青岛科技大学

1、青岛科技大学 1 1使学生初步掌握数列极限这一重要概念使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延；的内涵与外延；2 2使学生学会用定义证明极限的基本方法使学生学会用定义证明极限的基本方法3 3通过知识学习，加深对数学的抽象性特通过知识学习，加深对数学的抽象性特 点的认识；体验数学概念形成的抽象化思点的认识；体验数学概念形成的抽象化思 维方法；体验数学维方法；体验数学“符号化符号化”的意义及的意义及“数数 形结合形结合”方法；方法；4 4了解我国古代数学家关于极限思想的论了解我国古代数学家关于极限思想的论 述，增强爱国主义观念。述，增强爱国主义观念。第二章第二章 极限与连续极限与连续教学目

2、标：教学目标：青岛科技大学v1. 1. 数列极限和无穷大数列极限和无穷大v2. 2. 函数的极限函数的极限v3. 3. 连续函数连续函数 v4. 4. 无穷小量和无穷大量的阶无穷小量和无穷大量的阶主要内容1. 1. 数列的极限和无穷大量数列的极限和无穷大量一、数列极限的定义一、数列极限的定义二、数列极限的性质二、数列极限的性质三、数列极限的运算三、数列极限的运算四、单调有界数列四、单调有界数列五、无穷大量的定义五、无穷大量的定义六、无穷大量的性质和运算六、无穷大量的性质和运算青岛科技大学青岛科技大学我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一

3、时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数yf（x）所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学是钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。 数列极限的概念引入数列极限的概念引入 课题引入 1预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 青岛科技大学2数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的庄子。天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭

4、。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一 列 ,如图所示其长度组成的数列为 n21, n=10; x=0:n; y=1./2.x; x1=0:n; y1=1./2.x; line(x1;x1,0*x1;y1,linewidth,5) axis(-1,n+1,0,1.1) 青岛科技大学024681000.20.40.60.81分析： 1、n21随 n 增大而 减 小，且无限接近于常数 0； 2数 轴上描点，将其形象 表示： 1 0 1/2 1/4 -1 青岛科技大学EBanan+1AD例例 三国时期，我国科学家 刘徽就提出了“割圆求

5、周”的思想: 用直径为1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去， 就得到一个（内接多边形的周长组成的）数列. 青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：播放播放刘徽刘徽青岛科技大学割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽青岛科技大学割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少

6、，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割

7、圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，

8、以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽青岛科技大学1 1、 数列与数列极限定义：数列与数列极限定义：按自然数按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数例如：例如：，称为数列的，其中称为通通项项数数列列nnxxxx,21.nx记作记作:1n,1,31,21, 1n3,63,52,41 nn, 9 , 4 , 12n1, 1, 1, 1 :3 nn:2n:)1(n 定义定义1 1数列：数列：一、数列极限的定义一、数列极限的定义青岛科技大学序关系；所以重复出现的数看成是同一个元素，而在序关系；所以重复出现的数看成是同一

9、个元素，而在注意：注意： 数列与数集的区别：在数集中元素之间没有次数列与数集的区别：在数集中元素之间没有次数列是自变量为正整数的函数数列是自变量为正整数的函数数列中数列中,每一个数都有确定的编号每一个数都有确定的编号,前后次序不能颠倒前后次序不能颠倒.)(nfxn 数列极限：数列极限：:,)1(11的变化趋势当时观察数列nnn问题：问题：当当n无限增大时，无限增大时， 是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定nx的数值？如果是，如何确定？的数值？如果是，如何确定？如如n)1(青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当数列数列 nnn播放播放请观察请观察青岛科技大学.)1(11时的

10、变化趋势时的变化趋势当当数列数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当数列数列 nnn青岛科技大学.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势

11、时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn青岛科技大学 通过上面演示实验的观察：通过上面演示实验的观察：. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味

