系泊系统的设计问题解析_谭航原稿资料

1、2011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1“系泊系统的设计”问题解析谭航 1，万丽萍 1，梁雪松 1（1. 成都师范学院 物理与工程技术学院，四川 成都 611130）摘要：本文就 2016年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛 A 题“系泊系统的设计”给出了一种求解方 法。关键词： 系泊系统；虚功原理；悬链线；倾斜角度；重物球；吃水深度中图分类号： 文献标志码： 文章编号：1 题目“系泊系统的设计”近浅海观测网的传输节点由浮标系统、 系泊系统和水声通讯系统组成 （

2、如图 1 所示）。 某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m 、高 2m 的圆柱体，浮标的质量为 1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共 4 节， 每节长度 1m，直径为 50mm，每节钢管的质量为 10kg 。要求锚链末端与锚的链接处的切 线方向与海床的夹角不超过 16 度错误！未找到引用源。 ，否则锚会被拖行，致使节点移 位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径 30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为 100kg。钢桶上接第 4 节钢管，下接电焊锚

3、链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作 效果最佳。 若钢桶倾斜， 则影响设备的工作效果。 钢桶的倾斜角度 （钢桶与竖直线的夹角） 超过 5 度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。图 1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）数学建模栏目名称系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、 长度和重物球的质量， 使得浮标的吃水深 度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。问题 1 某型传输节点选用 II 型电焊锚链 22.05m，选用的重物球的质量为 1200kg 。 现将该型传输节点布放在水深 18m、海床平坦、 海水密度为 1.025×10

4、3kg/m 3的海域。 若海 水静止，分别计算海面风速为12m/s 和 24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。问题 2 在问题 1 的假设下，计算海面风速为 36m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、 锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过 5 度，锚 链在锚点与海床的夹角不超过 16 度。问题 3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于 16m20m 之间。布放点 的海水速度最大可达到 1.5m/s、风速最大可达到 36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深 情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链

5、形状、浮标的吃水 深度和游动区域。说明 近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N) 错误！未找到引用源。 计算，其中 S 为物体在风向法平面的投影面积 (m2)， v 为风速 (m/s)。近海水流力可通过近似公式 F=374 ×Sv2(N)计算，其中 S为物体在水流速度法平面的投影面积 (m 2)，v 为水流速度 (m/s)。表 1 锚链型号和参数表型号长度(mm)单位长度的质量 (kg/m)I783.2II1057III12012.5IV15019.5V18028.12表注：长度是指每节链环的长度。2 问题分析与模型假设2.1 问题分析系统由浮标、钢管、钢桶、重

6、物球、锚链、以及特制抗拖移的锚组成，其测量系统安 放在钢桶里面。测量设备需要正常工作，钢桶的倾斜角度这一个条件首先要满足，然后要 确保吃水深度和浮标的游动区域要尽可能的小。浮标的吃水深度与潜在海水中的重物球、 钢管、钢桶、锚链、以及特制的锚对锚链向下的拉力直接相关，而钢管和钢桶的质量是确2011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1定的，吃水深度主要取决于重物球和悬于海水中的锚链质量有关。另外，还应该满足锚链 与锚的交点处的倾斜角度要小于 16 度这一特殊要求。一般情

7、况下，悬在海水中的锚链的质量都是比较小的，因此，吃水深度的绝大部分主 要由重物球来提供，因此，可以考虑把锚链摘除下来进行考虑，这种情况下，重物球、钢 桶、钢管和浮标构成一个静态的系统， 就纵向受力平衡的情况下， 可以获得一个吃水深度， 本文设为 h0，然后在这个基础上逐渐的增加吃水深度，那么增加的吃水深度是不是一个合 适的结果要看吃水深度的增加量，导致浮标产生更大的向上的浮力，这部分的浮力要靠悬 浮在海水中的锚链的重力和特制的锚向下的拉力之和，锚对锚链的向下的拉力主要是要看 锚链与锚的交点处的倾斜角度的情况。 当确定一个吃水深度的相对于 h0 的增加量后， 对于 系统而言，风和水流产生的水平方

