202X202X学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定课件新人教A版必修1

1、1.3.21.3.2奇偶性奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定第一课时函数奇偶性的定义与判定 目标导航目标导航 课标要求课标要求1.1.结合具体函数结合具体函数, ,了解函数奇偶性的含义了解函数奇偶性的含义. .2.2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. .3.3.掌握判断函数奇偶性的方法掌握判断函数奇偶性的方法. .素养达成素养达成1.1.通过运用符号表示函数的奇偶性的过程培养数通过运用符号表示函数的奇偶性的过程培养数学抽象的核心素养学抽象的核心素养. .2.2.通过函数的奇偶性的证明过程培养逻辑推理的通过函数的奇偶性的证明过程培养逻辑推理的核心素

2、养核心素养. .3.3.通过奇偶函数的图象性质培养直观想象的核心通过奇偶函数的图象性质培养直观想象的核心素养素养. .新知导学新知导学素养养成素养养成1.1.奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义(1)(1)偶函数偶函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都都有有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数. .(2)(2)奇函数奇函数: :一般地一般地, ,如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,x,都都有有 , ,那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数

3、. .任意任意f(-x)=f(x) f(-x)=f(x) 任意任意 f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) 思考思考1:1:假设函数具有奇偶性那么它的定义域有何特点假设函数具有奇偶性那么它的定义域有何特点? ?答案答案: :定义域关于原点对称定义域关于原点对称. .思考思考2:2:对于一个函数来说对于一个函数来说, ,它的奇偶性有哪些可能它的奇偶性有哪些可能? ?答案答案: :对于一个函数来说对于一个函数来说, ,它的奇偶性有四种可能它的奇偶性有四种可能: :是奇函数但不是偶函是奇函数但不是偶函数数; ;是偶函数但不是奇函数是偶函数但不是奇函数; ;既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶

4、函数; ;既不是奇函数也不既不是奇函数也不是偶函数是偶函数. .2.2.奇、偶函数的图象特征奇、偶函数的图象特征假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是偶函数是偶函数, ,那么它的图象关于那么它的图象关于 对称对称; ;假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,那么它的图象关于那么它的图象关于 对称对称. .思考思考3:3:从函数图象看从函数图象看, ,奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致奇、偶函数在对称区间上单调性是否一致? ?答案答案: :奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致奇函数在关于原点对称的区间内单调性一致, ,偶函数在关于原点对偶函数在关于原点对称的区间内单

5、调性相反称的区间内单调性相反. .思考思考4:4:假设函数假设函数y=f(x)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,且点且点(a,f(a)(a,f(a)是是y=f(x)y=f(x)图象上一点图象上一点, ,点点(-a,-f(a)(-a,-f(a)是否在函数图象上是否在函数图象上? ?答案答案: :由由f(-a)=-f(a)f(-a)=-f(a)知点知点(-a,-f(a)(-a,-f(a)一定在函数一定在函数y=f(x)y=f(x)图象上图象上. .y y轴轴原点原点名师点津名师点津(2)(2)假设一个函数是奇函数且在假设一个函数是奇函数且在x=0 x=0处有定义处有定义, ,那么有那么有f(0)=

6、0.f(0)=0.(3)(3)设非零函数设非零函数f(x),g(x)f(x),g(x)的定义域分别是的定义域分别是F,G,F,G,假设假设F=G,F=G,那么奇、偶那么奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示: :f(x)f(x)g(x)g(x)f(x)+f(x)+g(x)g(x)f(x)-f(x)-g(x)g(x)f(x)f(x)g(x)g(x)fg(x)fg(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数奇函数不能确定不能确定奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇

7、函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数注意注意: :上述表格中不考虑上述表格中不考虑f(x)f(x)g(x)=0;fg(x)g(x)=0;fg(x)中中, ,需需xG,g(x)F.xG,g(x)F.(4)(4)常见的函数常见的函数( (一次、二次、反比例函数一次、二次、反比例函数) )奇偶性如下表所示奇偶性如下表所示: :课堂探究课堂探究素养提升素养提升题型一函数奇偶性的判定题型一函数奇偶性的判定 例例1 (121 (12分分) )判断以下函数的奇偶性判断以下函数的奇偶性: :(1)f(x)=x3+x;(1)f(x)=x3+x;标准解答标准解答

8、:(1):(1)函数的定义域为函数的定义域为R,R,关于原点对称关于原点对称. 1. 1分分又又f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 2f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), 2分分因此函数因此函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数. 3. 3分分(3)(3)函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,-1)(-1,+), (-,-1)(-1,+), 7 7分分不关于原点对称不关于原点对称, ,所以所以f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数. .8 8分分方法技巧方法技巧根据函数解析式判断函数奇偶性的方法根据函数解

9、析式判断函数奇偶性的方法(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的定义域的定义域; ;(2)(2)判断函数判断函数f(x)f(x)的定义域是否关于原点对称的定义域是否关于原点对称, ,假设不关于原点对称假设不关于原点对称, ,那么该函数既不是奇函数那么该函数既不是奇函数, ,也不是偶函数也不是偶函数, ,假设关于原点对称假设关于原点对称, ,那么进那么进展下一步展下一步; ;(3)(3)结合函数结合函数f(x)f(x)的定义域的定义域, ,化简函数化简函数f(x)f(x)的解析式的解析式; ;(4)(4)求求f(-x);f(-x);(5)(5)根据根据f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)之