12、着什么? ?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它. . 1nxnnn11)1(1 ,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000 时时只只要要 n,100011 nx有有,1001给定给定青岛科技大学定量分析定量分析： 无限趋近于无限趋近于1是指：是指：当当 n 充分大时充分大时, 能任意小，并保持任意小。能任意小，并保持任意小。1)1(11 nn nn1)1(1例如：例如：,101对对.10 n只只须须,1011)1(11 nn要要使使即即 自然数自然数10，当，

13、当n10时，有时，有.1011)1(11 nn ,10001对对.1000 n只只须须,100011)1(11 nn要要使使,10000001对对.1000000 n只只须须,100000011)1(11 nn要要使使 青岛科技大学由不等式有由不等式有 ，故只须，故只须 即可。即可。 以上还不能说明以上还不能说明 任意小，并保持任意小，毕任意小，并保持任意小，毕竟它们都还是确定的数。竟它们都还是确定的数。1)1(11 nn,0 对对.1)1(11才才行行要要使使 nn n1 1 n 自然数自然数 ，当，当 时，便有时，便有 , 0 即即对对1 1 n.1)1(11 nn定义：定义：则称数则称数

14、1是是 的极限。的极限。有有时时当当总总若若对对，Nn，N 1, 0 .1)1(11 nn nn1)1(1青岛科技大学例如：例如：,)1(,51,41,31,21, 1:)1(nnnn ,25,16,9,4,1:22nn,) 1(1 ,511 ,411 ,311 ,211 , 2:) 1(111nnnn ,0,2,0,2:)1(11n01摆动！摆动！无限增大无限增大!青岛科技大学, 0N总存在自然数总存在自然数如果对于给定的如果对于给定的 定义定义2 2axn于于则称数列则称数列收敛收敛. )(lim naxaxnnn或或记为记为时，时，使得当使得当Nn , axn成立成立，的是数列或)(极极

15、限限nxa如果不存在实数如果不存在实数a,.,发散发散nnxax则称数列则称数列收敛于收敛于使使注意：注意：;的的无无限限接接近近与与刻刻划划了了1 1. .不不等等式式axaxnn有有关关. .与与任任意意给给定定的的正正数数2 2. .N.，不不影影响响数数列列的的收收敛敛性性改改变变数数列列前前面面的的有有限限项项3 3青岛科技大学 axnnlim:定义定义N ., 0 axNnNn恒有恒有时时使使., 0,0000axNnNRaxnn有有对对对对发发散散青岛科技大学x1x2x2 Nx1 Nx3x数列极限的几何解释数列极限的几何解释: a aa.)(;, ),(),(,21落在其外落在其

16、外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个全位于这个邻域内全位于这个邻域内项以后的所有项项以后的所有项第第总存在项总存在项邻域邻域对任意给定的对任意给定的NxxN，xaaaONNN . axa，axnn得得由由定定义义3 Nx青岛科技大学（2）N的存在性与非唯一性，且的存在性与非唯一性，且N仅与仅与 有关而有关而 与与n无关。无关。（1）正数）正数 的任意性和相对固定性。的任意性和相对固定性。 是是无无穷穷小小量量有有时时使使对对是是无无穷穷小小量量0)(limlim., 0axaxaxxNnNxnnnnnnn 关于数列极限定义的几点理解关于数列极限定义的几点理解 （3）当）当 时，即以零为极

17、限的数列时，即以零为极限的数列称为无穷小量。称为无穷小量。0 a无穷小量不是很小的量。无穷小量不是很小的量。青岛科技大学.,)(,2 , 0)4(2起着同样的作用起着同样的作用但在本质上都与但在本质上都与形式上有差异形式上有差异在在虽与虽与等等正常数正常数对对 ，MM ., 0lim MaxNnNaxnnn 有有时时当当的比较的比较与与axaxnnnn limlim)5(., 0lim axNnNaxnnn有有时时当当., 0lim0000axNnNaxnnn有有某某个个对对某某个个青岛科技大学. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 ,1 n只要只要,