8、向的力就是确定的，而系统要平衡，考虑风力和水流力 都朝右边，那么锚对锚链就有向左的拉力，并且在锚链的任何一个位置向左边的拉力都等 于向右边的风力与水流力之和，因此，只要知道了锚链与锚之间的交点处的倾斜角度，锚 向下的拉力就可以确定。如果该倾斜角度为 0 度，那么吃水深度的增加量就是悬于海水中 的锚链的重量导致的。当吃水深度的增加量确定后， 就需要确定锚链与钢桶的交点的坐标， 这时候考虑锚链 为理想的线缆，锚链连续且密度处处均匀，可以考虑为锚链建立悬链线方程，锚链与锚的 交点处设为坐标原点， 当选取一个合适的交点的倾斜角度后， 整个锚链的方程就是确定的， 因此，锚链与钢桶处的交点就是确定的。那么

9、这条锚链的形状是否正确，还需要考虑它与 钢桶的交点的纵坐标与钢桶长度、钢管长度在纵向的投影长度、及与吃水深度之和是不是 等于海水的深度。从建模问题一和二看，锚链型号、锚链长度和重物球的质量都是给定值，这时候能够 优化的问题就是吃水深度、钢桶倾斜角度、锚链与锚之间的交点处的倾斜角度的设计。对 于问题一，当风的速度比较小的时候，锚链有可能有一段拖地的存在，因此，在计算过程 中，如果计算出来的锚链长度小于给定长度，也就是有一段拖地的情况，那么这种情况下 就锚链与锚的交点的倾斜角度为 0 度。而当速度增加到适中情况时，锚链估计处于崩紧状 况，但是如果用锚链与锚的交点的最大倾斜角度 16 度代入进行计算

10、， 估计会发生计算出的 锚链长度比实际给定的锚链长度短，这时候又应该考虑更小的角度进行计算。当不管如何 调整该角度，在重物球的质量不变的情况下，如果风速增加到问题二的速度，估计没有满 足要求的解，应该增加重物球质量，直到找到合适的解。对于模型第三问， 因为需要选择锚链型号， 而型号主要是单位长度的质量对设计有影栏目名称数学建模响，但是锚链的密度都不是非常大，因此首先还是需要考虑增加重物球的质量来找到合适的解，然后再优化。2.2 模型假设与符号说明建模前，先做如下假设：(1) 假设海水密度不随深度改变，并且不考虑海水内部浪涌产生的影响；(2) 锚链处处密度相同且连续；(3) 假设浮标在整个游动过

11、程中不发生倾斜现象；(4) 假设风向和水流方向都是水平方向；(5) 假设钢管、锚链受到的水流力可以忽略不计，锚链的浮力也不考虑；(6) 假设重物球的密度处处均匀，并且重物球的材质为普通钢材，密度给定；(7) 假设钢管、钢桶是刚性构件，不变形，锚链不会发生弹性形变；(8) 假设各个构件之间的链接是理想的铰接形式，不考虑铰接处内部摩擦力。 论文用到的符号见表二所示。表 2 建模符号说明符号说明符号说明MF浮标质量 (kg)钢桶中轴线与水平倾斜角度 ( °)MG钢管质量 (kg)锚与锚链交点切向量与水平夹角 ( °)MT钢桶质量 (kg)r1海水密度 (1025kg/m3)MB重

12、物球质量 (kg)r2重物球密度 (7800kg/m3)ML悬于海水中的锚链质量(kg)r3锚链密度 (kg/m)MM锚的质量 (kg)(X F,Y F )浮标几何中心i第 i 根钢管水平倾斜角度(°)H海水深度 (m)L悬于海水中的锚链长度(m)h浮标吃水深度 (m)g重力加速度FML锚对锚链向下的拉力 (N)风和水对系统产生的合力(N)H海水深度 (m)3 模型建立2011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1为锚链建立悬链线模型 1-3,6 ，假设坐标