10、间的关系之间的关系, ,判断函数判断函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性; ;奇函数、奇函数、偶函数偶函数, ,既奇又偶函数既奇又偶函数, ,非奇非偶函数非奇非偶函数; ;其中既奇又偶函数的表达式是其中既奇又偶函数的表达式是f(x)=0,xA,Af(x)=0,xA,A是关于原点对称的非空数集是关于原点对称的非空数集. .解解: :函数函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是(-,0)(0,+),(-,0)(0,+),关于原点对称关于原点对称. .当当x0 x0时时,-x0,-x0,那么那么f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).f(-x

11、)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x).当当x0 x0,-x0,那么那么f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由知由知, ,当当x(-,0)(0,+)x(-,0)(0,+)时时, ,有有f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 备用例备用例1 1 判断函数判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(af(x)=|x+a|-|x-a|(aR

12、 R) )的奇偶性的奇偶性. .解解: :函数函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为(-,+),(-,+),关于原点对称关于原点对称. .当当a=0a=0时时,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,f(x)=|x+a|-|x-a|=0,函数既是奇函数又是偶函数函数既是奇函数又是偶函数. .当当a0a0时时,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).,f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).此时函数为奇函数此时函数为奇函数. .综上可知综上可知, ,当当a=0a=0

13、时时, ,函数既是奇函数又是偶函数函数既是奇函数又是偶函数, ,当当a0a0时时, ,函数是函数是奇函数奇函数. .题型二函数奇偶性的图象特征题型二函数奇偶性的图象特征 例例2 (1)2 (1)如图是奇函数如图是奇函数y=f(x)y=f(x)在在x0 xf(5).f(3)f(5).法二由函数的图象可知法二由函数的图象可知, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在在-5,-3-5,-3上是减函数上是减函数, ,由奇函由奇函数图象的性质可知数图象的性质可知, ,函数函数y=f(x)y=f(x)在在3,53,5上是减函数上是减函数, ,故故f(3)f(5).f(3)f(5).(2)(2)如图是偶函数如

14、图是偶函数y=g(x)y=g(x)在在x0 x0局部的图象局部的图象. .试根据图象写出不等式试根据图象写出不等式f(x)0f(x)0的解集的解集. .解解: :(2)(2)根据偶函数根据偶函数y=g(x)y=g(x)的图象关于的图象关于y y轴对称的性质轴对称的性质, ,作出函数作出函数y=g(x)y=g(x)在在(-,0)(-,0)上的图象如图所示上的图象如图所示. .由图象可知由图象可知,f(x)0,f(x)0的解集的解集为为(-,-2)(2,+).(-,-2)(2,+).方法技巧方法技巧求解与奇偶函数有关的图象问题求解与奇偶函数有关的图象问题, ,常借助奇偶函数图象的对称性常借助奇偶函

15、数图象的对称性, ,根根据的函数局部图象作出函数的另一局部图象据的函数局部图象作出函数的另一局部图象, ,根据图象直观研究函根据图象直观研究函数性质数性质. .即时训练即时训练2-1:(1)2-1:(1)奇函数奇函数f(x)f(x)在区间在区间1,61,6上是增函数上是增函数, ,且最大值为且最大值为10,10,最小值为最小值为4,4,那么在区间那么在区间-6,-1-6,-1上上 f(x) f(x) 的最大值、最小值分别是的最大值、最小值分别是( () )(A)-4,-10(A)-4,-10(B)4,-10(B)4,-10(C)10,4 (C)10,4 (D)(D)不确定不确定解析解析:(1)

16、:(1)依题意依题意, ,作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)在在-6,-1-6,-1和和1,61,6上的图象上的图象( (草图草图),),如如下图下图, ,易知函数易知函数y=f(x)y=f(x)在在-6,-1-6,-1上的最小值为上的最小值为f(-6)=-f(6)=-10,f(-6)=-f(6)=-10,最大值最大值为为f(-1)=-f(1)=-4.f(-1)=-f(1)=-4.因此选因此选A.A.答案答案: :(1)A(1)A(2)(2)偶函数偶函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-6,6,-6,6,当当x0,6x0,6时时,f(x),f(x)的图象如下图的图象如下图, ,不等式

17、不等式f(x)0f(x)0的解集用区间表示为的解集用区间表示为.解析解析:(2):(2)作出作出y=f(x)y=f(x)在在-6,0-6,0上的图象上的图象, ,如下图如下图, ,由图可知由图可知,f(x)0,f(x)0的的解集是解集是-3,3.-3,3.答案答案: :(2)-3,3(2)-3,3 备用例备用例2 (1)2 (1)设函数设函数f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,且在且在(0,+)(0,+)内是增函数内是增函数, ,又又f(-3)=0,f(-3)=0,那么那么f(x)0f(x)0的解集是的解集是( () )(A)x|-3x0(A)x|-3x3x3(B)x|x-3(B)x|x-3