18、1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例1 1 要使要使,1 nx青岛科技大学例例2 2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,0成成立立 , 0 任任给给所以所以,有有对对于于一一切切自自然然数数,n.limCxnn 小结小结: :用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给定关键是任意给定, 0 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N.青岛科技大学例例3).1( ,0lim qqnn证证明明证证:, 0 对对, nq由由,lnln qn即即.lnlnqN 取取,

19、 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 方法：方法：直接解不等式直接解不等式 ，求，求N. axn.为为无无穷穷小小量量即即nq数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.注意：注意：(不妨设不妨设 )q 青岛科技大学,0 nnqx,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 10 q若若,lnlnqn 极限为极限为0的数列称为的数列称为无穷小量无穷小量 .定义定义3 3.lim是无穷小量是无穷小量axaxnnn ,lnln qn例如例如： .1是无穷小量是无穷小量时，时，nnqq 青岛科技大学例例

20、4.318232lim22 nnnnn证明证明证：证：. 0145 , 0823, 42 nnnn有有先先限限定定!)823(3145318232:222相相当当困困难难直直接接解解分分析析 nnnnnnn)823(3145318232, 0222 nnnnnnn由由对对 ,32962 nnn.32 , 4max.32 Nn取取得得青岛科技大学证明：分三种情况证明证明：分三种情况证明.由由对对则则时时当当,0.1,1)1( naa 111nnaaor,11 na),1ln(ln1 an即即.)1ln(ln an解解得得.)1ln(ln aN取取法一法一例例5 5 .1lim,0nxaa证明设青

21、岛科技大学（法二）（法二）则则令令),0(1 nnna证明：证明： 应用二项式公式应用二项式公式 ), 2 , 1(0,1 nyyannn令令nnnnnnnnyyynnnyya12)1(1)1(2,1,11, 0 annayann.11,1 naaNnnaNn有有时时当当取取青岛科技大学有有令令时时）当当（, 11,102 baa）得得证证。由由（已已知知1, 1 nb. 11111 nnnnnbbbba故故对对时时）当当（, 1,13 nana1lim nna.1）（ a有一般地，cxn.limcxnn青岛科技大学证证令令), 2 , 1(0,1nyynnnn应用二项式定理应用二项式定理22

22、2)1(12)1(1)1(nnnnnnnynnyynnnyyn即得到即得到nynnn21 nnn21例例6求证：求证：1limnnn，解得，解得由由 nhnnn21, 0.2, 2max.222 Nn取取青岛科技大学例例7 7 证：证： ,)72(22721721, 022nnnnnn nnnnnnn428)72(227,62时时当当.42172122 nnnn时，有时，有当当Nn .21721lim22 nnnn,4, 6max N取取青岛科技大学例例8, 0lim, 0 axxnnn且且设设证：证： .limaxnn 求证求证,1 axNnNn恒有恒有时时使得当使得当, 0 任给任给,li

23、maxnn axaxaxnnn 从而有从而有aaxn a1 .limaxnn 故故数列数列 , 9 , 4 , 1:22nn与数列与数列, 1 , 1, 1 , 1:)1(n是发散数列，是发散数列，事实上事实上，随着增加，随着增加，2nxn无限增大无限增大而而nnx)1(不断在与两个数值上跳跃，不断在与两个数值上跳跃，青岛科技大学1.lim,lim,nnnnxaybabN定理若且则，.,nnyxNn 有有时时当当当当，则则由由证证明明：取取定定正正数数,21Naxban 当当由由时时，有有,21,;232NbybaxbaNnnn .223bayabNnn 时时，有有.,max21得证得证时时取