13、原点在锚与锚链铰接处， 并且该铰接是理想的。 悬链线模型如果 2所示。假设锚链上某 A，B两点， A处锚对锚链具有一个拉力 FML，在 B 点处有沿切线方向有拉力 T ，因为风和水对整个系统有沿着轴正方向，合力假设为。 则锚链处处向左边的拉力为，锚链某处受到向下的拉力为从原点到该处锚链重力与锚对 锚链向下的拉力之和。Tcos( ) R,T sin( ) r3gS FML(1)其中 S为 A 到B 点的锚链长度， FML为锚对锚链向下的拉力， R锚链受到的向右边的拉力，其中 FML Rtan( ) 。对于 B 点而言有：dydxtan( )r3gS FML(2)由弧长公式 (dS)2 (dx)2

14、 (dy)2 ,有：dS 1 (ddyx)2dx(3)对方程 (2) 微分，获得：(4)d 2y r3g 1 (dy)2 dx2 R 1 (dx)假设 p dy ,则有dxdpdxr3Rg 1 (p)2 ,(5)分离变脸积分可得：ln( p 1 p2) r3g x c (6) R如果在 x 0,dy 0 ，这就是普通的悬链线问题 1,6，这也是锚链在原点处的切向量与dx海床相平行的情况，这种情况下，锚链长度会最长。在设计过程中，锚链在原点处的切向量与海床成一个角度 。因此，考虑条件 x 0,dy tan( ) tan(16 ) 0.2867 。容易 dxr3gx获得 p 1 p2 c1e R

15、,c1 ec ，得到：2 2r3gxr3g x(7)c12e R - 2 pc1e R通过化简得到：栏目名称数学建模p dy c1 er3Rgxdx 2- 1 e r3Rgx2c1(8)积分后得到：r3gc1 R R x y 1 e R2 r3gR e 3Rx2c1 r3gc2(9)又因为条件 y(0) 0,y(0) tan( ) ,获得系数为：(10)c1 R1 Rc1 tan( ) sec( ),c22 r3g 2c1 r3g3.2 虚功原理建立倾斜角度的模型7为了计算钢管、钢桶的倾斜角度，我们假设浮标的几何中心的位置坐标为(XF,YF) ，并且假设四根钢管的几何中心位置为YA,YB,YC

16、,YD，钢桶的几何中心为 (XE,YE) ，假设钢桶与锚链交接处的坐标为 ( x0 , y0 ) 。表达式分别如下所示：FYFx0y0 sinYAy0cos cos 4 cos 3 cos 2 cos 1, sin 4 sin 3 sin 2 sin 1 1, 1sin 3 sin 2 sin 1,2sinsin 4YBy0sinsin 41sin 3 sin 2,2YCy0sinsin 412sin 3,(11)YDy0 sin1sin2YEy0 1sin ,21 X E x0 1cos ,2对位置变量进行变分获得：2011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematica

17、l Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1XFYF-sin sin 4 4 sin 3 coscos 4 43 sin 2 2 sin 1 1, cos 3 3 cos 2 2 cos 1 1,YAcoscos 4 41cos 3 3 cos 2 2 cos 1 1,2YCXEcoscoscoscos 4 4cos 4 41cos 3 3 cos 2 2,21cos 3 3,21cos 4 4,21cos ,2-1sin,2位置变分就是虚位移，在这些方向上的力分别为：2 2 2 2 2 R 0.625 2 (2 h) v1 374 2 h

18、 v2 374 0.3 1 v2 374 r v2 ,22FXF 0.625 2 (2 h) v1 374 2 h v2 ,FYF r1g h MF g,2FYA r1g0.0252 MG g,2FYB r1g 0.025 M G g,2FYC r1g0.025 M G g,2FYD r1g0.0252 M G g,2 4 3FYE r1g 0.15 1 r1g r32FXE 374 0.3 1 v2 374 r v2Rr1g r3L( x0 )22(12)(13)43MTg r2g3 r r3gL(x0) FML ,3其中 L(x0) 表示锚链从原点到锚链与钢桶铰接处的长度，xL(x)0)2

