第6章磁流体力学不稳定性

1、第 6 章 磁流体力学不 稳定性 6.1概论等离子体能 够被磁场约束并处于力学平衡状 态。一个处于力学平衡状 态的等离子体位形，当它受到某种 扰动，偏离平衡态时，等离子体将如何反应？是越来越偏离平衡 态，最后导致平衡态被破坏呢，还是很快将 扰动抑制住回到平衡 态前者是不稳定平衡，后者是稳定平衡但当磁流体 处在非热力学平衡 态，其内部存在着可以 转换成扰动能量的自由能 时，在合适的条件下有些 扰动就可能发展成为在大范围、长时间、能量超过热噪声水平的大幅度集体运动这种集体运 动就称为不稳定的模式，相应现象就称为磁流体的不 稳定性研究等离子体的各种不 稳定性，阐明其物理机制，探索抑制不 稳定性的方法

2、，一直是受控核聚变研究的重要 课题磁约束等离子体可以 处于力学平衡状 态，但它不是完全的热力学平衡态等离子体处于非热力学平衡状 态意味着等离子体具有 较高的自由能，因而必然会 产生从较高能量状 态过渡到较低能量状 态的宏观或微观运动等离子体偏离热力学平衡 态大体有两类方式一类是等离子体宏 观参数如密度、温度、压强或其它热力学量的空 间局域性和不均匀性；另一类是等离子体的速度空 间分布函数偏离麦克斯 韦分布由于前一种原因 产生不稳定性时，等离子体通常以整体形式在空 间改变其形状，因而称为宏观不稳定性。由后一种原因产生的不稳定性称为微观不稳定性宏观不稳定性通常用磁流体力学方程进行分析，因而也称为磁

3、流体力学不 稳定性，而微观不稳定性则用动力论方程进行分析，因而也叫动力学不稳定性由于磁流体力学不 稳定性在磁 约束核聚变等离子体中具有更重要的地位， 处理方法也相对地比较容易，因此本节仅讨论 磁流体力学不 稳定性下面我们将首先从分析流体的瑞利一泰勒不 稳定性（Rayleigh Taylorinstability ）入手，这样做物理图像清晰，易于理解然后讨论在分析磁流体力学不 稳定性中得到广泛 应用的能量原理在这基础上分析几种主要的宏观不稳定性，最后讨论等离子体 电阻对不稳定性的影响下面是几种典型的磁流体不稳定模式例 1瑞利一泰勒（Rayleigh-Taylor ）不稳定性（图 41）；例 2开

4、尔文一亥姆霍 兹（Kelvin Helmholtz ）不稳定性（图 42）；例 3腊肠型不 稳定性（图 43）；例 4弯曲型不稳定性（图 4.4）；例 5. 磁岛（图 4.5）；例 6. 磁重联（图 46）每种不稳定的扰动在其演化 过程中都会依次 经历下面三个 阶段：线性阶段、非线性阶段及饱和阶段在线性阶段，扰动的幅度较小，不同类型的扰动彼此之间并不相互作用，扰动对它所处的平衡态也无影响，这时扰动 的幅度是随 时间指数增长的在非线性阶段，扰动幅度增大到会反 过来使原有的平衡量作一定 调整（因此改变了自己得以不 稳定增长的初始条件，使馈入的自由能量减少），并达到开始和其他 扰动模式相互作用（从而

5、彼此 间交换能量）的程度，从而使增 长率木断下降这时扰动 幅度是依次随 时间的不同幂次（一般是从高幂到低幂次）而增长的当时间的幂次最后降低到零 时，就达到了演化的终点 扰动的幅度不再随 时间增加，而一直保持极大 值，这就是饱和本章只讨论磁流体的 线性不稳定性线性不稳定性的基本描述方法（1）简正模法先将描述所研究 对象的状态量写成平衡量（零级量）和扰动量（一级小量）之和，然后把它们代入所用的磁流体方程 组，从中减去平衡方程并略去二 级小量就得到了 线性化的方程组对这些方程作（时间）拉氏变换和（空间）傅氏变换 A(r ,t)A ,k exp(ik ri t ) 后可能出 现下列几种情况：（i）全部

6、空间坐标都能进行傅氏变换 这样线 性微分方程 组就变成了线性的齐次代数方程 组，它的有非平凡解的条件（系数行列式 为零）就给出了关于(k ) 的色散关系例如上一章中平板几何位形下的阿 尔文波的色散关系正是由 这种方式得到的（ii ）只有部分空间坐标能进行傅氏变换，剩余的坐标构成了约化的微分方程 组这时要设法先得到它的通解，然后利用 边条件或连接条件也可以得到(k ) 的色散关系例如上一章中，柱坐标下阿尔文波的色散关系就是 这样求得的（iii ）所得出的约化微分方程如果是奇异的，如上一章中连续谱阿尔文波所满足的方程(2)能量原理（仅对理想磁流体适用） 6.2瑞利一泰勒不 稳定性这是一种经典的流体