24、取NNN()23ab2ba2babax2ba23ba( )二、数列极限的性质二、数列极限的性质1. 1. 保序性：保序性：青岛科技大学1.lim,lim,nnnnxaybN推论若且，当.,bayxNnnn ，则则有有时时bxNnNaxnnn有时，当且特别,lim,).(.，取则nbyban矛盾！由设证明：反证法nnyxThba1,如，可能有中在注.,1:bayxCorollarrynn)(nnnnn与，与青岛科技大学.lim,(),nnxaababN推论2若且或则，当.,）（或（或有有时时bxbxNnnn .lim), 2 , 1(,1:bynbyThnnn有取中在证明).(类证类证ba ),

25、0(0lim0,aaxbnn或或时时，即即若若当当特特别别地地.).0(0,称称为为极极限限保保号号性性或或有有充充分分大大时时则则当当nnxxn.,:nNnNn时的一切当充分大的注青岛科技大学定理2. 收敛数列的极限必是唯一的。收敛数列的极限必是唯一的。 .,baxn 妨设妨设有两个相异的极限，不有两个相异的极限，不设设证明：反证法证明：反证法nTharbrba，当，当之推论之推论则由则由即即之间一数之间一数令任取令任取21, 矛盾！矛盾！及及同时有同时有充分大时充分大时.,rxrxnn 时，有时，有当当则则与与另证：设另证：设NnNbxaxnn , 0,.2 baaabann.2ba 的的

26、任任意意性性，有有由由2. 2. 唯一性唯一性青岛科技大学3.3.极限的夹逼性：极限的夹逼性：定理定理2.2.4从从某某项项开开始始若若三三个个数数列列,nnnzyx,limlim,0azxnnzyxnnnnnnn且且成立成立.limaynn 则则证证：可知可知由由axnn lim, 0 .,:,11nnxaaxNnN 从而从而可知可知由由aznn lim.,:,22 azazNnNnn从而从而:,max210NnNNnN取取青岛科技大学., ayazyxannnn即即.limaynn 所以，所以，),(,:ayzzyaNnNCorollarynnnn 或或时，有时，有当当若若.lim,lim

27、ayaznnnn 则则且且 而且可用极限存在的一种方法，不仅是判断注nyTh3:此方法求极限。且时，有当若,. 3nnnzyxNnNTh.lim,limlimayazxnnnnnn则则即：青岛科技大学例例9.1的极限的极限求数列求数列nn解：解：nnnnnnnn 1)1)(1(1.111nnn nnynzxnnn 1,1, 0取取nnnzyx 则有则有01lim,01limnnnn.0limlim nnnnzx即即.0)1(lim nnn由极限的夹逼性由极限的夹逼性青岛科技大学, ),max(lim.10212121aaaaaaaaAknnknnn设例个个正正数数。是是 kak且且证明：证明：

28、,1nnnnnknnnkAkAaaAA ).( 1 nkn).10(0) 1(lim.11nnn例 1)11 (1)11 () 1(0nnnnnn证证明明：.01lim,111 nnn且且青岛科技大学. 2) 1(12111(lim.12222nnnn例, 2112) 1(12112222nnxnnnnn解：解：.12项项）共共有有（nxn青岛科技大学 定理4 当，则据定义，取证明：设,1.lim0Naxnn.2, 111得证得证由注由注，即，即时，有时，有axaaxNnnn）得得证证注注由由注注或或.3, 2, 11(axaxaxnnn1,max21axxxMN令令反反之之有有界界数数列列不

29、不表表明明收收敛敛数数列列必必有有界界，注注：4Th.2011.1）是是发发散散的的（如如一一定定收收敛敛nnx 收敛数列必有界收敛数列必有界. .4.4.有界性有界性青岛科技大学有界数列有界数列，否则，称之为否则，称之为无界数列无界数列. . 有界数列定义有界数列定义, 3 , 2 , 1RmxMnn若若的上的上是数列是数列则称则称界界一一个个数数列列则称之为则称之为. .3 , 2 , 1, 0 nXxXxnn使使有界有界显然，显然，MxRMxnn使使若若对数列对数列,既有上界又有下界，既有上界又有下界，nx , 2 , 1的下界的下界是数列是数列则称则称使使nnxmnmx注：Def:De

