用矩阵解一次方程组

1、人教版第八章阅读与思考的延伸与拓展用矩阵解一次方程组年级：七年级下版本：人教版单位：五大连池市第一中学校执教：李淑波一、内容和内容解析1 .内容：第八章阅读与思考的延伸与拓展第二课时2 .内容分析义务教育数学课程标准（2011年版）一次方程组的古今表示 及解法选学为书中的阅读与思考。一般来说这样的内容老师和学生是 忽略的。在教学时我让学生自学了这部分内容， 在阅读时有学生提出 质疑，方程组的系数和常数项可以写成一个矩阵， 可写出这个矩阵有 什么用？该不该把用矩阵解一次方程组的知识教给孩子。面对这个质疑我思考了良久，毕竟矩阵的初等变换是高等数学范畴里的内容，在初一这个阶段让学生接受这样的一个知识

2、点会不会难度太大。但我知道矩阵的三种初等变换是和方程组的同解原理是一样的，在这个学段给学生介绍矩阵解一次方程组既可以满足学生对知识的渴求，也让学生今后学习任何知识都是建立在基础知识之上的，它是有根的，也培养学生对知识有一种溯本求源的精神，也想培养学生敢于挑战自己的 精神，于是我决定把用矩阵解一次方程组的方法教给孩子。 二、目标和重点、难点1.教学目标知识目标：（1）会用矩阵解简单的一次方程组。（2）理解矩阵在进行初等变换时的原理。过程与方法：因为这节课的内容有一部分隶属于高等数学的范畴， 所 以更多是让学生观察探究的过程，体会矩阵解一次方程组的优势。情感态度与价值观：通过学生的观察与尝试，让学

3、生体会数学思想， 感受数学的魅力，激发学生的学习热情。培养学生学生对知识有一种 溯本求源的精神，培养学生敢于挑战自己的精神。2 .重点会用矩阵解二元一次方程组和三元一次方程组。3 .难点用矩阵求一次方程组解时进行的初等变换.三、课时安排：一课时.四、教具学具准备：交互式电子白板.五、学情分析：七年级的学生对于数学的建模思想和转化思想还是正在建立的过程中，只有在原有的模型基础上逐渐剥茧抽丝帮学生建立 新的模型。矩阵的初等变换隶属于高等数学范畴里，是高等数学的常 见工具，在初一这个阶段让学生接受这样的一个知识点有难度。可矩阵的三种初等变换是和方程组的同解原理是一样的， 在这个学段给学 生介绍矩阵解

4、一次方程组既可以满足学生对知识的渴求，也让学生任 何高一级的知识都是建立在基础知识之上的， 它是有根的，也想培养 学生以后对知识有一种溯本求源的精神，也想培养学生敢于挑战自己 的精神，体会数学无穷魅力！六、教学过程设计（一）立足教材，引出课题F列内容出自教材107页一一108页一次方程组的古今表示及解法:3 x2 yz = 392x3 yz = 34x 2 y 3 z = 26z32139'23134,12326<J设计意图：因为我们要延伸的知识是由书中107页-108页一次方程组的古今表示及解法这部分阅读内容基础上进行的，所以先把书中两个比较重要的内容呈现出来，引出今天的课题。

5、（交互式电子白板进行展示。）（二）合学情，展示目标1 .会用矩阵解简单的一次方程组。2 .理解矩阵在进行初等变换时的原理。设计意图：让学生对本节课的内容做到心中有数。（交互式电子白板进行展示。）（三）复习提问，温故知新1 .复习提问：我们学过的一次方程组有哪些？我们学过的解一次方程组的方法有哪些？| 5 x - 4 y 4 z = 132 x 7y -3z = 19I 3x 2y-z = 182 .作业反馈：解下列一次方程组:'5 y + z = 24 <. 4 y + 8 z = 39设计意图：让学生对本节课相关知识进行回顾，为下一环节做好铺垫（四）合作交流，探索新知1.用加减

