详细青岛理工大学概率论作业册答案

1、青岛理工大学概率论习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A，B满足关系,则下列表述正确的是( ). (A) 若A发生, 则B必发生. (B) A , B同时发生. (C) 若A发生, 则B必不发生. (D) 若A不发生，则B一定不发生.解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D).(2) 设A表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件表示( ).(A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销.(C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销.解 设B表示“甲种商品畅销”，C表示“乙种商品滞销”，根据公式, 本题应

2、选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色;(2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色；(3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数；(4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) 黑球,白球； (2) 黑黑,黑白,白黑,白白； (3) 0,1,2；(4) 设在生产第10件正品前共生产了n件不合格品，则样本空间为.3. 设A, B, C是三个随机事件, 试以A, B, C的运算关系来表示下列各事件：(1) 仅有A发生；(2) A,

3、 B, C中至少有一个发生;(3) A, B, C中恰有一个发生;(4) A, B, C中最多有一个发生;(5) A, B, C都不发生;(6) A不发生, B, C中至少有一个发生. 解 (1) ; (2) ; (3) ;(4) ; (5) ; (6) .4. 事件Ai表示某射手第i次(i=1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件：(1) A1A2; (2) A1A2A3; (3); (4) A2A3; (5)； (6).解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5

4、) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A). (B).(C). (D). 解 由文氏图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A和B同时出现的概率P(AB)=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A和B互不相容. (B) AB是不可能事件. (C) AB未必是不可能事件. (D) P(A)=0或P(B)=0.解 本题答案应选(C). 2. 设P(AB)=P(), 且P(A)p，求P(B). 解 因 ,故. 于是3. 已知, 求. 解 由公式知. 于是4. 设A, B为

5、随机事件, 求.解 由公式可知,. 于是.5. 已知, , 求A, B, C全不发生的概率.解 因为,所以=0, 即有=0.由概率一般加法公式得 由对立事件的概率性质知A ,B, C全不发生的概率是.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件一等品和2件二等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( ) (A) 都不是一等品. (B) 恰有1件一等品.(C) 至少有1件一等品. (D) 至多有1件一等品.解 至多有一件一等品包括恰有一件一等品和没有一等品, 其中只含有一件一等品的概率为, 没有一等品的概率为, 将两者加起即为0.7. 答案为（D）.2. 从由45件正品、5件次品组成

6、的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) 至少有1件次品的概率; (4) 至多有1件次品的概率; (5) 至少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是;(2) 恰有2件次品的概率是; (3 )至少有1件次品的概率是1-; (4) 至多有1件次品的概率是+; (5) 至少有2件次品的概率是+.3. 袋中有9个球, 其中有4个白球和5个黑球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为白球的概率；(2) 两个球中一个是白的, 另一个是黑的概率；(3）至少有一个黑球的概率.解 从9个球中取出2个球的取法有种，两个球都是白球的取法有种，一黑

7、一白的取法有种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是白球的概率是;(2) 两球中一黑一白的概率是;(3) 至少有一个黑球的概率是1.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A, B满足P(A|B)=1, 则下列结论正确的是( )(A) A是必然事件. (B) B是必然事件.(C) . (D).解 由条件概率定义可知选(D).(2) 设A, B为两个随机事件, 且, 则下列命题正确的是( ).(A) 若, 则A, B互斥.(B) 若, 则.(C) 若, 则A, B为对立事件.(D) 若, 则B为必然事件.解 由条件概率的定义知选（B）2. 从1,2,3,4中任取一个数, 记为X, 再从1,2,X

8、中任取一个数, 记为Y,求PY=2.解 解 PY=2=PX=1PY=2|X=1+PX=2PY=2|X=2+PX=3PY=2|X=3+PX=4PY=2|X=4 =×(0+)=.3. 甲、乙、丙三人同时对某飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2, 被两人击中而被击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解 目标被击落是由于三人射击的结果, 但它显然不能看作三人射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A表示“飞机在一次三人射击中被击落”, 则表示“恰有i发击中目标”. 为互斥的完备事件组.

