223向量数乘运算及其几何意义

1、【教学目标】1、知识与技能掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量的积的几何意义；掌握实数与向量的积得运算律；理解两个向量共线的充要条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。2、过程与方法通过本节的教学，培养学生数形结合和分类讨论思想，同时渗透类比和化归思想方法。3、情感、态度与价值观通过对向量共线的充要条件的分析理解，培养学生严谨的学习习惯。【教学重点】实数与向量积的定义、运算律，向量共线的充要条件。【教学难点】向量共线定理的理解。【教学方法】讲练结合法。【教学过程】创设情境 导入新课【导语】在物理学科中我们学习过如下的公式：等，这些公式都是实数与向量的乘积的具体体现，并且从这些公式可

2、以看出，实数可以与向量相乘，并且一个实数乘以一个向量的结果还是一个向量。因此，在数学中我们就从这些公式出发，抽象出一般的实数与向量的乘积的定义以及它们的一些运算律和性质。在小学我们由几个相同的有理数相加导出了数的乘法的运算法则，现在我们已经学过了向量的加法运算，那么由几个相同的向量相加，我们又能否得出类似的实数与向量的乘法运算呢？已知向量，求向量和，并思考和向量与向量的关系。【总结】（1）由于向量是由三个向量相加得到的，因此为了简单起见，我们将记作：，因此是一个向量，又因为的方向与向量的方向相同，模长为向量的模长的倍，所以的方向与向量的方向相同，模长为向量的模长的倍。即：向量与向量同向且。 （

3、2）类似地，由于是由三个向量相加得到的，因此为了简单起见，我们将记作：，因此，也是一个向量，又因为的方向与向量的方向相反，模长为向量的模长的倍，所以的方向与向量的方向相反，模长为向量的模长的倍。即：向量与向量反向且。由上面的作图可知：向量与向量互为相反向量，因此，又由于可记作：，所以又可记作，从而：，这样，。所以，的方向与向量的方向相反，模长为向量的模长的倍。即：向量与向量反向且。【导语】从另一个角度也可以这样理解上述结论：既然是一个记号，因此，也可以看成是实数与向量相乘得到；同理，也可以看成是实数与向量相乘得到。同时，上面这两种记法实际上是由多个相同的向量相加而且为了简化结果而引入。但是为了

4、得到更一般的结论，我们规定任意实数与任意向量之间也可以相乘，但此时不代表多个相同的向量相加，而是一种实数与向量的乘法运算了。下面我们就来学习实数与向量的积的相关知识。合作交流 解读探究1、实数与向量的积（也叫数乘向量）的定义：一般地，设是任意一个实数，是任意一个向量，则实数与向量的乘积仍然是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。【说明】（1）实数与向量可以作乘积运算，其结果是一个向量；但不能作加减运算，即： 是无意义的；（2）；（3）；（4）的几何意义： 当时，我们可以认为是将向量同向伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的

5、； 当时，我们可以认为是将向量反向伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的； 综上：我们可以认为是将向量同向（）或反向（）伸长（）或缩短（）到原来的倍得到的。（5）向量的线性运算：向量的加法、减法和实数与向量的乘积的综合运算，通常叫做向量的线性运算（或线性组合，也叫初等运算）。 对于任意向量以及任意实数，恒有：。 这里只有定义向量的加法、减法和数乘运算，没有定义向量与向量的除法运算，如式子是没有定义的，在解题过程中不能随便创造符号与运算。【例1】点是线段上的一点，且，设向量，试用向量表示向量和。【变式1】1、课本 练习1、2【总结】已知直线上三点，用向量表示向量时，实系数的求法： （1）根据向量与向

6、量的方向决定的正负：同向为正，反向为负； （2）求：； （3）由（1）（2）求出的值。 2、如图所示，是的边上的中点，则向量。2、实数与向量的积得运算律：设是任意两个实数；是任意两个向量，则： （1）结合律：； （2）第一分配律：； （3）第二分配律：；【说明】由以上运算律可知，实数与向量的积的运算法则与实数中的多项式运算法则一样，可以按多项式的运算法则进行运算；同时也提公因式、去括号、添括号、分解因式等。【例2】课本 例5【例3】（1）的结果是（ ） （2）设向量，则。【变式2】1、课本 练习3、5 2、化简。3、若，其中是已知向量，求。3、共线向量定理：定理1：向量与非零向量共线当且仅当有

7、且只有一个（有唯一一个）实数，使得。即：若，则（且唯一）【证明】“”若，由实数与向量的积的定义可知：；“”若，则先证存在性再证唯一性。存在性：（1）当时，则，此时。 故存在一个实数使得成立；（2）当时，有以下两种情况：当且同向时，令，此时，且与同向，又与同向，；当且反向向时，令，此时，且与反向，又与反向，。 综上所述：若，则存在唯一的一个实数使得成立。 唯一性：（反证法） 假设还存在一个实数使得：，且，则：， 这与矛盾，是唯一一个使得等式成立的实数。 综上所述：当时，存在唯一一个实数使得。【说明】（1）定理中的限制条件“”不能去掉。若，则：当时，有无数多个，此时不满足唯一性；当时，不存在，此时

8、不满足存在性；综上所述：。 （2）若，则式子“”中的求法：根据的方向确定的正负：同向为正，反向为负；求：；根据确定的值。 （3）若不共线，且，则必有。（4）与非零向量共线的单位向量是。（5）该定理可应用于证明或判断向量共线和几点共线（转化为有公共点的向量共线）。定理2：两个向量与共线当且仅当存在两个不全为0的实数使得。即：。【证明】略。【说明】若不共线，且，则。【例4】如图：已知，试判断向量与是否共线。【变式3】课本 练习4定理3：若点在点所在直线外，则不同的三点共线（不全为） 【证明】现只证明倒数第二个等价结论。“” 若不同的点共线，则，即：，令，则：。“” 若，则：， ，又有公共点，点共线。【例5】课本 例6【例6】已知非零向量不共线。（1）若，求证：三点共线。 （2）欲使和共线，试确定实数的值。【变式4】已知非零向量和不共线，若求证：三点共线。【例7】如图所示，已知在中，点为的中点，点在上，且。求证：三点共线。【变式5】如图，在中，在上取点，使得在上取点，使得,在的延长线上取点，使得，在的延长线上取一点，使得时有成立，试确定的值。【例8】在四边形中，求证：四边形为梯形。【例9】课本 例