2018年武汉市高三数学一轮复习：立体几何练习题4

1、2018 年武汉市高三数学一轮复习：立体几何练习题、选择题1.（文）对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面a,使得（）A.a?a,b?aB.a?a,b/ aC. a 丄a,b 丄aD.a?a,b 丄a答案B解析a、b 异面时，A 错，C 错；若 D 正确，则必有 a 丄 b，故排除 A、C D,选 B.（理）设 a、b 为两条直线，a、B为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是（）A.若 a、b 与a所成的角相等，则 a / bB.若 a/ a,b/B,a/3,贝Ua/bC. 若 a?a,b?3,a/b,贝Ua/ 3D.若 a 丄a ,b 丄3, a丄3贝Ua 丄 b答案D解析若直线

2、a、b 与a成等角，则 a、b 平行、相交或异面；对选项 B,如 a /a, b /3, a/ 3,则 a、b 平行、相交或异面；对选项C,若 a?a,b?3, a / b,则a 3平行或相交；a 丄a对选项 D,由？a /3或 a?3,无论哪种情形，由 b 丄3都有 b 丄 a.,故选 D.3丄a2 .一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：AB 丄 EFAB 与 CM 成60。EF 与 MN 是异面直线MN / CD 其中正确的是（JVA/F CA.C.B.D.答案D解析本题考查学生的空间想象能力，将其还原成正方体如图所示,异面直线,AB / CM , MN 丄 CD 只有正

3、确，故选 D.AB 丄 EF, EF 与 MN 是3 已知 m、n 是两条不同的直线，a、氏丫是二个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若a丄Y, a丄伏贝V丫/3B. 若 m/n,m?a,n?3,贝U a/ 3C. 若 m/n,m/ a,贝Vn/ aD. 若 m/ n, m 丄a,n 丄3,贝Uall3答案D解析对于选项 A,两平面3丫同垂直于平面a,平面3与平面丫可能平行，也可能相交; 对于选项 B,平面a 3可能平行，也可能相交；对于选项 C,直线 n 可能与平面a平行，D,vm/n,m 丄a,n 丄a,又 n 丄3, / a/ 3故选 D.a,3和两条不重合的直线a , b,则下列

4、四个命题中为真命题的是 ( )A. 若 a / b , b?a,贝Ua /aB. 若a丄3 , aQ护 b,a 丄 b,贝Ua 丄3C. 若 a?a,b?a,a/3,b/ 3,贝a/3D. 若 all3,a?a ,a?3 ,a/ a,贝Ua/3答案D直线 a , b 为相交直线时命题才成立.4）在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，P、Q 分别是棱 AA1、CC1 的中点，则过点的截面是（）A. 邻边不等的平行四边形B. 菱形但不是正方形C.邻边不等的矩形D .正方形也可能在平面a内；对于选项（理已知两个不同的平面解析选项 A 中，直线 a 可能在平面a内；选项 B 中，直线 a 可能在

5、平面3内；选项 C 中,B、P、Q答案B解析设正方体棱长为 1,连结 DIP , D1Q ,贝 U 易得 PB= PQ= D1P= D1Q=_2_,取 DID 的中点 M，贝 U D1P 綊 AM 綊 BQ,故截面为四边形 PBQD1,它是一个菱形，又 PQ= AC= 2, / PBQ不是直角，故选 B.对于平面a和共面的直线 m, n,下列命题是真命题的是（）A. 若 m, n 与a所成的角相等，则 m / nB. 若 m/ a,n/ a,贝Um/nC. 若 m 丄a,mn,贝Unl aD. 若 m?a,nl a ,贝Um/n答案D解析正三棱锥 PABC 的侧棱 PA PB 与底面成角相等，

6、但 PA 与 PB 相交应排除 A;若 m/a, nla,贝Um 与 n 平行、相交或异面，应排除 B;若 m 丄a, m n ,贝Unl a或 n?a,5 已知直线 I、m,平面a、3,且 I 丄a,m?3,给出下列四个命题:若 all3,则 I 丄 m；若I 丄 m，贝U al 3若a丄3贝U11m;若 I / m，贝U a丄3其中真命题是（A.B.C.D.答案C解析丄0rn匸卩Me |片川_txr点评如图，aA 3m,则 I 丄 m ,故（2）假；在上述图形中，当a丄3时，知应排除 C.Tm、n 共面，设经过 m、n 的平面为3,Tm?a,二ad伊 m,/n /a, n / m，故 D