9、 于是没有击中目标概率为,恰有一发击中目标概率为,恰有两发击中目标概率为,恰有三发击中目标概率为.又已知 ,所以由全概率公式得到 4. 在三个箱子中, 第一箱装有4个黑球, 1个白球; 第二箱装有3个黑球, 3个白球; 第三箱装有3个黑球, 5个白球. 现任取一箱, 再从该箱中任取一球.(1) 求取出的球是白球的概率；(2) 若取出的为白球, 求该球属于第二箱的概率. 解 (1)以A表示“取得球是白球”，表示“取得球来至第i个箱子”,i=1,2,3.则P()=, i=1,2,3, .由全概率公式知P(A)=. (2) 由贝叶斯公式知 P()=5. 某厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 其产量

10、分别占全厂总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取一件进行检查. (1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的一件是次品, 问此产品来自甲、乙、丙各车间的概率分别是多少？解 设A表示“取到的是一件次品”, (i=1, 2, 3)分别表示“所取到的产品来自甲、乙、丙工厂”. 易知, 是样本空间S的一个划分, 且，,.(1) 由全概率公式可得 .(2) 由贝叶斯公式可得, , . 习题1-61. 选择题 (1) 设随机事件A与B互不相容, 且有P(A)>0, P(B)>0, 则下列关系成立的是( )

11、. (A) A, B相互独立.  (B) A, B不相互独立. (C) A, B互为对立事件.  (D) A, B不互为对立事件. 解 用反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A与B独立, 则下面的说法中错误的是( ). (A) 与独立. (B) 与独立.(C) . (D) A与B一定互斥. 解 因事件A与B独立, 故,A与及与B也相互独立. 因此本题应选(D).(3) 设事件A与 B相互独立, 且0<P(B)<1, 则下列说法错误的是( ). (A) . (B) .(C) A与B一定互斥. (D) .解 因事件A与B独

12、立, 故也相互独立, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及一般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从而本题应选(C).2. 设三事件A , B和C两两独立, 满足条件：, 且,求.解 根据一般加法公式有.由题设可知 A, B和C 两两相互独立, , 因此有 从而,于是或, 再根据题设, 故.3. 甲、乙两人各自向同一目标射击, 已知甲命中目标的概率为 0.7, 乙命中目标的概率为0.8. 求：(1) 甲、乙两人同时命中目标的概率；(2) 恰有一人命中目标的概率；(3) 目标被命中的概率. 解 甲、乙两人各自向同一目标射击应看作相互独立事件. 于是(1) (2) (3) 总 习 题 一1

13、. 选择题：设是三个相互独立的随机事件, 且, 则在下列给定的四对事件中不相互独立的是( ).(A)与C. (B)与. (C) 与C. (D) 与.解 由于A, B, C是三个相互独立的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另一个事件或其逆是相互独立的, 根据这一性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独立的, 因而均为干扰项, 只有选项(B)正确.2. 一批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第一次取出后不再放回.求: (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率; (2) 抽得一件为正品, 一件为次品的概率.解 (1) 第一次抽得正品且第二次抽得次品

14、的概率为. (1) 抽得一件为正品，一件为次品的概率为3. 设有一箱同类型的产品是由三家工厂生产的. 已知其中有的产品是第一家工厂生产的, 其它二厂各生产. 又知第一、第二家工厂生产的产品中有2%是次品, 第三家工厂生产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取一件产品, 求取到的是次品的概率. 解 从此箱中任取一件产品, 必然是这三个厂中某一家工厂的产品. 设A=取到的产品是次品, Bi=取到的产品属于第i家工厂生产, i=1, 2, 3. 由于BiBj=(ij, i, j=1, 2, 3)且B1B2B3=S, 所以B1, B2, B3是S的一个划分.又 P(B1)=, P(B2) =, P(B

15、3)=,P(A| B1)=, P(A| B2)=, P(A| B3)=,由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A| B3) =0.025.4. 某厂自动生产设备在生产前须进行调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功, 则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某日调整后试生产, 发现第一个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解 设A=设备调整成功, B=产品合格. 则全概率公式得到.由贝叶斯公式可得.5. 将两份信息分别编码为A和B传递出去. 接收站收到时, A被误收作B的概率为0.02, 而B被误收作A的概率为0

16、.01, 信息A与信息B传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A, 问原发信息是A的概率是多少？解 以D表示事件“将信息A传递出去”，以表示事件“将信息B传递出去”，以R表示事件“接收到信息A”,以表示事件“接收到信息B”.已知.由贝叶斯公式知.习题2-21. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0<p<1). 定义随机变量写出随机变量X的分布律.解 PX=1=p, PX=0=1-p.或者X0 1 P1-p p 2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值, 且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c, 并计算条件概率.解 由离散型随机变量的分布律的性质知，所以.所

17、求概率为 PX<1| X =.3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若, 求.解 注意px=k=,由题设故. 从而4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都没有成功的概率是. 即, 故 =.5. 若X服从参数为的泊松分布, 且, 求参数. 解 由泊松分布的分布律可知.习题2-31. 设X的分布律为X-1 0 1P0.15 0.20 0.65求分布函数F(x), 并计算概率PX<0, PX<