30、f: 有有对对设设数数为为有有界界数数列列称称nBABAxn ),(,.,.上上界界分分别别为为其其下下界界BABxAn青岛科技大学BBBB, 2, 1,. 1如如上上界界上上、下下界界不不是是唯唯一一的的。注注).0(, 1,);0( AAA下下界界 有界性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件. .推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .例如，例如，n)1(有界，但发散有界，但发散青岛科技大学 ), 3 , 2 , 1(.0. 3nMxtsMxnn是有界数列是有界数列注注), 0(MO邻域邻域 0, 0nMxn 无界无界ts.0Mxn )., 0(MOxnn 有有ts. 则

31、称则称时，有时，有当当若若对于数列对于数列注注,. 2BxANnNxnn 项之前只有有项之前只有有有界，故在有界，故在往后有界。往后有界必往后有界。往后有界必Nxn设设限限,21Nxxx,max,min11NNxxxx , 3 , 2 , 1),max(),min(nBxAn则则青岛科技大学 且且有有也也收收敛敛则则都都收收敛敛若若,. 1nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx ）（.代代数数和和仍仍是是无无穷穷小小量量特特别别，两两个个无无穷穷小小量量的的 且且有有也也收收敛敛则则都都收收敛敛若若,.2nnnnyxyx.limlimlimnnnnnnnyxyx .,lim

32、limconstcxccxnnnn 特特别别，与与积积仍仍是是无无穷穷小小量量。两两个个无无穷穷小小量量的的代代数数和和三、数列极限的运算三、数列极限的运算青岛科技大学证：证：XxXaxnnn 使得使得可知可知由由, 0,lim,:, 01 axNnNn且且.:,lim22 byNnNbynnn可知可知再由再由:,max21NnNNN取取byaxbayxnnnn )()(.)( .)()()( bXaxbbyxabyxnnnnn abyxbyaxnnnnnnnlim,lim,lim则若青岛科技大学 .,. 3是无穷小量是无穷小量为无穷小量，则为无穷小量，则有界有界若若nnnnyxyx 也收敛，

33、且也收敛，且则则都收敛，且都收敛，且若若nnnnnnyxyyx, 0lim,. 4.limlimlimnnnnnnnyxyx.lim11lim1:nnnnnyyy收敛且有收敛且有先证先证证明证明时时，有有当当对对设设11, 0. 0limNnNbynn .2,2.220bbyNnNbbynn 时，有时，有当当又取又取青岛科技大学时，有时，有当当由由2,Nnbybbbyynnn .212bybbynn或时，有时，有则当则当取取NnNNN ),max(21.2112bybbybynnn .lim111limnnnnyby 故故.1limlim1limlim2得证得证，有，有于是，据于是，据nnnn

34、nnnnnnyxyxyx 青岛科技大学收收敛敛。都都发发散散，但但它它们们的的和和与与 nnnnn2) 1(1) 1(1注注1. 两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要两数列收敛仅是极限运算成立的充分条件，而非必要条件。例如：条件。例如： 收收）（都都发发散散，但但它它们们的的积积与与nnn211) 1(1) 1(1 收收敛敛。敛敛于于零零，它它们们的的和和2 都都收收敛敛或或都都发发散散。收收敛敛nnnnyxyx, 不不一一定定。与与收收敛敛，则则结结论论如如何何？,1nnyxnn青岛科技大学v注注2. 极限运算可推广到有限多个数列的情形，但对无穷极限运算可推广到有限多个数列的情形，

35、但对无穷多个却不成立。多个却不成立。, 01limnn例例：.01lim1lim1lim111limnnnnnnnnnnn 个个.)11lim1lim(nnnn0lim knnp., ）自自然然数数（kp 青岛科技大学例例13nnnnn3253)2(5lim1 求极限求极限解：解：.355323525lim3253)2(5lim1 nnnnnnnn青岛科技大学是正整数，这里求例lkbnbnbananalllkkkn,lim.14110110.0, 0,00banbaii无无关关的的数数且且都都是是与与llkklknnbnbbnanaan 1010lim解：原式解：原式 .,000时时时时，lk

