中考数学探究型试题解题策略

1、探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。例1（宜昌课改）如图1，已知ABC的高AE=5，BC=，ABC45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；（2）当点

2、F在AE上运动并使点H、I、K、J都在ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围（图2供思考用）解：(1)点G与点E关于点F对称，GF=FEHIBC，GIF=EJF，又GFI=EFJ，GFIEFJ，GI=JE同理可得HG=EK ，HI=JK, 四边形HIKJ是平行四边形(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以如图1，AE过平行四边形HIJK的中心F,HG=EK, GI=JE.HG/BE=GI/EC.CEBE,GI HG, CKBJ. 当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动, 图1如图2，当点F的位置

3、使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分）设EFx，AHGABC45°，AE5，BE5GI，AGHG5-2x ,CE-5AGIAEC，AGAEGICE.(5-2x)55(-5)AF5-x4AF4 图2说明:本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。练习一1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：AOC是AB

4、O的外角AOC=ABO+BAO又OA=OBOAB=OBA AOC=2ABO即ABC=AOC如果ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：方案：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）若ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围

5、），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？CAB（图1）CAB方案：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）若ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案中的y的最大值比较大小假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）3（绵阳）如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什

6、么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对

7、应点为，得RtAE，如图（2）；第三步：沿EB线折叠得折痕EF，如图（3）。利用展开图（4）探究：（1）AEF是什么三角形？（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CGBC），取线段AE的中点M。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取

8、完成证明得5分。 DM的延长线交CE于点N，且ADNE； 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），其他条件不变；在的条件下且CF2AD。附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。FMECGADB（3）（2）BACEDFGM例2（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点yxFDEABCO·y xONMC A BP（1）求和的值；（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于

9、两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论知识点：解：（1）在双曲线上，轴，轴，A，B的坐标分别， 又点A，B在直线上， 解得或当且时，点A，B的坐标都是，不合题意，应舍去；当且时，点A，B的坐标分别为,符合题意且.（2）假设存在点使得轴，轴，RtRt,设点P坐标为（1x8，则M点坐标为，.又，即（） 方程（）无实数根所以不存在点使得 练习二1、（包头）已知一次函数y1=x，二次函数y2=x2+。 (1)根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)x3210123y1=x3210123y2=x2+11 (2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断yl和y2的大小关系。并证明

10、：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立； (3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。2、（北京丰台）在直角坐标系中，经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。（1）如图，过点A作的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；（2）若经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果

11、变化，求其变化的范围。3、（2005年内江）教师提出：如图A（1,0），ABOA，过点A、B作轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。同学讨论发现：2 ：3 请你验证结论成立；请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论是否仍成立？进一步研究：在的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)4、（2005深圳南山区）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2E为BC的中点，以OE为直径的O交轴于D点，过点D作DFAE于点

12、F（1） 求OA、OC的长；（2）求证：DF为O的切线； y·OCBAEDFx(3)小明在解答本题时，发现AOE是等腰三角形由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使AOP也是等腰三角形，且点P一定在O外”你同意他的看法吗？请充分说明理由能力训练1、已知：直线ab，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。（1）如图，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PMQN。PQMNab请你参照图，在图中画出异于图的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线

13、段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。请你在图中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。ababPQMNabS1S2S3S4nm（3）如图，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQm，下底MNn，且mn。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。2、（2005年河北）操作示例:ADFGC（H）ENBM (2) (1)对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD

14、，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED。实践与探究（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N。证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图112中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。（2）对于n（n

15、是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。3、（2005年潜江、仙桃、江汉油田）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；以后每次都重复第二次的操作-(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；(2)若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：操作次数（n）1234-n每次拼成的

16、正方形面积（s）a2-4、（2005年枣庄）如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，ABDC由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.(1)求四边形ABCD四个内角的度数；(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由； (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图5、（2005年泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与C重合）.（1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30°得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大

17、小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图2中的CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE设为PQR（图3）；探究：设PQR移动的时间为x秒，PQR与ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.（3）操作：图1中CDE固定，将ABC移动，使顶点C落在CE的中点，边BC交DE于点M，边AC交DC于点N，设AC C=（30°90°（图4）；ED图2图3DE图4C/（C/）（C/）探究：在图4中，线段CN·EM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出CN·EM的值，如果有变化，请你

18、说明理由.答案：练习一1、如果ABC的两边都不经过圆心, 结论ABC=AOC仍然成立 (1)对图2的情况连接BO并延长交圆O于点D 由图1知: ABD=AODCBD=COD ABD+CBD=AOD+COD即ABC=AOC (2) 对图3的情况仿图2的情况可证2、y=, 当x=60时,y最大值=1800;过点B作BEAD于E,CFAD于F,设AB=CD=xcm，梯形的面积为Scm2，则BC=EF=（1202x）cm，ABCDFEAE=DF=x，BE=CF=x ，AD=120x，S=·x（2403x）当x=40，S最大值=1200， S最大值y最大值120半径=方案：正八边形一半，正十边

19、形一半，半圆等144°144°144°144°242424242430135°135°135°3030练习二4. 解：（1）在矩形OABC中，设OC=x 则OA= x+2，依题意得 解得：（不合题意，舍去） OC=3， OA=5 （2）连结OD 在矩形OABC中，OC=AB，OCB=ABC=90，CE=BE=OCEABE EA=EO 1=2在O中， OO= OD 1=3 3=2 ODAE， DFAE DFOD又点D在O上，OD为O的半径 ，DF为O切线。 (3) 不同意.理由如下: 当AO=AP时，以点A为圆心，以AO为半径

20、画弧交BC于P1和P4两点过P1点作P1HOA于点H，P1H = OC = 3，A P1= OA = 5A H = 4， OH =1 求得点P1（1，3） 同理可得：P4（9，3） 当OA=OP时，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3） 因此，在直线BC上，除了E点外，既存在O内的点P1，又存在O外的点P2、P3、P4，它们分别使AOP为等腰三角形。 图16····OCBAEDF·xP3P1P2P4H13图162能力训练1、解：（1）P（Q）MNab 或 （2）PQMNabPQMNab图例： 或 解：（3）PMN和QMN同底等高。SPMN

21、SQMN。S3+S2=S4+S2.S3=S4。POQNOM， S2，mn（题中条件mn），S1+S2S3+S4故园艺师应选择S1和S2两块地种植价格较便宜的花草，因为这两块的的面积之和大于另两块地的面积之和。2、解：（1）证明：由作图的过程可知四边形MNED是矩形。在RtADM与RtCDE中，ADCD，又ADMMDCCDEMDC90°，DMDE，四边形MNED是正方形。，正方形MNED的面积为；过点N作NPBE，垂足为P，如图2可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等。所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED。（2）答：能。理由是：由上述的拼接过程可以看