7、正确.6 已知 I 是直线，a、3是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A. 若 I/ a,I/ 3,贝U a / 3B.若a丄3,I/ a,贝VI 丄3C. 若 I 丄a, I /3,贝V a丄3D. 若 I/ a ,all3,贝UI/ 3答案C解析 如图在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，取平面 ABD1A1 为a,平面 ABCD 为3,B1C1 为 I，则排除 A、B;又取平面 ADD1A1 为a,平面 BCC1B1 为3, B1C1 为 I ,排除 D.答案Cb/a时，a 与 b 可相交可异面也可平行，故 A 错；a/a, b /3,a/ 3时，a与 b 可异面，故 B 错；

8、由a丄3,a 丄a得，a/3或 a?3,又 b/3,此时 a 与 b 可平行也可（理b 和不重合平面a,3,则 a/ b 的A. a/ a,b/C.D.a/ a ,b/b3,3,a丄3,b/解析a/a ,已知相异直线异面，排除 D.7.设 m, n 是平面a内的两条不同直线；11, 12 是平面3内的两条相交直线，则a/ 3的一一个充分而不必要条件是（）A.m IIB且 11/aB.mI11 且 n/l 12C. m 且 n IBD. mI B且 nI12答案B解析如图，aQ存 1, ml1,11II,满足 mI B且 11I a,故排除 A;如图，aQ BI, mInII，满足 mI B,n

9、I B,故排除 C.中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个答案C解析依题意得，命题I/b,且 a 丄Yb 丄丫是真命题（由若两条平行线中的一条与一个 平面垂直，则另一条也与这个平面垂直可知）；命题I/ B,且 a 丄 c?B丄 c是假命题（直线 c可能位于平面B内，此时结论不成立）；命题“ab,且a丄 c? b 丄 c”是真命题（因为aIb , 因此在平面a内必存在直线 b1Ib;又a丄 c ,因此 cIb1, cb）.综上所述,其中真命题 共有 2 个，选 C.9 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M, N

10、, P 分别为 A1B1 , CD, B1C1 的中点，则下列命题正确在图(2)中,mInIIII2满足 mIB,nI12，故排除 D,故选 B.点评/ I1 与 I2 相交,mII1, nII2,. m 与 n 相交，由面面平行的判定定理可知aI B；但当m、n?B,I1 与 I2 相交，aI B时，如图，得不出 mII1 且 nI12.（理） 设 a, b 是两条直线,a,B是两个平面，则a丄 b 的一个充分条件是A. a 丄a,bI B,B.a 丄a,bC. a?a ,b 丄B,D.a?a,bIB, a丄B答案解析对于 A,如图正方体a、B分别为平面直线 B1B 和 C1C.a 与 b

11、也可能平行，对于 B, / a 丄a, aI B, a 丄B, aIb，对于 D, a 与 b 也可能平行，故选C.A 11 a、b 分别为 P又 b 丄 B,ZZ8 已知a,B, 丫是二个不同的平面，命题“a B,且a丄Y肚丫是真命题.如果把（i）ABCD 与平面 ADD1A1,a,B,的是（）A. AM 与 PC 是异面直线B. AM 丄 PCC. AM / 平面 BC1ND. 四边形 AMC1N 为正方形答案C1解析 连接 MP, AC, A1C1, AM , C1N，由题易知 MP / A1C1/ AC,且 MP = ?AC,所以 AM 与PC 是相交直线，假设 AM 丄 PC,vBC

12、 丄平面 ABB1A1,： BC 丄 AM ,AAM 丄平面 BCC1B1, 又 AB丄平面 BCC1B1 矛盾，AAM 与 PC 不垂直.因为 AM / C1N, C1N?平面 BC1N,所以 AM /平面 BC1N.又易得四边形 AMC1N 为菱形而不是正方形，故选 C.10.如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1 = 2, AB= 1 , M , N 分别在 AD1, BC 上移动，且始终保持 MN /平面 DCC1D1,设 BN= x, MN = y，则函数 y= f（x）的图象大致是（）答案C 解析 过 M 作 ME 丄 AD 于 E,连接 EN,则平面 MEN /平

13、面 DCC1D1,所以 BN = AE= x(0 x1)ME = 2x, MN2 = ME2 + EN2,则 y2= 4x2 + 1, y2-4x2= 1(0 x0)，图象应是焦点在 y 轴上的双曲线的一部分.故选C.、填空题11.（文）如图，在正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件 _时，有 MN /平面 B1BDD1.答案M 线段 FH解析 因为 HN/ BD, HF/ DD1，所以平面 NHF/平面 B1BDD1，又平面 NHFQ平面 E