6、法消元法展示方程组的解题过程。5 y + z = 244 y 8 z = 39解 + 得：9 y + 9 z = 63化简得：y + z = 74日一彳寸:4 y = 17把y =%代入得：z= 14-y YL、，4所以方程组的解为：z = 11 ,4设计意图：让学生最近发展区去生成新知识。（此环节用交互式电子版展示）2 .归纳方程的同解原理交换方程组中任意一个方程的位置、方程组的解不变。方程组中任意一个方程的两边都乘以或除以同一个非零数，方程组的解不变。方程组中任意一个方程的两边都加上或减去方程组中的另一个方程，方程的的解不变。5-441327- 319J 32- 1183 .把方程组转化为

7、对应的矩阵5yz = 24 V4 y 8 z = 395x - 4y 4z=13|，2x + 7y -3z =193x + 2y-z=18 Ify = 2x-7|2-105x 3y 2z = 25323x-4z = 4K 30- 4矩阵：像这样把一次方程组未知数前面的系数和常数项按方程中的未知数的次序排成的表叫做矩阵。设计意图：通过对学生进行一次方程组写出对应矩阵的训练为学生归 纳总结矩阵的定义奠定基础。在归纳定义时为了让学生能理解起来容 易一些，我采用了和书中相一致的词语。4.例题讲解3 9 8 1114 3 1 - -3 9 8 1114 3 1-47 25 2 31 0 0 5x = a

8、0100 1 旌 y = b 00 1-3_! z = c，100 a ；x = 50 10 biy=0<001 c；z= -3设计意图：通过师生的共同探索、研究，不仅让学生能开阔学生的思 维，培养学生的兴趣，而且可以让学生知道通过矩阵解一次方程组的 基本思想。这里进行初等变换时选了 一个三元一次方程组进行，就是想选择一个中等难度的方程组进行变换，为下一环节二元一次方程组 的独立求解起到一个抛砖引玉的作用，同时让学生在完成当堂训练不 会觉得太困难。（由于变换时临时性的情况会比较多， 为了呈现变换的整个过程，这 一环节用黑板进行展示。）（五）尝试反馈，巩固知识1 .小试牛刀用矩阵解方程组;

9、5y+z=244y+8z=39设计意图：有了前例的基础，选择一道相对简单的一次方程让学生进行初等变换，一是让学生初步尝试一下变换的过程， 二是让培养他们独立分析问题、解决问题的能力。2 .当堂训练x -y +z =0用矩阵解方程组"x-y-z=2x + y +z =14师生活动：学生可以独立进行，也可以通过同学间合作进行。学生做 题过程中教师可以适当点拨指导，后期的变换过程由师生共同完成。设计意图：这道题的难度和例题比较相近， 就是通过这道题的训练让 学生进一步体会矩阵在进行初等变换的一些技巧。（六）延伸拓展，培养能力27a+9b+3c+d =0用矩阵解下列方程组27a+6b+c=0

10、a + b +c + d =83a+2b + c = -4学生活动：如果时间允许学生合作完成，如果时间紧张就把这个问题 留作学生课后研究性作业。设计意图：让学生体会用矩阵解一次方程组，当未知数的个数越多， 矩阵的作用就会更加明显，优势就更大，大大提高了解题速度，也让学生体会到解法技巧的重要性，体会数学无穷魅力 ！（七）归纳总结你收获了什么？1 .用矩阵解一次方程组的时候一定要注意书写矩阵时未知数的次序。2 .矩阵在进行初等变换时一定要细心。设计意图：这样总结，既突出了本课重点，又突出了本节内容中例题、 习题的特点。使学生在以后解题时有很强的针对性.（八）布置作业必做题：用矩阵解教材107页的三