36、balk. 04265lim,21827154lim42322nnnnnnnnnnn如如：青岛科技大学)121sin1(lim.1522nnnnn例 )(0sin1sin1nnnnn有有界界是是无无穷穷小小量量，.21210青岛科技大学)1(limlim.16nnnxnnn求例.11111 nnnnxn解解：111111 nn而而).( n于于是是）（故故.111 nn.211111limlim nxnnn青岛科技大学例例17).12111(lim222nnnnn 求求解解,11112222 nnnnnnnn由极限的夹逼性由极限的夹逼性111lim7 . 2 . 21)11(limnnnn及例

37、及例由由1111limlim2 nnnnnn知知11lim2 nnn同理同理. 1)12111(lim222 nnnnn青岛科技大学注：注： 数列的情况，而不能随意推广到无限个数列上去数列的情况，而不能随意推广到无限个数列上去.)12111(lim222nnnnn 例如例如. 01lim21lim11lim222 nnnnnnn数列极限的四则运算法则只能推广到数列极限的四则运算法则只能推广到有限有限个个青岛科技大学例例1818 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则 .nnnnn222121122nn且nn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22

38、212111由青岛科技大学四、四、 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限 ( 准则2 )121nnxxxxMmxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 证明略 )ab青岛科技大学DefDef : 的的是是单单调调增增加加（或或减减少少）称称nx.121 nnxxxx.121）（或（或 nnxxxx若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的。若等号都不成立，则称它是严格单调增加（或减少）的。 n1例例如如：注青岛科技大学例例19 设, ),2, 1()1 (1nxnnn证明数列nx极限存在 . 证证: 利用二项式公式 ,

39、有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n青岛科技大学11nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又比较可知青岛科技大学根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e ,ennn)1 (lim1

40、e 为无理数 , 其值为590457182818284. 2e即有极限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n青岛科技大学,.2021aaaayaayayn例收收敛敛并并求求其其极极限限。证证明明nya).0( .) 1 (是单调增加的证明：ny . 121.(2)nnnnnyayyayy有由有界. 12 nnnnyayyay即即有有，于是，于是则则又对又对nayaaynnn ,. 1 ayan!之之归归纳纳法法证证可可用用数数学学 .收敛故ny12lim) 3(nnnnyayly，则则由由设设)0.(2141,2lallal得得两两边边

41、取取极极限限，有有青岛科技大学五、五、 无穷大量的定义：无穷大量的定义：n nlim x= nnxlim.:, 0GxNnNGn 若对于任意给定的若对于任意给定的G 0，可以找到自然可以找到自然G, nx数数N, ,使得当使得当nN时，成立时，成立n则称数列则称数列x 是是无穷大量无穷大量，记为，记为 无穷大量无穷大量 从某一项开始都是正的（或负的从某一项开始都是正的（或负的),),则称其为正无穷大量（或负无穷大量），统称为则称其为正无穷大量（或负无穷大量），统称为定号定号无穷大量无穷大量，分别记为，分别记为nx定义定义 )lim( nnx或或 nnxlim青岛科技大学事事。，与与很很大大的的

42、量量不不是是一一回回）无无穷穷大大量量是是一一个个变变量量（2：）无无穷穷大大量量的的几几何何解解释释（3Gxn 由由定定义义，Gxn 得得.Gxn or ，与与上上一一节节中中的的的的极极限限是是，）注注意意记记号号（nnnxxlim1极限含义的差别。注注 在在及及个个开开区区间间即即：对对于于任任意意给给定定的的两两),(,(GG 全全位位项项以以后后的的一一切切项项第第一一项项中中总总,21 NNnnxxNxx).3(Fig于于这这两两个个开开区区间间内内).O-GGx1Nx2Nx青岛科技大学不不唯唯一一，对对固固定定性性。既既具具有有任任意意性性，又又有有相相正正数数NG)4(无无关关

