勾股定理经典例题(含答案)

1、专业.专注学习参考经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，/C=90(1)已知a=6,c=10，求b,(2)已知a=40,b=9,求c；(3)已知c=25,b=15,求a.思路点拨：写解的过程中定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用解析:在4ABC中，ZC=90,a=6,c=10,b=八一苏-8(2)在4ABC中，ZC=90,a=40,在4ABC中，ZC=90,c=25,b=9,c=J一Jb=15,a=度式】:如图ZB=ZACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,贝UAB的长是多少？答案】ACD=90AD=13,CD=12.AC2=AD2CD2=132-

2、122二25.AC=5又zABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2二AC2BC2=52-32二16AB=4.AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中A=600.40=70AB=3Q.求：BC的长.思路点拨:由条件N*三,BD二二月5二15/即。=302想到构造含角的直角三角形，为此作上。于DA长.,再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的B则有解析：作于d,则因4二601./期O=90口_60口=300（益A的两个锐角互余）BD=-AB=A5.2（在及中，如果一个锐角等于30口，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在氏口中,AD-JABi-BD2=7

3、30s-153=5后.根据勾股定理，在血工CD中，CD=必=府-15G3=65.求证：M3+叱-5C=Sr）-FW=65+15=80举-反三变式1】如图，已知：/C=90AM=CM?于pB解析：连结BM,根据勾股定理，在及山出师中，BP=RM-.而在及44Asp中，则根据勾股定理有=AM1-AP2.又工场二CM（已知），三二厂二:.-.在“二二J中，根据勾股定理有BM2-CM1=BC2?BPBC+AP2度式2】已知：如图，ZB=ZD=90,A=60,AB=4,CD=2。求：四边形ABCD的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点

4、E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单解析：延长AD、BC交于E。4=Z60,=90,E=30.BE2=AE2-AB2=8 2-42=48 ,. DE2= CE2-CD2=4 2-22=12 ,.AE=2AB=8,CE=2CD=4,be=V48=4忘。.DE=屈=2出。11类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东60。方向走了,3、如.S四边形abcd=Saabe-Sacde=上ABBE-上CDDE=、3(1)5。口/5m到达b点，然后再沿北偏西30。方向走了500m到达目的地C点。

5、求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。解析：（1）过B点作BE/ADJDAB=ZABE=60.30+ZCBA+ZABE=180zCBA=90即4ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m,AB=51口后坨由勾股定理可得：AC=BC+AR(2)在RtAABC中,.BC=500m,AC=1000mzCAB=30JDAB=60专业.专注JDAC=30即点C在点A的北偏东30的方向举一反三问这辆卡车能否通过该工度式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂厂的厂门？答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小

6、于CH.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB, 与地面交于 H.解：OC = 1米（大门宽度一半），OD=0.8米 （卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD=JXJ。 0 , 米，CH=0 .6 + 2 .3 = 2 . 9 （米）2 .5 （米）.因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电

7、线最省电线就是线路长最短思路点拨：解答本题的思路是,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3图（3）中，在RtAABC中AC-炉=近同理图（3）中的路线长为2/22.828图（4）中，延长EF交BC于H,贝uFHBC,BH=CH30。,明=-由/FBH=及勾股定理得：也，mi卫ea=ed=fb=fc=36在.EF=1-2FH=1-3，此图中总线路的长为4EA+EF=1+后闷2.73N32.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三学习参考专业.专注B C是

8、上底面的直径.一只蚂蚁从点 A出发，沿着圆度式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.解：BA如图，在RtAABC中，BC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得(提问：勾股定理)AC=J羔、比/=2于10.77(cm)(勾股定理).答：最短路程约为10.77cm.类型四：利用勾股定理作长为赤的线段5、作长为的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于企,直角边为而和1的直角三角形斜边长就是下,类似地可作右。作法：如图所示学习参考 .(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角ACB,使AB为斜边；(2)以AB为一

