人教版初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案

1、二次函数、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c a , b, c是常数，a 0的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0,而b ,c可以为零二次函数的定义域是全体实数.22. 二次函数y ax bx c的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.a , b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, 0y轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y

2、随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值0 a 0向下0, 0y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值0 .22. y ax c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上0, cy轴x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随 x的增大而减小；x 0时，y有最小值c .a 0向下0, cy轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随 x的增大而增大；x 0时，y有最大值c .23. y a x h 的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h, 0X=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大

3、而减小；x h时，y有最小值0 .a 0向下h, 0X=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值0 .2 ,4. y a x hk的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0向上h , kX=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随 x的增大而减小；x h时，y有最小值k a 0向下h , kX=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随 x的增大而增大；x h时，y有最大值k 三、二次函数图象的平移2y a x h k，确定其顶点坐标h, k ；1. 平移步骤：将抛物线解析式转化成顶点式 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到

4、h，k处，具体平移方法如下:y=ax2平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k个单位向右(h>0)【或左(h<0)】向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x_h)2平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)y=ax 2+ k1向右(h>0)【或左(h<0) 平移|k|个单位y=a (x-h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上概括成八个字“左加右减,h值正右移，负左移; 上加下减k值正上移，负下移四、二次函数2 axbxc的比拟从解

5、析式上看,2 axbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即yab2a4ac4a-，其中4ac b24a六、二次函数y2 axbxc的性质1当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b2a，顶点坐标为b2a24ac b4a一时，y随x的增大而减小;2ay随x的增大而增大;y有最小值4ac b24a2当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为x 一，顶点坐标为2ab 4ac b2 立, 当 x2a 4ab2a时,y随x的增大而增大；当 x 时，y随x的增大而减小；当x2ay有最大值4ac b24a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c a， b， c 为常数，a 0；2

6、2. 顶点式：y a(x h) k a， h， k 为常数，a 0；3. 两根式交点式：y a(x xj(x X2) a 0，论，x?是抛物线与x轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上, 当a 0时，抛物线开口向下,2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下,a的值越大，开口越小，反之 a的值越小，开口越大；a的值越小，开口

7、越小，反之 a的值越大，开口越大.b决定了抛物线的对称轴.同左异右 b为0对称轴为y轴当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y轴交点的纵坐标为负.3. 常数项c总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x轴交点情况：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函数y ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当 b2 4ac 0时，图象与x

8、轴交于两点A xi , 0 , B x? , 0 (为x?),其中的为,x?是次方程2 axbx c0 a 0的两根.当0时,图象与x轴只有-个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数,都有 y 0 ；2'当a0时图象洛在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y 0.2.抛物线y2 axbx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0 ,c；、选择题1.二次函数yA.(2, 11)2.把抛物线y二次函数对应练习试题x2 4x 7的顶点坐标是B.一2, 7C.2, 11D.2, - 32x2向上平移1个单位,得到的抛物线是A. y 2(x 1)

9、2B.y 2(x1)2 C. y 2x2 1 D.2x2x 1和x 3时,函数值相等；4ab 0当y的个数是2时，x的值只能取0.其中正确A.1个B.2 个 C. 35.二次函数y ax2 bx c(a由图象可知关于个个D. 4兀二次方程 axA. 1 . 36.二次函数ax2 bx c的图象如下列图，那么点ac,bc在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.方程2x x2-的正根的个数为xA.0个B.1C.28.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2那么这条抛物线的解析式为A. y x2B.yx2x 2C. yx2x 2 D.yx2x 2 或 yx2x

10、2二、填空题9 .二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，那么b 。10. 抛物线y=-2 x+3甘5，如果y随x的增大而减小，那么 x的取值范围是 11. 一个函数具有以下性质：图象过点一 1, 2，当Xv 0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 只写一个即可。12. 抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C,直线y kx 3过点C,那么这条直线与两坐标轴所围 成的三角形面积为。13. 二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，贝y b= ,c=。14. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是

11、16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是L n取3.14).三、解答题:515. 二次函数图象的对称轴是x 30,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0,-)2(1)求这个二次函数的解析式； 当x为何值时，这个函数的函数值为0? 当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？1 216. 某种爆竹点燃后，其上升高度h米和时间t秒符合关系式h v0t丄gt2 0<t < 2，其2中重力加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以V0=20米/秒的初速度上升，1这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？2在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒

12、这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线y x2 bx c经过直线点A、B,此抛物线与X轴的另一个交点为1求此抛物线的解析式;2点P为抛物线上的一个动点，求使S的坐标。18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该建材店为提高经 营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x元，该经销店的月利润为 y元.1当

13、每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；2求出y与x的函数关系式不要求写出x的取值范围；3该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？4小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力 y与提出概念所用的时间x分之 间满足函数关系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0< x< 30).1当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时， 学生的接受能力逐步减弱？2第10分钟时，学生的接受能力是多少?3第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图， ABC是一等腰三角形铁板余料，其中

14、AB=AC=20cm,BC=24cm.假设在 ABC上截出一矩形零件 DEFG,使EF在BC上，点D、G分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少？3、如图, ABC中，/B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q从点B开始,沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q 同时出发，问经过几秒钟 PBQ的面积最大？最大面积是多少？C4、如图，一位运发动在距篮下 4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行 的水平距离为2.5米时，到达最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.篮圈中心到地面的 距离为3.05米.(1

15、) 建立如下列图的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 该运发动身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25米处出手，问：球出手时, 他跳离地面的高度是多少.y(0,3.5)HZ.Srrr* 、:4 m:5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m长的篱笆围成中 间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少 m?比拟(1)(2)的结果，你能得到什么结论？6某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售

16、价x(元)满足关系：m=140 2x.学习文档仅供参考(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最适宜？最大 销售利润为多少？1 . A 2 . C 3 . A 4 . B5 .D 6 . B 7 . C8 . C二、填空题、9 . b4 10 . xv -311 .如2y 2x 4,y 2x4等答案不唯一，选择题、B 0，- 3.那么12. 113. -8 7 14. 1515 .(1)设抛物线的解析式为yax2 bx c,由题意可得b32aabc 6解得5c152a,b3,c22所以y1 2x

17、3x522三、解答题y x2 2x 3.2抛物线的顶点D1,4与x轴的另一个交点C 1，0.设P(a,a22a 3)，贝U121.化简得(24a2a3):(24 4)5:4a22a35当a22a3 > 0 时,a2 2a 35得a4,a2 P4, f5或 P一 2,5当a22a3 v 0 时,a2 2a 35 即a22a20此方程无解.综上所述，满足所以此抛物线解析式为条件的点的坐标为4，5或一2，5.二次函数对应练习试题参考答案x1 或-5 (2) x316 .11 2由得，1520t10 t，解得2t13,t21当t 3时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米.2由题意得，2

18、 2h 5t 20t = 5(t 2)20 ,可知顶点的横坐标t 2,又抛物线开口向下， 所以在爆竹点 燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升.17 . 1直线y x 3与坐标轴的交点 A 3,0，9 3b c 0 b 2解得c 318 . 145 260 240 7.5=60吨.210260 x八 /口y (x 100)(457.5)，化简得：10y3x2 315x 24000. 343 232y x 315x 24000 (x 210)9075 .4 4红星经销店要获得最大月利润，材料的售价 应定为每吨210元.4我认为，小静说的不对.理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而

19、对于月销售额260 x32W x(457.5)3(x 160)2 19200104V7来说，当x为160元时，月销售额W最大.当x 为210兀时，月销售额 W不是最大.小静说的 不对.方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；而当x为200元时， 月销售额为 18000 元. 17325 V 18000,当月利润最大时，月销售额W不是最大.小静说的不对.当t=3时,y有最大值9.故第3秒钟时 PBQ的面积最大，最大值 是 9cm2.4、解：(1)设抛物线的表达式为y=ax2+ bx+c.由图知图象过以下点：(0, 3.5), (1.5,3.05).2a 0,a 0.2,c 3.5,得 b 0,3.051.5 a 1.5b c, c 3.5.抛物线的表达式为y= 0.2x2+3.5.设球出手时，他跳离地面的高度为 h m,贝仔求出手时，球的高度为h+1.8+0.25=(h+2.05) m, h+2.05= 0.2 X ( 2.5)2+3.5, h=0.2(m).5、解：(1)依题意得鸡场面积y=50x.3二次函数应用题训练参考答案1、