7、不 稳定性因为这种不稳定性是由重力 驱动的，故又称重力不 稳定性让我们来研究图 3.25 所示的一个容器该容器内盛有两种不同 质量密度的液体，上面的液体质量密度大，下面的质量密度小两种流体之 间有明显的分界线显然，质量密度梯度由下向上，受到的重力由上向下，用G 来表示液体的平衡方程是t( u) 0(1)duG(2)dt式中 u 是流体元的速度流体达到平衡 u0 现在假定在交界面上出 现了一个微 扰动，其形式为1 1 ( x )ei t , u1u1 ( x )e i t(3)这样，密度和流体速度便可写成：01 ,u u0u1 u1(4)从这里开始，参数下标为 0 表示平衡量，参数下 标为 1

8、表示扰动量将（4）式代入平衡方程（3），我们得到质量守恒方程1(0u1 )u100（5）t在整理上式 时，已考虑到流体是不可 压缩的， u10 将（3）式代人5（）式便得到1 表达式：1u10（6）i同样可以得到 扰动后的动量方程和 u1 的表达式：du11 G（7）0dtu11G（8）i 0将（6）式和（8）相结合使得到如下的方程：2G0（9）0（9）式说明，当流体的密度梯度方向跟受到的重力方向相反时就会产生不稳定性，此时20 ，这就是说重流体在上面 轻流体在下面的 这种平衡是不 稳定的只要有微扰（轻轻晃动），就会破坏原来的平衡状 态，直到达到另一种新的平衡 态为止这时重流体在下，轻流体在上

9、，正好跟原来交 换了位置，所以这种不稳定性也叫做 交换不稳定性现在我们采用类比的方法来研究 约束在磁场中的等离子体假定磁 场与等离子体之 间达到了平衡，中间有明显的分界面就是说在等离子体中没有磁 场，在磁场中没有等离子体这时，等离子体除了受到重力之外，还受到磁场的作用力，包括磁场梯度引起的力B 和磁场的弯曲引起的力 mv|2 (b)b 当然这是指 单个粒子受到的力，我们把它们当作等效重力（跟流体情况作 类比），记作Geff ，GeffBmv|2 (b) b(10)将mv2WB, (b )b2BBB以及粒子能量 WWW: 代入上式并 对整个麦克斯 韦速度分布函数 积分，我们可以得到作 为流体元的

10、等效重力：0 GeffBBP（11）BB对干各向同性等离子体， BB, P| P ，因此0 GeffB2PB因为在低情况下BRcBRc2所以Geff2PRe（12）0 Re2将（12）式代入（9）式便得到描述瑞利一泰勒不 稳定性的方程22P0（13）2 Re0Re0上式说明，当磁场曲率 Re 与等离子体密度梯度0 方向相反，即 Re0 0 ，就会产生不稳定性这种不稳定性条件也可以表示 为磁场梯度与等离子体密度梯度同向，即B0 如图 3.26（a）所示从图中可以看出，这时的0磁力线是凹向等离子体的 这种曲率被称 为 “坏曲率 ”图326（b）画出了稳定的磁场位形此时，磁场曲率 Rc 与等离子体压

11、强梯度P （或密度梯度0 ）同向磁力线凸向等离子体，这种磁场位形的曲率被称 为 “好曲率 ”在实际的磁场位形中，曲率矢量 ?往往不断改 变方向也就是说，在某个地方是 “好曲率 ”，在另一个地方则变成“坏曲率 ”如在简单 磁镜场中，在中心部位是 “坏曲率 ”，而在“咽喉 ”部位则是 “好曲率 ”因此，有必要引入“平均曲率 ”的概念定义：磁力线管的比容 U ，它是磁力线管的几何体 积 V 与管内的磁通量的比值：VSdl ，B S const ，VSdlBSdlBdlBUVdlB平均曲率的定 义为dlRcdlBdl 1 B: BR2: BB: B Bc:dl B1BB:dlB因此，平均曲率半径 为d