18、;2, P-2X<1.解 (1) F(x)= (2) PX<0=PX=-1=0.15; (3) PX<2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; (4) P-2x<1=PX=-1+PX =0=0.35.2. 设随机变量X的分布函数为F(x) = A+Barctanx -<x<+.试求: (1) 常数A与B; (2)  X落在(-1, 1内的概率.解 (1) 由于F(-) = 0, F(+) = 1, 可知于是 (2)     3. 设随机变量X的分布函数为F(x)=求PX-1, P0.3 <X<0

19、.7, P0<X2.解 PX, P0.3<X<0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2, P0<X2=F(2)-F(0)=1.5. 假设随机变量X的绝对值不大于1; ; 在事件出现的条件下, X在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比. (1) 求的分布函数x; (2) 求X取负值的概率p.解 (1) 由条件可知, 当时, ;当时, ;当时, F(1)=PX1=P(S)=1.所以 易见, 在X的值属于的条件下, 事件的条件概率为,取x=1得到 1=k(1+1), 所以k=. 因此 .于是, 对于, 有   

20、                       对于1, 有 从而(2) X取负值的概率习题2-41. 选择题(1) 设 如果c=( ), 则是某一随机变量的概率密度函数. (A) . (B) . (C) 1. (D) .解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题应选(C ).(2) 设又常数c满足, 则c等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) . (D)

21、-1.解 因为, 所以,即, 从而,即, 得c=0. 因此本题应选(B). (3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) (B) (C) (D) 解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D). (4) 设随机变量, , , 则( ).(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有.因此本题应选(A). (5) 设随机变量X的概率密度为, 且, 又F(x)为分布函数, 则对任意实数, 有( ).(A) . (B) . (C) .   (D) .解 由分布函数的几何意

22、义及概率密度的性质知答案为(B).(6) 设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且 则下式中成立的是( ).(A) 1 < 2. (B) 1 > 2. (C) 1 <2. (D) 1 >2. 解 对12时, 答案是(A).(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数, 数满足, 若, 则等于( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使成立, 应当怎样选择数k?解 因为随机变量X服从参数为的指数分布, 其分布函数为由题意可知.于是 .3. 设连续型随机变量X的分布函数为求: (

23、1) X的概率密度; (2).解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,可得 (2) .4. 设连续型随机变量X具有概率密度函数求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).解 (1) 由概率密度的性质可得,于是 ；(2) 由公式可得当x0时, ;当1时, ;当2时, ;当x>2时, .所以 7. 设随机变量X的概率密度为对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式,可得.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.解 随机变量X的概率密度为若方程有实根, 则 0, 于是2. 故方程有实根的概率

24、为P2=.9. 设随机变量. (1) 计算, , , ； (2) 确定c使得(3) 设d满足, 问d至多为多少？解 (1) 由Pa<xb=P公式, 得到P2<X5=,P-4<X10=,=+=1+=0.6977,=1=0.5 .(2) 若,得1,所以由=0推得于是c=3.(3) 即1, 也就是,因分布函数是一个不减函数, 故解得 .10. 设随机变量, 若, 求.解 因为所以. 由条件可知,于是, 从而.所以 .习题2-51. 选择题(1) 设X的分布函数为F(x), 则的分布函数为( ).(A) . (B) . (C) . (D) .解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(

25、A).(2) 设令, 则( ).(A). (B). (C). (D).解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z所服从的分布及概率密度.解 若随机变量, 则X的线性函数也服从正态分布, 即 这里, 所以Z. 概率密度为.3. 已知随机变量X的分布律为X-10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y2X的分布律；(2) 求Y3X2分布律.解 (1)2X-5-1123P0.250.130.20.050.37(2) 3X2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X的概率密度为且Y2X, 试求Y的概率密度.解 先求Y的分布函数:= 

26、  =1-.于是可得Y的概率密度为 =即 5. 设随机变量X服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.解 由题意可知随机变量X的概率密度为因为对于0<y<4, X.于是随机变量的概率密度函数为即 总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.(1) 恰好有3件次品的概率是PX=3=.(2) 至多有3件次品的概率是.2. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1. 问

27、在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X表示同一时刻被使用的设备的个数，则XB(5,0.1),PX=k=,k=0,1,5.(1) 所求的概率是PX=2=;(2) 所求的概率是PX1=1;(3) 所求的概率是 PX3=1-PX=4-PX=5=0.99954;(4) 所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.3. 某产品的某一质量指标, 若要求X0.8, 问允许最大是多少?解 由X =0.8, 得到0.9, 查表得1.29

