教学设计 (10)

1、2017年9月24日数学试卷 一、选择题（共2小题；共10分）1. 若随机变量 X 的概率分布如下表所示，则表中 a 的值为 X1234P121616aA. 1B. 12C. 13D. 16 2. 已知随机变量 X 的分布列为：PX=k=k15，k=1，2，3，4，5，则 P12X52 的值为 A. 12B. 15C. 16D. 19 二、填空题（共2小题；共10分）3. 随机变量 X 等可能取值为 1，2，3，n，如果 PX4=12，那么 n= 4. 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若 a2=b2+c2+bc，则 A= 三、解答题（共4小题；共52分）5. 如图，四

2、棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB 和 PAD 是两个边长为 2 的正三角形，DC=4，O 为 BD 的中点，E 为 PA 的中点（1）求证：PO平面ABCD；（2）求证：OE平面PDC；（3）求直线 CB与平面PDC 所成角的正弦值 6. 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 4sin2AB2+4sinAsinB=2+2（1）求角 C 的大小；（2）已知 b=4，ABC 的面积为 6，求边长 c 的值 7. 如图1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=4，M 、 N 、 E 分别为 BC 、 AD 、 CD 的中点，现将 ADE 沿

3、AE 折起，折起过程中点 D 仍记作 D，得到如图2所示的四棱锥 DABCE（1）证明：MN平面CDE；（2）当 ADBE 时，求直线 BD 与平面 CDE 所成角的正弦值 8. 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，点 E 为棱 PC 的中点（1）证明：BEDC；（2）若 F 为棱 PC 上一点，满足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值答案第一部分1. D2. B第二部分3. 64. 23【解析】由余弦定理得 cosA=12因为 0A，所以 A=23第三部分5. （1） 设 F 为 DC 的中点，连接 BF（如图），则

4、DF=AB因为 ABAD，AB=AD，ABDC，所以四边形 ABFD 为正方形，因为 O 为 BD 的中点，所以 O 为 AF，BD 的交点，因为 PD=PB=2，所以 POBD，因为 BD=AD2+AB2=22，所以 PO=PB2BO2=2，AO=12BD=2，在三角形 PAO 中，PO2+AO2=PA2=4，所以 POAO，因为 AOBD=O，所以 PO平面ABCD（2） 方法1：如图，连接 PF因为 O 为 AF 的中点，E 为 PA 中点，所以 OEPF，因为 OE平面PDC，PF平面PDC，所以 OE平面PDC方法2：由（1）知 PO平面ABCD又 ABAD，所以过 O 分别做 AD

5、，AB 的平行线，以它们做 x，y 轴，以 OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得：A1,1,0，B1,1,0，D1,1,0，F1,1,0，C1,3,0，P0,0,2，E12,12,22，则 OE=12,12,22，PF=1,1,2，PD=1,1,2，PC=1,3,2因为 OE=12PF，所以 OEPF因为 OE平面PDC，PF平面PDC，所以 OE平面PDC（3） 设平面 PDC 的法向量为 n=x1,y1,z1，直线 CB 与平面 PDC 所成角 ，由 nPC=0,nPD=0, 得 x1+3y12z1=0,x1y12z1=0, 令 z1=1，则平面 PDC 的一个法向量为 n

6、=2,0,1，又 CB=2,2,0，则 sin=cosn,CB=22322=33，所以直线 CB 与平面 PDC 所成角的正弦值为 336. （1） 由已知得21cosAB+4sinAsinB=2+2,化简得2cosAcosB+2sinAsinB=2,故cosA+B=22,所以A+B=34,因为 A+B+C=，所以 C=4（2） 因为SABC=12absinC,由 SABC=6，b=4，C=4，所以 a=32，由余弦定理，得c2=a2+b22abcosC,所以 c=107. （1） 取 AE 的中点 F，连接 MF，NF，因为 M 、 F 分别为 BC 、 AE 的中点，所以 MFCE，又 M

7、F平面CDE，CE平面CDE，所以 MF平面CDE同理 NF平面CDE，又 MF，NF平面MNF，MFNF=F，所以 平面MNF平面CDE因为 MN平面MNF，所以 MN平面CDE（2） 在题图1中，连接 BE，因为 AB=2BC=4，所以 BE=AE=22，AE2+BE2=AB2，所以 BEAE又 ADBE，AE，AD平面ADE，AEAD=A，所以 BE平面ADE又 BE平面ABCE，所以 平面ADE平面ABCE连接 DF，因为 ADE 为等腰三角形，F 为 AE 的中点，所以 DFAE，所以 DF平面ABCE因为 AD=DE=2，所以 AE=22，所以 DF=2以点 E 为坐标原点，建立如

8、图所示的空间直角坐标系 Exyz，则 E0,0,0，B2,2,0，C0,2,0，D1,1,2，EC=0,2,0，ED=1,1,2设平面 CDE 的法向量为 n=x,y,z，则 nEC=0,nED=0, 即 2y=0,xy+2z=0, 令 z=2，则平面 CDE 的一个法向量为 n=2,0,2设直线 BD 与平面 CDE 所成的角为 ，又 BD=1,3,2，则 sin=cos=BDnBDn=4126=23，即直线 BD 与平面 CDE 所成角的正弦值为 238. （1） 方法一：依题意，以点 A 为原点，AB,AD,AP为x,y,z轴 建立空间直角坐标系（如图所示），可得 B1,0,0，C2,2

9、,0，D0,2,0，P0,0,2由 E 为棱 PC 的中点，得 E1,1,1向量 BE=0,1,1，DC=2,0,0，故 BEDC=0，所以 BEDC方法二：如图所示，取 PD 中点 M，连接 EM，AM由于 E，M 分别为 PC，PD 的中点，故 EMDC，且 EM=12DC又由已知，可得 EMAB 且 EM=AB，故四边形 ABEM 为平行四边形，所以 BEAM因为 PA底面ABCD，故 PACD，而 CDDA，从而 CD平面PAD因为 AM平面PAD，所以 CDAM又 BEAM，所以 BECD（2） 方法一：向量 BC=1,2,0，CP=2,2,2，AC=2,2,0，AB=1,0,0由点

10、 F 在棱 PC 上，设 CF=CP，01故 BF=BC+CF=BC+CP=12,22,2由 BFAC，得 BFAC=0，因此 212+222=0，解得 =34，即 BF=12,12,32设 n1=x,y,z 为平面 FAB 的法向量，则n1AB=0,n1BF=0,即x=0,12x+12y+32z=0.不妨令 z=1，可得 n1=0,3,1 为平面 FAB 的一个法向量取平面 ABP 的法向量 n2=0,1,0，则cosn1,n2=n1n2n1n2=3101=31010.易知二面角 FABP 是锐角，所以其余弦值为 31010方法二：如图所示，在 PAC 中，过点 F 作 FHPA 交 AC 于点 H因为 PA底面ABCD，所以 FH底面ABCD，从而 FHAC又 BFAC，得 AC平面FHB，因此 ACBH在底面 ABCD 内，可得 CH=3HA，从而 CF=3FP在平面 PDC 内，作 FGDC 交 PD 于点 G，于是 DG