函数单调性的定义与应用

1、函数的性质单调性【教学目的】 使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】 重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数 增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.若当x1<x2时，都有f(x1)<(fx2),则说f(x)在这个区间上是增函数若当x1<x2时，都有f(x1)>(fx2),则说f(x) 在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数y=x2，当x0,+

2、)时是增函数，当x(-,0)时是减函数. 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的

3、定义，只要将上述定义中的“f(x1)<(fx2) 或f(x1)>(fx2) ”改为“f(x1)(fx2) 或f(x1)(fx2)”即可；定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. 几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 例题例1 图6是定义在闭区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 练习：1、函数的增减性的正确说法是

4、：A单调减函数 B.在上是减函数,在上是减函数C. 在是减函数,在是减函数 D.除点外,在上是单调递减函数二次函数的单调性：对函数，当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；例：讨论函数在(-2,2)内的单调性。二、函数单调性的证明步骤： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）例1、证明函数在（1，+）上为减函数例2、证明函数在R上是单调减函数。练习1 证明函数f(x)=1/x在(0,+)上

5、是减函数.练习2 试判断函数在上的单调性并加以证明。例 已知函数f(x) (a>0)在(2，)上递增，求实数a的取值范围 三、复合函数单调性 对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x(a，b)时，u(m，n)，且yf(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：例：函数的单调减区间是 （ ）A. B. C. D.求函数单调区间（复合函数）1.函数的单调区间是（ ）A（-，+） B.（-，0） （1，） C.（-，1） 、（1，） D. （-，1）（1，）2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增

6、函数的是(   ).A   B      CD 3函数的增区间是（  ）。A-3，-1 B-1,1 C  D 4、已知函数，判断在区间0，1和（1，+）上的单调性。五、函数单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例 （1）若函数在上单调递增，在上单调递减，求其实数的取值；（2）若函数在上单调递增，其实数的取值范围；（3）若函数在上单调递增，其实数的取值范围；例 若函数在上单调递增，其实数的取值范围；例 已知函数是上的减函数，求实数的取值范围；练 习

7、判断函数的单调性1.在区间上为增函数的是:A. B. C. D. 2.设是函数的反函数的一个单调增区间,则实数的取值范围是A. B. C. D. 3.下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数, 是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:A.1 B.2 C.3 D.04在区间上是减函数,则实数的取值范围是5.已知函数f(x)=|的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.6.是定义在上的增函数,则不等式的解集是7.已知函数f(x)=, 用函数单调性的定义证明：在(,+)上单调递减. 8.讨论函数在区间1,1上的单调性,并证明.9.函数,求证在上是增函数.二次函数的单调性1. 函数在上是减函数，求a的取值范围。2. 函数在上是减函数求a的取值范围。3. 函数在上是减函数,在上是增函数，求a。4. 函数在-1,2上是增函数,求m的取值范围。5. 已知在上是减函数,且求a的取值范围。6在区间上是减函数,则实数的取值范围 7.已知二次函数f(x)的二次项系数为正,且对于任意实数x,都有f(2-x)=f(x2)，讨论函数f(x)的单调性。单调性与大小关系1.如果ax2+bx+c0(a0)的解集为x|x2或x4,设f(x)=