11、元一次方程组选做题：用矩阵解教材106页4题研究型作业：试情况而定设计意图：作业（一）是为了巩固本节所学知识；作业（二）有稍有 难度，学生写矩阵时需要把方程化成标准形式；作业（三）如果课堂 时间紧张延伸拓展的四元一次方程组做为学生一个研究性作业。（九）板书设计5-4413矩阵|27-3191的初等变换过程32-118教学反思：佐藤学曾经用三种比喻来形容教育研究的视角，他认为:教育研究如同是用眼睛在观察世界，不同的眼睛就代表不同的研究视角，最基本的三种视角是“飞鸟之眼”“蜻蜓之眼”“蚂蚁之眼”。也有人说教学设计也需要三只慧眼。一、对于教学内容的总体设计义务教育数学课程标准 （2011年版）七年级

12、下第八章 107-108页阅读与思考内容，是了解的内容。对学生要求并 不高。这篇短文展示了古代如何用算筹图表示和解多元一次 方程组，然后对照现在学习的一次方程组的表示解法，联系 高等代数中有关矩阵的内容，指由一次方程组的古今表示法 与解法是一脉相承的。在对这个小阅读在学习的时候有学生 就问我：“老师一次方程组未知数的系数和常数项是能用矩 阵表示，书中说用矩阵可以解一次方程组，怎么解啊？”面 对学生的渴求，我觉得有必要把这部分知识进行一下延伸， 因为延伸的内容书中没有，所以让学生自学不太可能，所以 在教学设计的时候注重在原有基础上引导学生生成新知识。这样就在复习三元一次方程组的解法时重点要把方程

13、组的 同解原理讲解清楚，这样在进行矩阵的初中变化时学生理解 起来容易一些。在例题的选取上选了一个三元一次方程组， 目的就是想为学生下一环节学生独立完成二元一次方程组 做准备，为学生当堂训练中解三元一次方程组能顺利进行做 好铺垫。这就应该是佐藤学所说的“飞鸟之眼”。二、教学设计的立意上遵循中观中观设计就是选择哪些内容表现这节课的主题-也就是核心问题。在设计突生上矩阵的初等变换和方程组的同 解原理的一致性。矩阵的初等变换的本质就是方程组的同解 原理，为了更好的让学生理解初等变换我设计了一个二元一次方程组解法回顾，便于归纳同解原理，为顺利进行矩阵的 初等变换做准备。例题的解答我采用师生共同研究的方式

14、进 行，目的是让学生对规范的解题过程进行搭建“脚手架”。练习选了一个二元一次方程组和一个三元的方程组目的是 为巩固所学内容。练习结束设计一道用矩阵解四元一次方程 组，因为变换需要时间，另外学生刚刚学习变换，可能还不 熟练，这样课堂时间会很紧张，如果时间不允许这道拓展题 留到课后让学生研究，也让学生清楚当未知数的个数越多，矩阵的作用就会更加明显，优势就更大，大大提高了解题速度，也让学 生体会到解法技巧的重要性，体会数学无穷魅力 ！这就应该是佐藤 学所说的“蜻蜓之眼”。三、立足学生，做好设计前的预设数学教材是实现数学课程标准、实施数学教学的重要资 源。教材的素材选择会考虑到学生的认知水平和活动经验， 对于教材中所提供是操作活动，哪些需要操作，如何操作， 就应该有更合理的设计， 而不是亦步亦趋地照搬， 照套教材。 设计问题时，需要对学生思考可能存在的困难、可能回答问 题的角度，教师如何根据可能情况进行引导等作由预设，如 此将有助于我们审视所提问题是否适切，是否接近于学生的 最近发展区等。同时还需要对各环节可能的教学用时进行预 设，如此会有助于完美判断教学设计及时间分配是否合理， 从而减少预定教学计划不能完成的可能性。这就应该是佐藤学所说的“蚂蚁之眼”当然在授课的过程中还存在很多不足，一是对学生的期 许过高，学生基本的初等变换他能掌握，但要熟练不是一节 课能完成的，不能快速完成尝试反馈的