19、dx ，根据锚链方程 (9) ，得到：(rgRc2 rRge2r3gxR) ( (c21er3gxRL(x) - r3gc1r3g2r3g 2 1e R 2 c1r3g1 r3gx 221c1 e R)2 1) (R2r3gc1rRg) ( (c21 21c ) 1)r3g2r g 2 2c1(14)2r3g1e3 R 12c1虚功原理，指的是方程 (13)这些力在虚位移 (12) 这些方向上做的功之和为 0，则虚功为 如下表达式：PFXFXFFYFYFFYAYAFYB YBFYCYCFYDYDFYEYEFXEXE 0, (15)对应的广义坐标是力学系统考虑的自由度，分别为1， 2， 3， 4

20、， ，把各个力和虚位数学建模栏目名称移代入方程 (15) 获得虚功， 而虚功要为 0，而广义坐标的虚位移1， 2， 3， 4，不为 0，因此只有对应的广义力为 0，得：sin FXF1sin FXE1c o sFYE 4c o sFYAc o sFYE 0,22sin 4FXFcos4FYF7co s4FYA 0,2sin 3FXFcos3FYF5co s3FYA 0,2sin 2FXFcos2FYF3co s2FYA 0,2sin 1FXFcos1FYF1co s1FYA 0,2 1 YA(16)因此，可以获得：n ()FYF4YYA1FYEYFYFXF1F,ta n 4()72 YYAXE

21、XFYFn 3(), t a n 2()(17)XFXFFYFn 1()12 YYAXF在前面几个方程中，需要满足 85 95 。其中力 R 考虑了风对浮标的作用、水 流对浮标的作用力，水流对钢桶的作用力，水流对重物球的作用力。在力学计算中，考虑 了钢管的浮力、浮标的浮力、钢桶的浮力以及重物球的重力，同时也考虑锚链的浮力，其 中对锚链的浮力的为 r1gr3L(x0)/r2 ，假设锚链的材料也是钢，并且密度与重物球的密度 一致。3.2 加权优化模型 8 整个模型是一个优化模型，需要选择合适的重物球、合适的锚链长度和合适的锚链型 号，使得浮标吃水深度、浮标的游动区域、钢桶的倾斜角度尽可能小，并且要

22、保证锚链与 锚之间的交点处的切线与 x 轴的夹角小于 16 。重物球的质量越大，利于保持钢桶的倾斜 角度，但是吃水深度又会增加。因此，考虑加权模型，因为是最小化某些物理参量，重要 性越大的参量的加权应该越大。2011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1MIN L(x0) 1( /2 ) 2h 3rMF 1000kg,M G 10kg,MT 100kg, M B 1200kg,g 104 3 3 334 r3 M B,r1 1025kg / m3, r2 7800kg

23、 / m3,r3 (3.2,7,12.5,19.5,or28.5)kg/m v1 (12,24,or,36)m/s,v2 1.5m/ s,Equ(9)，Equ(13),Equ(14),Equ(16), y(x0) cos( ) cos( 4) cos( 3) cos( 2) cos( 1) h H2 2 4 3r3L ( x0 )(r1g hM Fg)4(r1g0.025 M Gg)r1g0.15 1r1grr1g3 03r243MTg r2g 3 r r3gL(x0) FML 085 95 ,0 r 0.56,0 16 ,0 h 2m其中如下方程组中的方程分别为几何约束和 y 方向的浮力和重

24、力平衡约束： y(x0) cos( ) cos( 4) cos( 3) cos( 2) cos( 1) h H，2 2 4 3r3L(x0)(r1g hM Fg)4(r1g0.0252M Gg)r1g0.1521r1gr3r1g 303r243M T g r2g r r3gL(x0) FML 034 问题求解 4,8由于优化模型中具有相反的约束存在，直接使用成熟的优化算法，比较难获得计算的 结果，考虑使用计算机模拟的办法计算该问题。计算步骤如下所示：(1) 给定 M F ,MG,MT ,r1,r2,r3,g, ， r 0.001， h 0.001， x 0.001 ；(2) 设定重物球半径 r

