级高数(上)试卷与答案

1、.南昌大学 2006 2007 学年第一学期期末考试试卷一、填空题 ( 每空 3分，共 15分) :1.函数 f ( x)x1lg(5 x)23x的定义域为 _.2.ex ,x0,设函数 f ( x )x0,ln( a x ),则 a 为_值时 , f ( x ) 在 x=0 处连续 .( a>0)3. 若函数 f ( x ) 在 x=0 可导 , 且 f (0)=0,则 limf ( x )_.x 0x4. 设 f ( x )x , 在1, 4上使 Lagrange( 拉格朗日 ) 中值定理成立的_.5. 设 F ( x)2 xsin t2dt , 则 dF ( x ) _.0二、单项

2、选择题( 每题 3 分，共 15 分):1.x0 是函数 f ( x )x sin 1 的().x(A) 跳跃间断点 . (B)可去间断点 .(C)无穷间断点 .(D)振荡间断点 .2. 设曲线 ye1x 2与直线 x1相交于点 P,曲线过点 P 处的切线方程为 ().(A)2xy10.(B)2xy30.(C)2xy30.(D)2xy20.3. 若函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内可导 , x1 和 x2 是区间 ( a, b) 内任意两点 ,且 x1x2 , 则至少存在一点使().(A)f (b)f ( a)f '()(ba),其中 ab.(B)f (b)f ( x1

3、)f '()( bx1 ),其中 x1b.(C)f ( x2 )f ( x1 )f '()( x2x1 ),其中 x1x2 .(D)f ( x2 )f (a)f '()( x2a),其中 ax2 .4.设函数 f ( x ) 在 (,) 上连续 ,则 df ( x )dx等于 ().(A) f ( x ). (B) f ( x )dx.(C)f ( x )C. (D)f '( x )dx .5. 设dd4存在 ,Idxf ( x )dxdx3 f ( x)dxf '( x )dx则I().(A) 0.(B)f ( x ).(C)2 f ( x ). (D

4、)2 f ( x )C .三、计算下列极限( 共 2 小题 ,每小题 7 分,共 14 分) :1.1cos x 2lim.x 0 1 cos x2. lim (sin x ) tan x .x2.四.解下列各题 ( 共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分):1. 设1x求 y ''(0).y ln1x2 ,2.设函数 yy( x ) 由方程 ln( x2y)x 3 ysin x 确定 ,求 y '(0).x t f (u 2 )du,3. 设0其中 f ( u) 具有二阶导数 ,且 f ( u) 0,2yf (t 2 ) ,求 d 2 y dx2 .五 . 求下列

5、不定积分 ( 共 2 小题 , 每小题 7 分, 共 14 分):1dx.x(1 x8 )1、2. x sin 2 xdx .12六. 已知 f (2), f '(2) 0, 及0 f ( x)dx 1,21x 2 f ''(2x)dx.(7 分)求0.2 x 2七. 已知函数 y, 试求其单增、单减区间 , (1 x )2并求该函数的极值和拐点.(9分)八. 设 f ( x) 在 a,) 上连续 , f ''( x ) 在 (a,) 内存在且大于零 ,记 F ( x )f ( x ) f ( a) 内单调x( x a). 证明 : F ( x ) 在

6、( a,a增加. (5分 )南昌大学 2006 2007 学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题 ( 每空 3分，共 15分) :1.函数 f ( x)x21lg(5x)x3的定义域为 （ 2x3 与 3x5;）2.ex ,x0,设函数 f ( x )x ),x0,ln( a则 a 为（ e ）值时 , f ( x ) 在 x=0 处连续 .( a>0)3. 若函数 f ( x ) 在 x=0 可导 , 且 f (0)=0,则 limf ( x )（ f '(0)）x 0x4. 设 f ( x )x , 在1, 4上使 Lagrange( 拉格朗日 ) 中值定理成立的（ 9/4

7、）一、 5.设 F (x )2xsin t2 dt, 则 dF ( x )（ 2sin(4 x2 )dx ）0二、单项选择题( 每题 3 分，共 15 分):.1. x 0 是函数 f ( x )1x sin 的( B ).x(A) 跳跃间断点 . (B)可去间断点 .(C)无穷间断点 .(D)振荡间断点 .2. 设曲线 ye1x 2与直线 x1相交于点 P,曲线过点 P 处的切线方程为 ( C ).(A)2xy10.(B)2xy30.(C)2xy30.(D)2xy20.3. 若函数 f ( x ) 在区间 ( a, b) 内可导 , x1 和 x2 是区间 ( a, b) 内任意两点 ,且