14、FGH=FH.故线段 FH 上任意点 M 与 N 相连，有 MN /平面 B1BDD1,故填 M 线段 FH.n（理）已知两异面直线 a, b 所成的角为-,直线 I 分别与 a, b 所成的角都是B,则B的取值 范围是.n n答案【6, 212 .在四面体 ABCD 中，M、N 分别是 ACDABCD 的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_ .答案面 ABC 和面 ABD解析连结 AM 并延长交 CD 于点 E, MACD 的重心， E 为 CD 的中点,AB 与 CD 相交； MN / PQ;AB/ PE;MN 与 CD 异面； MN /平面 PQC.答案解析将正方体还原后如图，则N

15、与 B 重合，A 与 C 重合，E 与 D 重合，.、为真命题.又 NBCD 的重心， B、N、E三点共线,由EMENMA NB器=扌得 MN / AB,因此 MN /平面 ABC, MN /平面ABD.13.如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点，则在原正方体中,其中真命题的序号是答案a 解析/ B1D1/ 平面 ABCD,平面 B1D1PA平面 ABCD= PQ,. B1D1/ PQ,又 B1D1 / BD,. BD/ PQ,设 POPAB=M,TAB/ CD,. APMs DPQ,人人PM AP 11又厶 APMsADP,.=一，. PM = 一 BD BD AD 33

16、，又 BD=j2a,. PQ= 23?a.三、解答题15.如图，在四棱锥 E- ABCD 中，四边形 ABCD 为平行四边形，BE= EC, AE 丄 BE,M 为 CE 上一点，且 BM 丄平面 ACE./LZn:_14.如图所示，正方体 ABC A1B1C1D1 的棱长为 a,点 P 是棱 AD 上一点，且AP=a,过B1,D1, P如果点 N 为线段 AB 的中点，求证:MN /平面 ADE.眾器2,即pQ=2PM,(1)求证：AE 丄 BC;解析因为 BM 丄平面 ACE AE?平面 ACE 所以 BM 丄 AE.因为 AE 丄 BE,且 BEABM= B, BE、BM?平面 EBC,

17、所以 AE 丄平面 EBC.因为 BC?平面 EBC,所以 AE 丄 BC.解法 1:取 DE 中点 H,连接 MH、AH.因为 BM 丄平面 ACE, EC?平面 ACE,所以 BM 丄 EC.因为 BE= BC,所以 M 为 CE 的中点.1 所以 MHEDC的中位线， 所以 MH綊 2DC.因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 DC 綊 AB.1故 MH 綊 2AB.因为 N 为 AB 的中点，所以 MH 綊 AN.所以四边形 ANMH 为平行四边形，所以 MN / AH.因为 MN?平面 ADE, AH?平面 ADE,所以 MN /平面 ADE.解法 2:取 EB 的中点 F,连接

18、 MF、NF.因为 BM 丄平面 ACE, EC?平面 ACE,所以 BM 丄 EC.因为 BE= BC,所以 M 为 CE 的中点，所以 MF/ BC.因为 N 为 AB 的中点，所以 NF/ AE ,因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 AD/ BC 所以 MF/ AD.因为 NF、MF?平面 ADE, AD AE?平面 ADE,所以 NF/平面 ADE, MF/平面 ADE.所以平面 MNF/平面 ADE.AE= AB= 2 , CD= 1 , F 为 BE 的中点.(1)若点 G 在 AB 上，试确定 G 点位置，使 FG/平面 ADE,并加以证明;在(1)的条件下，求三棱锥 D-

19、 ABF 的体积.解析(1)当 G 是 AB 的中点时，GF/平面 ADE.因为 MFANF= F, MF、NF? 平面 MNF ,因为 MN?平面 MNF ,所以MN / 平面 ADE.(理)如图所示的几何体中，ABC 为正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面/ G 是 AB 的中点，F 是 BE 的中点, GF/ AE,又 GF?平面 ADE, AE?平面 ADE, GF/平面 ADE连接 CG,由可知：1GF/ AE,且 GF= 2AE.又 AE 丄平面 ABC, CD 丄平面 ABC,： CD/ AE,1又 CD= 2AE,： GF / CD, GF= CD,四边形 CDFG 为平行四

20、边形， DF/ CG,且 DF= CG.又 AE 丄平面 ABC, CG?平面 ABC, AE 丄 CG. ABC 为正三角形，G 为 AB 的中点， CGAB,又 ABA AE= A, CG 丄平面 ABE.又 CG/ DF,且 CG= DF, DF 为三棱锥 D-ABF 的高,且 DF= 3.又 AE 丄平面 ABC, AB?平面 ABC, AE 丄 AB.在 RtAABE 中，AB= AE= 2 , F 为 BE 的中点,SAABF=ABE=22X2.11 厂需 VD- ABF= 3SAABFDF= X1 灭 3=可,三棱锥 D- ABF 的体积为 亍.16.（文）如图，P0 丄平面 A