25、0 0.3324；(3) 当 r0 0.56，根据 r0计算重物球的质量 M B，然后计算去掉锚链和锚后的系统的浮力和重力的平衡，获得平衡时的吃水深度h0，设置 h h0h ,然后继续下面步骤；(4) 根据公式 (13) 计算受力，这时候因为锚链长度和锚链在原点处的切向量的角度是未 确定的，但是这两部分的力就等于浮标吃水深度增加 h 导致的浮力；然后根据公式 计算钢管和钢桶的角度，设定 x 0 ；(18)(19)(16)(5) 根据公式 (9)计算 y(x) ；数学建模栏目名称(6) 根据方程 (18) 计算几何约束， 如果精度大于给定量且 y H ，那么设定 x x x ,跳转到 (5)继续

26、做，直到获得满足精度要求的x0 x,y0 y ；(7) 根据方程 (18) 计算重力约束是否满足要求，把满足要求的结果全部保存；然后设定 h h0 h ，跳转到步骤 (4) ；(8) 当 h 2 ，设定 r0 r0 r ，增加重物球的质量，跳转到步骤 (3) 。4.1 问题一给定 M B 1200kg, L 22.05m,v1 12m/ s, v1 24m/ s, H 18m，锚链为 II 型， 其 密 度 为 7kg/m ， 重 物 球 的 半 径 折 合 为 r 0.3324m ， 获 得 平 衡 时 的 吃 水 深 度 为 h0 0. 6549，m考虑0 。这些约束下，满足条件的解答见表

27、 3 所示。表 3 问题一( v1 12m/ s，0 )满足条件的参数值吃水深度锚链长度x 位置游动半径12340.674915.39637.62714.38688.807788.799588.791288.782888.78620.675915.39277.62314.385288.811988.803888.795588.787188.79050.676915.3897.61914.384588.816188.80888.799788.791488.79480.677915.38997.61614.380288.820288.812188.80488.795788.79910.678915

28、.38637.61214.379588.824388.816388.808288.888.80330.679915.38277.60814.378888.828488.820488.812488.804288.80750.680915.37917.60414.37888.832488.824588.816588.808488.81170.681915.37547.614.377388.836588.828688.820688.812688.81590.682915.37187.59614.376588.840588.832788.824888.816788.820.683915.36827.5

29、9214.375888.844588.836788.828988.820988.82410.684915.36467.58814.375188.848488.840788.832988.82588.82820.685915.3617.58414.374388.852488.844788.83788.829188.83230.686915.3627.58114.3788.856388.848788.84188.833288.83640.687915.35847.57714.369288.860288.852788.84588.837288.84040.688915.35487.57314.368

30、588.864188.856688.84988.841288.84440.689915.35127.56914.367788.86888.860588.852988.845388.84840.690915.34767.56514.36788.871888.864488.856988.849288.85230.691915.3447.56114.366288.875688.868388.860888.853288.85630.692915.34057.55714.365488.879488.872188.864788.857188.8602根据表 3 的数据分析，锚链在原点处完全与海床相切，此时

31、计算出的锚链长度小于给定的 22.05m，因此，锚链拖地，因此不再考虑锚链在原点的切向量与海床成一定角度的情 况。拖地长度为 6.7m 左右，而浮标游动的半径在 14.37m 左右，钢桶轴线与 y 轴角度在 1.2102011 年 11 月第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1左右。第一组数据绘制锚链形状如图 3 所示。图 3 锚链形状( h=0.6749m, 88.7862 , 0 )当风速逐渐增加到 24m/s 的时候，我们可以计算获得结果如表4所示。表 4 问题一（ v1 2

32、4m / s，0 ）满足条件的参数值吃水深度锚链长度x 位置游动半径12340.686922.154717.26817.565985.434385.404185.373485.342385.3550.687922.147617.2617.563685.449985.419885.389385.358485.3710.688922.140517.25217.561385.465385.435485.405185.374485.38690.689922.133417.24417.559185.480785.45185.420985.390485.40280.690922.126317.23617.

