人教版八年级下册182 特殊平行四边形 讲义

1、【知识体系】【要点梳理】要点一、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质； （2）四条边相等； （3）

2、两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：4判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行； （2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：边长边长对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（

3、3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形类型一、矩形1、已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MAMC求证：CDAN；若AMD2MCD，求证：四边形ADCN是矩形【思路点拨】根据两直线平行，内错角相等求出DACNCA，然后利用“角边角”证明AMD和CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得ADCN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出MCDMDC，再根据等角对等边可得

4、MDMC，然后证明ACDN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证【答案与解析】证明：CNAB，DACNCA，在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），ADCN，又ADCN，四边形ADCN是平行四边形，CDAN；AMD2MCD ，AMDMCDMDC，MCDMDC，MDMC，由知四边形ADCN是平行四边形，MDMNMAMC，ACDN，四边形ADCN是矩形【总结升华】要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或对角线相等2、如图所示，在矩形ABCD中，AB6，BC8将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF

5、的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入RtAEF中，由折叠可知CDCF，DEEF，易得AC10，所以AF4，AE8-EF，然后在RtAEF中利用勾股定理求出EF的值【答案与解析】解：设EF， 由折叠可得：DEEF，CFCD6， 又 在RtADC中， AFACCF4，AEADDE8 在RtAEF中， 即， 解得：3 EF3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB 3，BC 5，则重叠部分DEF的面积是_【答案】5.

6、1.提示：由题意可知BFDF，设FC，DF5，在RtDFC中，解得，BFDE3.4，则3.435.1.类型二、菱形3、如图,在菱形ABCD中，BAD80，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则CDF等于( ).A.80 B.70 C.65 D.60【答案】D；【解析】解：连结BF，由FE是AB的中垂线，知FBFA，于是FBAFAB40.CFB404080,由菱形ABCD知，DCCB，DCFBCF，CFCF，于是DCFBCF，因此CFDCFB80,在CDF中, CDF180408060.【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它

7、们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由ADBC，ABCD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AEBC于E，CFAB于FCFBAEB90 AECF（纸带的宽度相等）ABECBF，RtABERtCBF,ABBC,四边形ABCD是菱形. 类型三、正方形4、如图，一个含45的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E 点作EFAE交DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AEEF根据正方形的性

8、质推出ABBC，BADHADDCE90，推出HAECEF，根据HEB是以B为直角的等腰直角三角形，得到BHBE，H45，HACE，根据CF平分DCE推出HFCE，根据ASA证HAECEF即可得到答案【答案与解析】 探究：AEEF 证明：BHE为等腰直角三角形, HHEB45，BHBE. 又CF平分DCE，四边形ABCD为正方形， FCEDCE45， HFCE. 由正方形ABCD知B90，HAE90DAE90AEB, 而AEEF，FEC90AEB， HAEFEC. 由正方形ABCD知ABBC，BHABBEBC， HACE, AHEECF （ASA）, AEEF.【总结升华】充分利用正方形的性质和

9、题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为_形 (1)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是菱形 (2)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是矩形 (3)当四边形满足_条件时，四边形EFGH是正方形 在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【答案】四边形EFGH为平行四边形；解：(1)ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线ACBD，此时四边形EFGH为平行四边形，且EHBD，HGAC，得EHGH，故四边形EFGH为菱形(2)ACBD，理由：如图，四边形A

10、BCD的对角线互相垂直，此时四边形EFGH为平行四边形易得GHBD，即GHEH，故四边形EFGH为矩形(3)ACBD且ACBD，理由：如图，四边形ABCD的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH为正方形 本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形几种特殊四边形性质、判定四边形性 质判 定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线

11、平分一组对角有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角邻边相等的矩形是正方形对角线垂直的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线相等的菱形是正方形类型一、矩形的判定1、如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm【解析】D举一反三【变式】如图，已知矩形ABCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C，若ADC20，则BDC的度数为_【答案与解析】55【变式2】矩形的边长为10和15,其中

12、一个内角平分线分长边为两部分,这两部分的长度分别为( ) A. 6和9 B. 5和10 C. 4和11 D. 7和8【解析】【答案】B【变式3】四边形ABCD的对角线交于点O，在下列条件中，不能说明它是矩形的是 （ ） A. AB=CD，AD=BC，BAD=90 B.BAD=ABC=90,BAD+ADC=180C、BAD=BCD,ABC+ADC=180 D. AO=CO,BO=DO,AC=BD【答案】C2、在平行四边形中，过点作于点E，点F在边上，连接，。（1）求证：四边形是矩形。（2）若,求证：平分。【解析】证明：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，所以DC/AB，即DF/BE，又因为DF

13、=BE，所以四边形DEBF为平行四边形。又因为DEAB，所以DEB=90，所以平行四边形DEBF为矩形。（2）因为四边形DEBF为矩形，所以BFC=90。在BFC中，CF=3，BF=4，根据勾股定理得，所以根据平行四边形的性质，AD=BC=5，所以AD=DF=5，所以DAF=DFA。因为DC/AB，所以DFA=FAB，所以DAF=FAB，即AF平分DAB。【举一反三】【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F(1)求证：AB=CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由【解析】解答：(1)证明：四边形ABCD是平行四

14、边形，ABCD，AB=CD，BAE=CFE，ABE=FCE，E为BC的中点，EB=EC，ABEFCE，AB=CF.(2)当BC=AF时，四边形ABFC是矩形。理由如下：ABCF，AB=CF，四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，四边形ABFC是矩形。3、如图，ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F， (1)求证：OE=OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。【解析】举一反三【变式】如图，在等边三角形ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求CAE的度数；(2)取AB