12、l1dl: BRc: B前面得到的 稳定条件（好曲率）是曲率与 P 同向，即 P Rc0 ，在聚变等离子体中，一般都是中心密度大，即 P : P / r0 ；因此稳定条件要求 Rc0 这就相当于要求dlU2V0: B2其中 V () 为磁面包围的体积因此，即V () 有极大值，其中必有磁场极小值，这相当于平均磁阱这说明位于磁阱的等离子体是 稳定的与之相反，位于磁山“磁山 ”的等离子体是不 稳定的， 6.2等离子体的能量原理不考虑离子和电子的效应，可将等离子体作为单流体来处理。采用理想磁流体力学方程组作为出发点tu0（1）dupJBg（2）dtdp0（3）dtJ1B（4）0BE（5）tEuB0（

13、6）其中表示比热比。设每一个变量均为平衡量和扰动量的叠加，即f f0 f1 .。为简化起见，不考虑平衡流，即 u00 。（ 如果 u 00 可以讨论 ）则将方程（ 1）（ 6）线性化之后可得关于一阶扰动量的微分方程组10 u10（7）tdu1p1 J1B0 J0 B1（ 8）0 dtp1p0u1 u1p0（9）tB1uB 0（ 10）tJ11B1（ 11）0令相对于流体元平衡位置r0 的扰动位移 rr0 为一阶小量，则有u1 r0 ,t（ 12）t将上式分别代入方程（ 7）、（9）和（ 10），对时间积分，可将扰动密度、扰动压强和扰动磁场均用扰动位移来表示10（ 13）p1p0 p0（ 14）

14、B1 B 0（ 15）将这些表达式代入方程（8），并利用方程（ 11），则可得到关于扰动位移 的二阶微分方程02F （ 16）t2F p111B0B1B1 B000p0 p01 B 0B 00B 0 B 0（ 17）显而易见， F 相当于由扰动位移所引起的作用在单位流体体积上的力。在适当的边界条件下解此方程，可以确定位形的稳定性。根据能量守恒原理，扰动位移引起的系统总能量的变化为零，即动能和势能的变化之和为零12（ 18）0drW 02将上式对时间微商可得d0:drW0（ 19）dt利用扰动方程（ 16）和函数 F 的自伴性，即F drF dr（ 20）可将方程（ 19）中的第一项写成0drF

15、 dr 1F F dr1 dF dr:2:2 dt:（ 21）则由方程（ 19）可得扰动势能的变化W1 F dr（ 22）2从直观上来说，线性系统在力 F 的方向上做位移 时，所做的功为 F / 2 。根据能量守恒原理，这个功之可能是以消耗势能为代价，因此可得方程（22）。假设等离子体边界为理想导电壁，一次在边界上垂直位移n en 0 。将式（ 17）代入方程（ 22）可得等离子体内部扰动势能变化的表达式12Wp2 V drp0 p01 B021B 0 B0（ 23）00右边被积函数中第一项总是正的，代表流体可压缩性的稳定作用；第二项在很多情况下是负的，可导致压强梯度驱动的不稳定性；第三项总是

16、正的，代表磁张力的稳定作用，因为弯曲磁感应线会导致磁能增加；第四项有时是负的，可导致电流驱动的不稳定性。如果等离子体边界为真空区，在等离子体内部，根据欧姆定律（6）的线性化形式，在固定于流体上的坐标系中必有EE1u1B00 。而电场的切向分量enE 在等离子体和真空的交界面上连续，故在等离子体之外的真空区也有enE1 u1 B 0 0（ 24）即en E1u1nB 0（25）这里 en 是垂直于等离子体边界、法向的单位矢量，u1n 是垂直速度。在真空中可将扰动磁场用矢势表示成 B1A 1 ，利用法拉第电磁感应定律（5）式，则有 E1A 1 / t ，代入方程（25）并利用 u1n1n / t

17、可得边界条件为enA 11nB 0（ 26）在真空之外的理想导电壁上，则有enA 10根据平衡方程，在跨越等离子体和真空的交界面上的总压强连续，p0r0B02 r0B0V2r02200相应地，在位移的边界上总压强也必须连续B0 r2B0V r2p0r p1B1 rB1V rr2200将方程（ 29）的各项用其在平衡位置上的值展开，且只保留一级近似，则有p B0 B1n nB0 2 r0B0V B1Vn nB0V 2 r00220000此时，这扰动势能除了方程（23）所示的Wp 外，还有等离子体表面的部分111Wa2 : dS:p0 p00B1B 00B1 B0 利用边界条件（ 25）和（ 31）可将 Wa 分成边界上的扰动势能Ws12p0B02B0V22dS nn2200表示稳定性取决于界面内外的势能差，和真空区中的扰动势能2WV1dr B0V22（ 27）（ 28）（ 29）（ 30）（ 31）（ 32）