33、556885.49685.466485.436585.406285.41860.691922.119217.22817.554685.511285.481885.452185.42285.43420.692922.11217.2217.552485.526385.497285.467685.437685.44980.693922.104917.21217.550185.541485.512485.48385.453285.46540.694922.097917.20417.547985.556485.527585.498385.468785.48080.695922.090817.19617.

34、545785.571385.542685.513685.484285.49610.696922.083717.18817.543485.586185.557685.528785.499585.51140.697922.076617.1817.541285.600985.572585.543885.514885.52660.698922.069517.17217.53985.615585.587485.558985.5385.54170.699922.062417.16417.536885.630185.602185.573885.545185.55680.700922.055317.15617

35、.534685.644785.616885.588685.560185.57170.701922.048317.14817.532485.659185.631485.603485.57585.58660.702922.041217.1417.530285.673585.64685.618185.589985.60140.703922.034117.13217.52885.687885.660585.632885.604785.61610.704922.027117.12417.525885.70285.674885.647385.619485.63080.705922.0217.11617.5

36、23685.716285.689285.661885.634185.6454根据表 4，前面的 15 组数据的锚链长度均大于 22.05 米，因此，可以考虑增加 值便 于减少锚链长度。表 4 后面 5 组数据的锚链长度均小于 22.05 米，而 h=0.7019m 是明星的 分界线，总的来说，吃水深度在 0.7m 左右，钢桶角度在 4.6°内，符合要求。浮标游动半11数学建模栏目名称径在 17.56m 左右。临界状态时自然状态，其对应的锚链形状如图 4 所示。图 4 锚链形状( h=0.7019m,85.5866 , 0 )4.2 问题二当风速增加到 36m/s 时，考虑锚链在原点处

37、的切线的斜率为 tan(16 ) ，是极限位置， 获得的锚链长度均大于 22.05 米，因此，在问题一的假设下，没有解。如果不考虑钢桶倾 斜角度的限制下， 通过模拟计算当 18.937 时，锚链长度均小于等于 22.05 米，因此该 角度是一个分界点。结果如表 5 所示。表5 问题二( v1 36m/ s,v2 0m/s, 18.937 ,H 18m,M B 1 2 0k0g,II 型锚链)的情况吃水深度锚链长度x 位置游动半径12340.709922.049518.0118.839180.556480.498380.439580.379980.40420.710922.04418.00418

38、.830480.586980.529180.470580.411380.43540.711922.038617.99818.821780.617180.559680.501580.442680.46650.712922.031617.99118.812180.647280.590180.532280.473780.49750.713922.026217.98518.803580.677280.620480.562880.504680.52830.714922.020817.97918.794980.70780.650580.593380.535480.5590.715922.013917.97

39、218.785280.736780.680580.623680.56680.58950.716922.008417.96618.776780.766280.710480.653880.596580.61980.717922.00317.9618.768180.795680.740180.683880.626980.65010.718921.996117.95318.758580.824980.769680.713780.657180.68010.719921.990717.94718.7580.85480.799180.743480.687180.71010.720921.985217.941

40、18.741480.88380.828380.77380.71780.73980.721921.978317.93418.731980.911980.857580.802580.746880.76950.722921.972917.92818.723480.940680.886580.831880.776480.7990.723921.96617.92118.713980.969280.915480.86180.805980.82830.724921.960617.91518.705480.997680.944180.8980.835380.85750.725921.955217.90918.