15、边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形【解析】【考点】等边三角形的性质以及矩形的判定方法矩形的判定定理：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)对角线相等的平行四边形是矩形； (3)有三个角是直角的四边形是矩形.类型二、菱形的判定1. 如图在ABC中，AD平分BAC交BC于D点，过D作DEAC交AB于E点, 过D作DFAB交AC于F点. 求证：（1）四边形AEDF是平行四边形 ；（2）23 ；（3）四边形AEDF是菱形。【解析】举一反三【变式】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形【解析】证明：AEFC.EAC=F

16、CA.在AOE与COF中,EO=FO，AOECOF(ASA).四边形AFCE为平行四边形，又EFAC，四边形AFCE为菱形；2. 如图，ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AEBC，过点D作DEAB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC（1）求证：AD=EC；（2）当BAC=时，求证：四边形ADCE是菱形【解析】【方法总结】举一反三【变式】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF（1）证明：BAC=DAC，AFD=CFE（2）若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，EFD=BCD，并说明理由

17、类型三、正方形的判定与性质1、如图，在正方形ABCD中，P是AD上任一点，PEAC,PFBD,点E、F分别是垂足，BD+AC=14，则PE+PF=_【答案】3.5(三角形APE为等腰直角三角形，所以PE+PF的长为对角线长度一半)举一反三【变式1】在正方形ABCD中，E是BC上一点，AE把正方形分成两部分，且，AB=6, 则AE=_【答案】【变式2】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） AAC=BD，ABCD，AB=CD B. ADBC，A=C C. AO=BO=CO=DO，ACBD D. AO=CO，BO=DO，AB=BC【答案】C【变式3】如图所示，正方

18、形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）ABC3 D【答案】A【解析】2. 已知：如图所示，在正方形ABCD和正方形AEFG有一具公共顶点A，试说明：DGBE。【解析】举一反三【变式1】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，C90，A、B的平分线交于点D，DEBC于E，DFAC于F，试说明四边形CEDF为正方形。【解析】【变式2】如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AGEB交EB于G，AG交BD于F。证明OE=OF【解析】动点平行四边形解题一般步骤：（1）设未知数，一般以时间为未知数，用含未知数的式子表示出线段长；

19、（2）列等式。寻找不同线段的等量关系（注意题目中的多解性），列一元方程，解方程； （3）作答：根据未知数做答并检验。【典型例题】1.如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8 cm，AD24 cm，BCP从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3 cm/s的速度向点B运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动从运动开始，使PQCD和PQCD，分别需经过多少时间？为什么？解：设经过ts时，PQCD，此时四边形PQCD为平行四边形PD(24t)cm，CQ3t cm，24t3t，t6.当t6 s时，PQCD，且PQCD.设经过ts时，PQCD，分别过点

20、P，D作BC 边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CFEQ 时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或平行四边形BADFB90，四边形ABFD是矩形ADBF.AD24 cm，BC26 cm，CFBCBF2 cm.当四边形PQCD 为梯形(腰相等)时，PD2(BCAD)CQ，(24t)43t.t7.当t7 s 时，PQCD.当四边形PQCD 为平行四边形时，由知当t6 s时，PQCD.综上所述，当t6 s时，PQCD；当t6 s或t7 s时，PQCD.【举一反三】【变式】如图,在四边形ABCD中,AD/BC,且ADBC,BC=6cm,点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由

21、点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.试探究:几秒后四边形ABQP是平行四边形?【解析】【变式2】如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)若AB3 cm，AD4 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动设点P运动时间为ts，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，ODOB.PDOQBO.在POD和QOB中，PODQOB(ASA)OPOQ.又OBOD，四边形P

22、BQD为平行四边形(2)点P从点A出发运动ts时，APt cm，PD(4t)cm.当四边形PBQD是菱形时，PBPD(4t)cm.四边形ABCD是矩形，BAP90.在RtABP中，AB3 cm，AP2AB2PB2，即t232(4t)2，解得t.点P运动时间为s时，四边形PBQD为菱形教师：本专题你有哪些收获和感悟？课后作业一选择题1. 如图，ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，DE平分ADC交BC边于点E，则BE的长等于（ ）2在口ABCD中，AB3，AD4，A120，则口ABCD的面积是( ) A. B.C. D.3.如图所示，将一张矩形纸ABCD沿着GF折叠(F在BC边上，不与B，C重

23、合)，使得C点落在矩形ABCD的内部点E处，FH平分BFE，则GFH的度数满足( )A90180 B90 C090 D随着折痕位置的变化而变化 4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）A测量对角线是否相互平分 B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角 D测量其中三个角是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）A. 对角线相等； B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角； D. 对角线互相平分.6. 如图所示，口ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OEAC，交AD于点E，则

24、DCE的周长为( ) A4 B6 C8 D10 7. 矩形对角线相交成钝角120，短边长为，则对角线的长为（ ）A BCD8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE，则菱形ABCD的周长为（ ）ABCD9如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，ABE90，则F_10矩形的两条对角线所夹的锐角为60，较短的边长为12，则对角线长为_.11如图，菱形ABCD的边长为2，ABC45，则点D的坐标为_12.如图，ABCD中，AC=AD，BEAC于E.若D=70,则ABE=., 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点

25、落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _.14已知菱形ABCD的面积是12，对角线AC4，则菱形的边长是_15.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB那么，菱形ABCD的面积是_，对角线BD的长是_16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AOD=120，AB=1，则AC=,BC =.17. 如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O，AEBC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形18.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DFAE于F，连接DE证明：DF=DC19. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE AF（1）求证：BE DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM OA，连接EM、