8、x1x2 ,则至少存在一点使(C ).(A)f (b)f ( a)f '( )(b a),其中 ab.(B)f (b)f ( x1 )f '()( bx1 ),其中 x1b.(C)f ( x2 )f ( x1 )f '()( x2x1 ),其中 x1x2 .(D)f ( x2 )f (a)f '()( x2a),其中 ax2 .4. 设函数 f ( x ) 在 (,)上连续 ,则 d f ( x )dx 等于 ( B ).(A)f ( x ).(B)f ( x)dx .(C)f ( x )C .(D)f '( x )dx.5. 设dd4存在 ,Idxf

9、( x )dxdx3 f ( x)dxf '( x )dx则I ( D).(A) 0.(B)f ( x ).(C)2 f ( x ).(D)2 f ( x )C .三、计算下列极限( 共 2 小题 ,每小题 7 分,共 14 分) :1cos x 21.lim.x 0 1 cos x解：Q x0时，1cos x :1x 2 ， 1cosx 2 :1x 221x 42221cosx 21x4lim22limcosxx 0 1x 0 12x22. lim (sin x ) tan x .x2解： (1)令 ysin xtan xln ytan x lnsinx(2) lim ln ylim

10、 tan x lnsinxxx22lnsinx1 cos xlimlimsin x0cot xcsc2xxx22(3)lim (sin x )tan xlim ylim eln ye01x2x2x2四.解下列各题 (共 3小题, 每小题 7分,共 21 分):1.设1x求 y ''(0).yln1x2 ,解：Qyln1x1x )ln(1 x 2 ).1x2ln(12.112 x112xy'2 1 x1 x 221 x1 x 2 .LL3分112(1x 2 ) 4x 211x 2y ''2 (1x ) 2(1x 2 )22(1 x )2(1x 2 ) 2

11、.于是113LL7分y ''(0).222. 设函数 yy( x ) 由方程 ln( x2y)x 3 ysin x 确定 ,求 y '(0).解：方程两边对 x 求导 , 得12xy '3x2 yx 3 y' cos x.LL4分x 2y当x0时,由原方程得 y1,代入上式得 y'(0)1.LL7分xt f (u 2 )du,3. 设0其中 f ( u) 具有二阶导数 ,且 f ( u)0,yf (t 2 )2,d 2 y求dx2 .解:dy4tf ( t 2 ) f '( t 2 ),dxdtf (t 2 ).dt.dydx2d ydy

12、dtdxdtd4tf (t 2 ) f '( t2 )2 ).f (t 2 )4tf '( tdyddydx4 f '( t 2 ) 8t 2 f ''( t2 )dxdtdxdxf (t 2 ).dt五. 求下列不定积分( 共 2 小题 , 每小题 7 分, 共 14 分):x(11x8 ) dx.1、x8x 711dx8=111dx8解:(1 x8 ) dx8x8 1 x88x 81 x8原式 =ln | x |18| C.ln |1 x82. x sin 2 xdx .解:原式x 1 cos2 x dx1xdx1x cos2 xdx224x 21x

13、 sin 2 x1C.44cos2 x8六. 已知 f (2)1, f '(2)0, 及 02 f ( x)dx 1,2求1x 2 f''(2 x)dx.(7分)0解:设 t2 x ,则1x2 f ''( x)dx12t 2f ''( t )dt0204.1t2 f '( t ) 22 2 tf'( t )dt12 2 tdf ( t )800801 t f ( t ) 22f (t )dt1(1 1) 0.4004七. 已知函数 y2 x 2, 试求其单增、单减区间 ,2(1 x )并求该函数的极值和拐点 .(9分)解:

14、4x8 x4y '(1 x)3 ,y''(1 x)4 .令 y '0, 得x0; 令 y ''0, 得 x1.2x (, 1/2)1/ 2(1/ 2,0) 0(0,1) (1,)y '-0+-y ''-0+y拐点极小值故(0,1)为单增区间 , (,0) 和(1,)为单减区间 ; 函数在 x0 处取得极小值 ,极小值为 0。点 (1/ 2,2/ 9) 为拐点 .八. 设 f( x) 在 a,)上连续,f ''( x ) 在 (a,) 内存在且大于零 ,记 F ( x )f ( x )f ( a)xa增加. (5分 )( xa). 证明 : F ( x ) 在 ( a,) 内单调证明 : F '( x )1f '( x )xaf ( x)f (a)xa.由拉格朗日中值定