

5、一学生板书解答过程：解：过N作Nd AB于C,连结NA 设直线方程为y+3=k(x+3)x2+y2+4y-21=0 可化为2 2x +(y+2) =25|NA|=5 , |AM|=2、5|MN|= .5.2+3k-3=V5Jl + k2解得k=2或k= -丄2所求的方程是y+3=2(x+3), y+3=即 2x-y+3=0 或 x+2y+9=012(x+3)变式2已知直线L过点M(-3,-3)，且被。N: x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 |AB|=8，求直线L的方程。学生在上面一道题的基础上，很快便能计算出直线方程是4x+3y+2仁0。由此提问：为什么题目条件相似，方法一样，上面一道

6、题就得两个方程，这一道题就只有一个呢?根据学生讨论的结果，教师小结：不是所有的直线都有斜率，用点斜式求直 线方程时，应该先考虑直线斜率不存在的情况。练习：已知直线L过点M(-3,-3)，且被。N: x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为 |AB|=2、.5 ,求直线L的方程。答案：3x+y+12=0学生发言，教师总结，从代数、几何两个方面分析解法，进一步加深对“数 形结合”优越性的认识。探究一艘轮船在沿直线返回港口的途中， 接到气象台的台风预报：台风中心位于 轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域。已知港口位于台风 中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会

7、受到台风的影响？ 设问：若你是船长，你认为是否必须改变航线？ 提示：是否改变航线，主要是由什么因素来决定？ 由学生找出解决方案。方法一建立坐标系，借助直线与圆的位置关系求解 方法二 由三角形面积不变，可得。三、小结1、学生小结：直线与圆位置关系的判断方法(从交点个数和点线距离两方面)2、教师小结：求直线方程时，要注意斜率不存在的情况；解题时注意分析图形中隐含的“矿藏”。四、课外思考题若实数x，y满足方程：x2+y2-2x+4y=0，求x-2y的最大值和最小值。教案设计说明】圆是学生比较熟悉的曲线， 初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研 究，因此这节课的重点确定为用解析法研究直线与圆的位置

8、关系的判断方法及其 简单应用。首先，由海上日出引出课题，让学生感受到数学就在每个人的身边， 增强学生用数学的意识。 然后，由判断直线与圆的位置关系的例 1 开始，由浅入 深，引导学生探求解题方法。为了培养学生的理性思维，我在例 2 中，设计了两 次改变弦长的问题， 拓宽学习思路， 培养学生的分类讨论的能力。 在问题的设计 中，我用一题多解的探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了 学生的创新精神， 并且使学生的有效思维量加大， 随时对所学知识和方法产生有 意注意，能力与知识的形成相伴而行， 这样的设计不但突出了重点， 更使难点的 突破水到渠成 .学好数学是为了让数学更好地服务于生活。 所以，我设置了一道探究题， 使 整节课以问题为纽带， 以探究活动为载体， 使学生在问题的指引下、 教师