43、。有有关关而而与与仅仅与与且且nGN无穷大量包含)5( 当是无穷大量，且正无穷大量：,lim)(Nxxinnn. 0 nxNn时时，有有., 0GxNnNGn 时时，有有当当有时当负无穷大量：, 0lim)(NnNGxiinn.Gxn青岛科技大学 .1.21为无穷大量证例qqn,lnln, 0GqnGqGn ，即即由由证证明明：.lnln.lnln qGNqGqGn取取）（不不妨妨设设得得) 1.(lim qqnn故故. 1NGxn，求求直直接接解解不不等等式式方方法法 青岛科技大学.445152lim.2223nnnnn证例由由，证证明明：先先限限定定, 0100 Gn,6644515223

44、23Gnnnnnnn ).6,100max(.6GNGn 取取得得适适当当缩缩小小：不不易易求求解解，可可先先将将若若方方法法nnxGx. 2要要求求适适当当缩缩小小的的求求再再由由.,NGxnnn 必必须须仍仍是是无无穷穷大大量量。n青岛科技大学关关系系无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小量量的的. 1 .1为为无无穷穷小小量量为为无无穷穷大大量量 nnxx ), 2 , 1(0nxxnn为为无无穷穷小小量量，且且反反之之，.1为为无无穷穷大大量量 nx定理定理六、无穷大量的性质和运算六、无穷大量的性质和运算青岛科技大学无无穷穷大大量量的的运运算算法法则则. 2 也也量量都都是是正正（或或负负）

45、无无穷穷大大和和nnnnyxyx) 1 (.是是正正（或或负负）无无穷穷大大量量与与差差的的极极限限如如何何？注注：两两个个无无穷穷大大量量的的和和大大量量，大大量量之之和和可可能能不不是是无无穷穷任任何何两两个个非非同同号号的的无无穷穷 .大大量量，但但它它们们的的差差必必是是无无穷穷和和如如nn. 0111nnnn青岛科技大学 是无穷大量。是有界的是无穷大量nnnnyxyx,)2(., 0GxNnNGn 时时，有有当当证证明明：,., 0时时于于是是当当，有有对对又又NnMynMn . ）（不不妨妨设设有有MGMGyxyxnnnn .1sinlim23nnnn如如：.limarctgnnn

46、 NnNyxnn当当具具有有如如下下特特性性是是无无穷穷大大量量，,:)3( .0是是无无穷穷大大量量时时，有有nnnyxy 青岛科技大学 0lim,lim:ayxCorollarynnnn.lim nnnyx时时，有有，当当故故由由证证明明11,lim, 0:NnNxGnn 知知又又由由, 0lim. ayGxnnn. 02lim aaynn）知知：之之）（据据极极限限的的保保号号性性（推推广广21CorollaryTh),max(. 02,2122NNNayNnNn 取取有有时时当当.2GayxyxNnnnnn 时时，有有则则当当青岛科技大学极极限限量量的的和和、差差、积积、商商的的注注：

47、无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小和和、差差无无穷穷大大量量和和无无穷穷小小量量的的）如如何何？由由（,2.仍仍是是无无穷穷大大量量 ;12 nnn之之积积和和. 0112 nnn之积之积和和.11122nnnn和和，之之商商之之积积和和青岛科技大学., 0, 0,lim.2300110110lkbabnbnbananalllkkkn求例001010limballlkklknnbbnbbnanaan解解：原原式式. 可可见见 .,0lim00110110klklbaklbnbnbananalllkkkn，)0, 0(00 ba青岛科技大学例如例如： (e )=+ , nlimnn nlim )1ln(nn nlim nnarctan nlim nnsin青岛科技大学附注附注1 1： 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理) 数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N , 使当NnNm,时,mnxx证证: “必要性”.设,limaxnn则,0NnNm,时