41、696981.025980.972780.918980.864580.8866120.726921.948317.90218.687481.054181.001280.947780.893580.91560.727921.942917.89618.67981.082181.029580.976380.922480.94442011 年 11 月 第 1卷 第1期数学建模及其应用Mathematical Modeling and Its ApplicationsDec.2011Vol.1 No.1在表 5 中， 85 ，不符合要求。为了让钢桶的倾斜角度达到85°以上，增加重物球质量，当

42、增加到 2091kg 时，在 16 时，获得的结果均小于 22.05 米，因此，该重物 球的质量会是一个临界数据， 当质量小于该值时， 寻找不到满足条件的解。 而大于该值时， 获得的锚链长度小于给定值，因此， 16 成立，用计算机模拟办法，逐渐减少 值， 获得当 14.325 时，锚链长度达到 22.048米，此时 h 0.9413m, 85.0150 ，浮标 游动半径为 18.4981 米，锚链形状见图 5 所示。图 5 锚链形状( v1 36m/sh 0.9413m, 85.015 , 14.325 )4.2 问题三考虑 v1 36m/ s,v2 1.5m/ s,H 16m 20m ，我们

43、考虑几个典型值的情况，分表 见表 6- 表 10 所示。表6 问题三( v1 36m/ s, v2 1.5m/ s, 0 ,H 18m,M B 379k7g,V 型锚链)的情况吃水深度锚链长度x 位置游动半径12341.527521.866417.60218.036785.029985.019885.009684.999485.00351.528521.864517.60118.035485.033885.023785.013685.003485.00761.529521.864417.60118.03585.037885.027785.017685.007485.01161.530521.8

44、62517.618.033785.041885.031785.021685.011485.01561.531521.862317.618.033385.045785.035785.025685.015585.01961.532521.860417.59918.03285.049785.039685.029685.019485.0236131.5335 21.860317.599 18.0316 85.053685.043685.0335 85.023485.0275表 7 问题三（v1 36m/s,v2 1.5m/ s,0,H 20m,MB 3 7 9k7g,V 型锚链）的情况吃水深度 锚链长

45、度x 位置 游动半径1234栏目名称数学建模1.532524.25218.9119.34385.049785.039685.029685.019485.02361.533524.251918.9119.342685.053685.043685.033585.023485.02751.534524.249818.90919.341385.057585.047585.037585.027485.03151.535524.249618.90919.340985.061585.051585.041585.031485.03551.536524.247618.90819.339685.065485.05

46、5485.045485.035485.03941.537524.247418.90819.339285.069385.059385.049385.039385.04341.538524.245318.90719.337985.073285.063385.053385.043385.04731.539524.245218.90719.337685.077185.067285.057285.047285.05131.540524.243118.90619.336285.08185.071185.061185.051285.05521.541524.242918.90619.335985.08498

47、5.07585.065185.055185.05911.542524.240918.90519.334585.088885.078985.06985.05985.06311.543524.240718.90519.334285.092685.082885.072985.06385.0671.544524.238618.90419.332985.096585.086785.076885.066985.07091.545524.238518.90419.332585.100485.090585.080785.070885.07481.546524.236418.90319.331285.10428

48、5.094485.084685.074785.07871.547524.236218.90319.330885.108185.098385.088585.078685.08261.548524.234218.90219.329585.111985.102185.092385.082585.08651.549524.23418.90219.329285.115885.10685.096285.086485.09041.550524.231918.90119.327885.119685.109885.100185.090285.09421.551524.231818.90119.327585.12

49、3485.113785.103985.094185.0981表8问题三（ v136m/s,v2 1.5m/ s, 16,H 20m,MB 3797kg, V 型锚链）的情况吃水深度锚链长度x 位置游动半径12341.542520.624615.00515.434585.088885.078985.06985.05985.06311.543520.622615.00415.433285.092685.082885.072985.06385.0671.544520.622415.00415.432985.096585.086785.076885.066985.07091.545520.620415.00315.431585.100485.090585.080785.070885.07481.546520.620315.00315.431285.104285.094485.084685.074785.07871.547520.618215.00215.429885.108185.098385.088585.078685.08261.548520.618115.00215.429585.111985.102185.092385.082585.08651.5495