21、BCD 点 0 在 AB 上 , EA/ P0,四边形 ABCD 为直角梯形,1AB, BC= CD= B0= PO, EA= AO= ?CD.BC丄(1) 求证：BC 丄平面 ABPE(2) 直线 PE 上是否存在点 M，使 DM /平面 PBC 若存在，求出点 M;若不存在，说明理由.解析(1)vP0 丄平面 ABCD,BC?平面 ABCD,. BC 丄 P0,又 BC 丄 AB, ABA P0= O, AB?平面 ABP, PO?平面 ABP,. BC 丄平面 ABP,又 EA/ PO, AO?平面 ABP, EA?平面 ABP,. BC 丄平面 ABPE.点 E 即为所求的点，即点 M

22、 与点 E 重合.取 PO 的中点 N,连结 EN 并延长交 PB 于 F, EA= 1, PO= 2, NO= 1,又 EA 与 PO 都与平面 ABCD 垂直， EF/ AB,1 F 为 PB 的中点， NF= 2OB= 1 , EF= 2,又 CD= 2, EF/ AB/ CD,四边形 DCFE 为平行四边形， DE/ CF,/ CF?平面 PBC, DE?平面 PBC, DE/平面 PBC/-当 M 与 E 重合时即可.(理)在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中，O 为底面正 方形的中心，过 A1、C1、B 三点的平面截去 长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD- A1C

23、1D1 及其三视图.(1) 求证：D1O /平面 A1BC1;(2) 是否存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ,与线段 BC1 交于点 P,与线段 CC1 交于 点 Q?若存在，求出线段 PQ 的长；若不存在，请说明理由.分析 要证 D1O /平面 A1BC1,vO 为 DB 的中点，取 A1C1 中点 E,只须证 D1E 綊 OB,或利用长方体为正四棱柱的特性，证明平面 ACD1 /平面 A1C1B,假设存在平面 A1PQ 丄 DC1,利用正四棱柱中， BC 丄平面 DCC1D1,故有 BC 丄 DC1,从而平面 A1PQ 与平面 BCC1 的交线PQ 丄 DC1，故只须在面

24、 DCC1D1 的边 CC1 上寻找点 Q,使 D1Q 丄 DC1 即可.解析连接 AC, AD1, D1C,易知点 0 在 AC 上.根据长方体的性质得四边形ABC1D1、四边形 A1D1CB 均为平行四边形， AD1 / BC1, A1B/ D1C,又 AD1?平面 A1C1B, BC1?平面 A1C1B,： AD1 /平面 A1C1B,同理 D1C/平面 A1BC1,又 D10H AD1= D1,根据面面平行的判定定理知平面ACD1 /平面 A1BC1./ D1O?平面 ACD1,. D1O /平面 A1BC1.假设存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ,与线段 BC1 交

25、于点 P,与线段 CC1 交于点 Q.连接 C1D,过点 D1 作 C1D 的垂线交 C1C 于点 Q,过点 Q 作 PQ/ BC 交 BC1 于点 P,连接 A1P, A1Q.C1D 丄 D1Q, C1D 丄 A1D1, D1QnA1D1= D1, C1D 丄平面 A1D1Q./ A1Q?平面 A1D1Q , C1D 丄 A1Q./ PQ/ BC/ A1D1,. C1D 丄 PQ, / A1QP PQ = Q,. C1D 丄平面 A1PQ.存在过点 A1 与直线 DC1 垂直的平面 A1PQ,与线段 BC1 交于点 P,与线段 CC1 交于点 Q.在矩形 CDD1C1 中，TRtAD1C1QRtAC1CD,17.(文)(2010东北师大附中)如图所示， 在棱长为 2的正方体ABCD- A1B1C1D1中, E、 F分别为 DD1、DB 的中点.(1)求证：EF/ 平面 ABC1D1;求证：EF 丄 B1C;求三棱锥 B1 EFC 的体积.D1C1C1C ，结合三视图得C1Q4，二 C1Q= 1.4/ PQ/BC,PQ_ C1Q_ 1BC=CC1_ 4，1 1PQ_ 4BC_2.解析(1)证明：连结 BD1，在 DD1B 中，E、F 分别为 D1D, DB 的中点，贝 U EF/ D1B,又EF?平面 ABC1D1, DIB?平面 ABC1D1, EF/平面 ABC1D1