9、条直角边，作另一直角边为1的直角壁。斜边为专业.专注（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形幽区,这样斜边工B、妈、网、腿的长度就是叵、右、4、右。举一反三变式】在数轴上表示J10的点。解析：可以把师看作是直角三角形的斜边，而？三10,为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3,作ACXOA且截取AC=1,以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为而。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3

10、.原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2 .逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3 .逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4 .逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果AABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b，c2+50=6a+8b+10c,判断AABC的形状。思路点拨：要判断MBC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目

11、中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有.学习参考.专业.专注从该条件入手，解决问题。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0o.(a-3)2R,(b-4)2R,(c-5)2r。a=3,b=4,c=5。32+42=52,a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得AABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到举一反三变式1】四边形ABCD中，ZB=90,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边

12、形ABCD的面积。答案】：连结AC zB=90,AB=3,BC=4 .AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）.AC=5 .AC2+CD2=169,AD2=169 .AC2+CD2=AD2ZACD=90勾股定理逆定理)弋一弋4弋一工助-配4工仙巫=36一四处3s一小iiABC中心A4CD22-只要证明：a2+b2=c2即可度式2已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且mn),判断AABC是否为直角三角形分析:本题是利用勾股定理的的逆定理证明:(川-尸:(2砌、川一2濯/+/+4跳所以ABC是直角三角形2度式3】如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且

13、BF=4AB。请问FE与DE是否垂直？请说明。答案】答：DELEF。证明：设BF=a,贝UBE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF（如图）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。df2=ef2+de2,FEDE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此

14、直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得：(3x)2+(4x)2=202化简得x2=16;2，直角三角形的面积=/X3xX4x=6x2=96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求臼解。木举一反三度式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。/答案】如图，等边4ABC,作ADBC于D/;学习参考专业.专注则：BD=之BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合).AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)，BD=1在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2,即：AD2=AB2BD2=41=3.AD=2Saabc=之BCAD=注：等边三角形面积公

15、式:若等边三角形边长为a,则其面积为- a。学习参考度式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得：5=12(1)由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)(3)(2),得：xy=122J_，直角三角形的面积是xy=2X12=6(cm2)度式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2化简得：n2=4.n=2

16、,但当n=2时，n+1=10,，n=2总结升华：注意直角三角形中两直角边”的平方和等于斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。度式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形：b2=c2a2=(ca)(c+a)来判断。例如：对于选择D,.82w(40+39)X(4039),.以8,39,40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。答案】：A度式5】四边形ABCD中，ZB=90,AB=3,

17、BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。A解：连结AC.出=90,AB=3,BC=4.AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）.AC=5.AC2+CD2=169,AD2=169.AC2+CD2=AD2.zACD=90勾股定理逆定理）.S四边形abcd=Saabc+Saacd=2ABBC+之ACCD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30,点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请,那么学校受影响的时间为多少秒？说明理由，如

18、果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m 则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校解析：作ABMN,垂足为B。在RtAABP中，.ZABP=90,jAPB=30,AP=160,2.AB=之AP=80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半),一点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公

19、路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=100(m),由勾股定理得：BC2=1002-802=3600,BC=60O同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m),BD=60(m),.CD=120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h=5m/st=120m+5m/s=24s。答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三度式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走捷

20、径”，在花园内走出了一条路”他们仅仅少走了解析：他们原来走的路为 3+4 =7(m),却踩伤了花草。设走捷径”的路长为xm,则岂故少走的路长为75=2(m)又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。喀案】4度式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形(1)直接写出单位正三角形的高与面积(2)(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线)。A答案】(1)单位正三角形的高为2 ,面积是-图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？2决.3、如图所示24X=。市(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积(3)过A作AKLBC于点K(如图所示)，则在RtACK中,类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解ABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE，DF,若BE=12CF=5.求线段EF的长。SA。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.解：连