28、, 由此可得允许最大值为31.20.习题3-11. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为X1-101PX201P而且. 求X1和X2的联合分布律. 解 由知. 因此X1和X2的联合分布必形如 X2X101pi·-1P1100P21P221P310p·j1于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律 X2X101pi·-100010p·j1(2) 注意到, 而, 所以X1和X2不独立.2. 设随机变量(X,Y)的概率密度为求: (1) 常数; (2) ; (3) ; (4) .解 (1) 由, 得,所以 .(2) .(3)  

29、; .(4) 作直线, 并记此直线下方区域与的矩形区域的交集为. 即.见图3-8. 因此                                      .图3-8 第4题积分区域3. 二维随机变量的概率密度为试确定,

30、并求.解 由,解得.因而 .4. 设二维随机变量(X, Y)概率密度为求关于X和Y边缘概率密度. 解 的概率密度在区域,外取零值.因而, 有5. 假设随机变量在区间-2, 2上服从均匀分布, 随机变量 试求：(1) X和Y的联合概率分布；(2).解 (1) 见本章第三节三(4).(2).习题3-21. 设(X, Y)的分布律为YX123410.100.1020.300.10.2300.200求: (1) 在条件X=2下Y的条件分布律; (2) .解 (1) 由于,所以在条件X=2下Y的条件分布律为,或写成1234(2) 注意到.而 .因此.2. 设二维随机变量(X, Y)的

31、概率密度为求：(1) (X, Y)的边缘概率密度；(2)解 (1) 当时,;当x0时或x1时, . 故 当0<y<2时,; 当时或时, . 故 (2) 当z0时,; 当z2时,;当0<z<2时, .故 (3) .3. 设是由直线y=x, y=3,x=1所围成的三角形区域, 二维随机变量在上服从二维均匀分布.求: (1) (X, Y)的联合概率密度；(2) ；(3) 关于X的边缘概率密度.解 (1)由于三角形区域的面积等于2, 所以的概率密度为(2)记区域与的交集为,则.其中为G0的面积.(3) X的边缘概率密度. 所以,当时, .当或时, . 因此 习题3-31. 设X

32、与Y相互独立, 且分布律分别为下表: X-10PY0256P求二维随机变量的分布律.解 由于X与Y相互独立, 所以有,.因此可得二维随机变量的联合分布律XY2. 设(X, Y)的分布律如下表: XY12123问为何值时与相互独立?解 首先, 由分布律求得边缘分布律 YX12p.j12+3+pi.+1由于边缘分布满足, 又X, Y相互独立的等价条件为pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3).故可得方程组 解得,. 经检验, 当,时, 对于所有的i=1,2; j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立. 因此当,时, X与Y相互独立.3. 设随机变量X与Y的概率密度为(1)

33、试确定常数b.(2) 求边缘概率密度, .(3) 问X与Y是否相互独立？解 (1) 由,得 .(2)  (3) 由于，所以X与Y相互独立.4. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, X在(0, 1)上服从均匀分布, Y的概率密度为(1) 求X和Y的联合概率密度.(2) 设关于a的二次方程为, 试求a有实根的概率.解 (1) 由题设知X和Y的概率密度分别为 因X和Y相互独立, 故(X, Y)的联合概率密度为(2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即Y.因此事件方程有实根.下面计算(参见图3-3).   .图3-3 第6题积分区域习题3-41. 设二维随机变量(X,Y)

34、的概率分布为 YX0100.4a1b0.1若随机事件X=0与X+Y=1相互独立, 求常数a, b.解 首先, 由题设知. 由此得. 此外,  .根据题意有,即. 解得.2. 设两个相互独立的随机变量X,Y的分布律分别为X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求随机变量Z = X + Y的分布律.解 随机变量Z = X + Y的可能取值为.的分布律为,或写为Z357PZ0.180.540.283. 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 且X服从正态分布N(, 2), Y服从均匀分布U(-a, a)( a>0), 试求随机变量和Z=X+Y的概率密度.解 已知X和Y的概率密度分别为, ; .由于X和Y相互独立, 所以=.4. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x,y)|1x3, 1y3上的均匀分布, 试求随机变量U=|X-Y|的概率密度f(u).解 由题设知, X和Y的联合概率密度为记为U的分布函数, 参见图3-7, 则有当u0时,u=0; 当u2时,; 当0< u<2时, 图3-7 第8题积分区域.故随机变量的概率密度为.总习题三1. 设随机变量(X, Y)的概率密度为求条件概率密度.解 首先 图3-9第1题积分区域当时, 当时, 当时, 2. 设随机变量X与Y相互独立, 下表列出二维随机变量的分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中部分数