立体几何中二面角的平面角的定位

1、立体几何中二面角的平面角的作法新野县第三高级中学校胡国晓空间图形的位置关系是立体几何的重要内容，解决立体几何问题的关键在于三定：定性分析 定位作图 定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化，在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，可是，从以往的教学中发现，学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱，甚至错误地定其位，使问题的解决徒劳无益，本文就是针对这一点，来谈一谈平日教学中的体会。一、二面角的平面角的定义如图（ 1）， 、 是由 l 出发的两个平面,O 是 l 上任意一点OC ，且 O

2、Cl ；CD ，且 OD l 。这就是二面角的平面角的环境背景，即COD 是二面角l的平面角，从中不难得到下列特征：、过棱上任意一点，其平面角是唯一的；、其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在 OC 上任取上一点 A ，作 AB OD 垂足为 B,那么由特征可知 AB . 突出 l、OC、 OD 、 AB ，这便是另一特征；、体现出完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背景。二、对以上特征进行剖析由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成， 所以二面角的平面角的定位可化归为 “定点 ”或 “定线（面）”的问题。特征表明，其平面角的定位可先在棱上取一 “点 ”，耐人寻味的是这一点可以随便取

3、，但又总是不随便取定的，它必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。例 1 已知正三棱锥V ABC 侧棱长为 a，高为 b，求侧面与底面所成的角的大小。由于正三棱锥的顶点 V 在底面 ABC 上的射影 H 是底面的中心，所以连结CH 交 AB 于 O，且 OCAB ，则 VOC 为侧面与底面所成二面角的平面角如图（2）。正因为正三棱锥的特性，解决此问题，可以取AB的中点 O 为其平面角的顶点，而且使背景突出在面VOC 上，给进一步定量创造得天独厚的条件。特征指出，如果二面角l的棱 l 垂直某一平面 ;那么 与 、的交线所成的角就是 l的平面角，如图。由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平

4、面 ”。例 2 矩形 ABCD ，AB=3 ，BC=4，沿对角线 BD 把 ABD 折起， 使点 A 在平面 BCD 上的射影 A落在 BC 上，求二面角 A BC- D 的大小。这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变 ”与“不变 ”。在平面图形中过 A 作 AE BD 交 BD 于 O、交 BC 于 E，则折叠后OA 、OE 与 BD 的垂直关系不变。但OA 与 OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱垂直。由特征可知，面AOE 与面 ABD 、面 CBD 的交线 OA 与 OE 所成的角，即为所求二面角的平面角。另外，A 在面 BCD 上的射影必

5、在OE 所在的直线上，又题设射影落在BC 上,所以 E 点就是 A，这样的定位给定量计算提供了优质服务。通过对例2 的定性分析、定位作图和定量计算，特征从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“展平 ”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形 ”与 “立体图形 ”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量。特征显示， 如果二面角 l的两个半平面之一， 存在垂线段 AB ，那么过垂足 B 作 l 的垂线交 l 于 O，连结 AO，由三垂线定理可知 OAl ；或者由 A 作 l 的垂线交 l 于 O，连结 OB，由三垂线定理逆定理可知 OB l

6、，此时， AOB 就是二面角 l的平面角，如图。由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段 ”。例 3 在正方体ABCD A 1B 1C1D 1 中，棱长为2，E 为 BC 的中点。求面B 1D 1E 与面积 BB 1C1C 所成的二面角的大小。例 3 的环境背景表明，面B 1D 1E 与面 BB 1C1C 构成两个二面角，由特征可知，这两个二面角的大小必定互补，下面，如果思维由特征监控,背景中的线段C1D1 会使眼睛一亮 ,我们只须由C1 (或 D1)作 B1E 的垂线交 B1E 于 O,然后连结 OD 1(或 OC1 ),即得面 D1BE 与面 CC1B1 E 所成二面角的平面角C1OD

7、 1，如图。三、三个特征的关系以上三个特征提供的思路在解决具体总是时各具特色，其标的是分别找“点 ”、 “垂面 ”、“垂线段 ”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来。掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。在许多问题中可借助由特征，找到(作出 ) “垂线段 ”便可定位。例4已知RtABC的两直角边AC=2 ， BC=3 ， P为斜边上一点，沿CP将此直角三角形折成直二面角A CP B ，当 AB=71/2 时，求二面角PAC B 的大小。作法 A CPB为直角二面角，过B 作BDCP交CP 的延长线于D ，则BD DM APC。过D 作DEAC ，垂足为E ，连BE。 DEB为二面角ACP B 的平面角。再说，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，有了“垂线段 ”就可把它化归为解一