18、或或0 x30 x3(C)x|x-3(C)x|x3x3(D)x|-3x0(D)x|-3x0或或0 x30 x3解析解析:(1):(1)依题意依题意, ,作出函数作出函数y=f(x)y=f(x)在在(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)上的示意图如下上的示意图如下图图, ,由图易知由图易知f(x)0f(x)0)P(-x,-f(x)(x0)关于关于原点的对称点为原点的对称点为P(x,f(x),P(x,f(x),如图为补充后的图象如图为补充后的图象, ,易知易知f(3)=-2.f(3)=-2.(3)(3)如图如图, ,给出偶函数给出偶函数y=f(x)y=f(x)的局部图象的局部图象, ,比较比

19、较f(1)f(1)与与f(3)f(3)的大小的大小, ,并作出并作出它位于它位于y y轴右侧的图象轴右侧的图象. .解析解析: :(3)(3)偶函数偶函数y=f(x)y=f(x)在在y y轴左侧图象上任一点轴左侧图象上任一点P(-x,f(x)(x0)P(-x,f(x)(x0)关于关于y y轴的对称点为轴的对称点为P(x,f(x),P(x,f(x),如图为补充后的图象如图为补充后的图象. .易知易知f(1)f(3).f(1)f(3).题型三利用函数奇偶性求参数题型三利用函数奇偶性求参数 例例3 (1)3 (1)假设函数假设函数f(x)=x3+ax2+xf(x)=x3+ax2+x是定义域为是定义域

20、为R R的奇函数的奇函数, ,那么那么a a的的值为值为. . 解析解析: :(1)(1)法一法一因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).所以所以-x-x3 3+ax+ax2 2-x=-(x-x=-(x3 3+ax+ax2 2+x),+x),整理得整理得2ax2ax2 2=0.=0.即即a=0.a=0.法二法二因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-x)=-f(x).f(-x)=-f(x).所以所以f(-1)=-f(1),f(-1)=-f(1),所以所以(-1)+a+(-1)=-(1+a+1),(-1)+a+(-

21、1)=-(1+a+1),所以所以a=0.a=0.答案答案: :(1)0(1)0(2)(2)假设函数假设函数g(x)=(x-2)(x+b)g(x)=(x-2)(x+b)是定义域为是定义域为R R的偶函数的偶函数, ,那么那么b b的值为的值为. .答案答案: :(2)2(2)2方法技巧方法技巧利用函数奇偶性求参数的方法利用函数奇偶性求参数的方法: :(1)(1)定义域含参数定义域含参数, ,根据定义域关于坐标原点对称根据定义域关于坐标原点对称, ,列式求解列式求解. .(2)(2)解析式含参数解析式含参数, ,根据根据f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x),f(-x)

22、=f(x)列式列式, ,整理化简求解整理化简求解. .即时训练即时训练3-1:(1)y=f(x)3-1:(1)y=f(x)是奇函数是奇函数, ,当当x0 x0时时,f(x)=x2+ax,f(x)=x2+ax,且且f(3)=6,f(3)=6,那么那么a a的值为的值为. . 解析解析: :(1)(1)因为因为f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,所以所以f(3)=-f(-3).f(3)=-f(-3).又又x0 x0,-x0,此时此时f(-x)=ax2-bx.f(-x)=ax2-bx.故故3x2+2x=-(ax2-bx).3x2+2x=-(ax2-bx).所以所以a=-3,b=2.a=-3,b=2

23、.所以所以2a+b=-4.2a+b=-4.答案答案:-4:-4学霸经历分享区学霸经历分享区(1)(1)判断函数奇偶性判断函数奇偶性, ,一是用其定义判断一是用其定义判断, ,即先看函数即先看函数f(x)f(x)的定义域的定义域是否关于原点对称是否关于原点对称, ,再检验再检验f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系; ;二是用其图象判断二是用其图象判断, ,考察函数的图象是否关于原点或考察函数的图象是否关于原点或y y轴对称去判断轴对称去判断, ,但必须注意它是但必须注意它是函数这一大前提函数这一大前提. .(2)(2)分段函数奇偶性的判断方法分段函数奇偶性的判断方法一般用定义法分

24、段处理一般用定义法分段处理. .分段函数的奇偶性应分段说明分段函数的奇偶性应分段说明f(-x)f(-x)与与f(x)f(x)的关系的关系, ,只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时只有当对称区间上的对应关系满足同样的关系时, ,才才能判断函数的奇偶性能判断函数的奇偶性, ,否那么该分段函数既不是奇函数也不是偶函否那么该分段函数既不是奇函数也不是偶函数数. .要特别注意要特别注意: :假设假设xa,b,-x-b,-a,xa,b,-x-b,-a,在求在求f(-x)f(-x)时时, ,需代入需代入区间区间-b,-a-b,-a对应的函数解析式对应的函数解析式. .分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断分段函数的奇偶性也可以通过函数图象的对称性加以判断. .如如f(x)=x|