北京理工大学数学专业数理统计期末试题07000233

1、课程编号：07000233 北京理工大学2011-2012学年第二学期2010级数理统计期末试题 A卷一、设总体X N（0,a2 ）, Xi,X2,Xm书是抽自总体X的简单随机样本，求常数 c使X2 Xo Xl得随机变量Y=c ,一一年服从F分布，指出分布的自由度并证明。Xml Xm2 - Xm.n二、设总体X N（R,。2 ）,其中仃2 =仃；为已知常数，Rw R为未知参数。X1,X2,Xn是抽自总体X的简单随机样本，x1,x2,xn为相应的样本观测值。1 .求参数N的矩估计；22 .求参数N和EX的极大似然估计；_ nn_1 n3 .证明X r = Z aiXi ,其中 ai =1和X =

2、-Z Xi都是N的无偏估计； i 4idn y4上匕较两个无偏估计 X 和X的有效性并解释结果。、设总体X服从泊松分布P（，u）, X1,X2,X3是抽自总体X的简单随机样本，设假设检D =(X1,X2,X3)X M0.5。1 .验问题H0 :九=3; H1 :九=的否定域为31.求该检验问题犯第一类错误的概率；2.求该检验问题犯第二类错误的概率和在也下的功效函数。四、设总体 X的概率密度函数为f (x国 )= 2Z3 2 r一 x2er,x0 ,其中0 A 0为未知参数,0,x4（0.05），因此接受H。，即认为这颗骰子是均匀的。，其中o 0为未知参数。0, x 2X-2nX：， 21 .验

3、证26ln1Z2，进而验证20Z ln L12n ； 2i422 .考虑假设检验问题Ho ：e =仇；Hi :日,给出该检验问题的检验统计量以及水平为（0 1 ）的检验的否定域（拒绝域）；3 .求参数e的一个置信系数为1 口（0 口 0的否定域为：D =(X1,X2，川,X9 1X cL1 .确定常数c,使得该检验犯第一类错误的概率为0.05;2求该检验的功效函数和犯第二类错误的概率，结果用标准正态分布函数*(L)表示。五、设X1,X2,Xn是从总体X中抽取的简单随机样本，X的密度函数为2 e2f (x,e )=- xe 6 I 其中0 0为未知参数。2 .考虑假设检验问题Ho：e=1i Hi

4、 ：0 1 ,给出该检验问题的检验统计量以及水平为口（0 口 1 ）的检验的否定域（拒绝域）；3 .求参数日的一个置信系数为1 一口（0 ct 1 ）的置信区间。附表:巾（1.645 ） = 0.95仲（1.96 ）= 0.975。课程编号：07000233 （MTH17172）北京理工大学2014-2015学年第二学期2013级数理统计期末试题 A卷一、（15分）设总体X|_l N（此仃2 ）,其中NWR,。2。，X1,X2,.Xn是抽自总体X的. nn2简单随机样本，求：（1） EX,DX ,ES2,DS2,其中 X =-Z Xi,S2 = z （Xi -X ）;n i 4n -1 i一1

5、 XX. Xc 22 X3 X3（2）若N=0,n =3,求Y =1勺+能 服从的分布，并指出其自由度；（3）在（2）的条件下求 P（Y 0均未知，X1,X2, 1Xn是抽自总体X的简单随机样本，求参数 0t,K的矩 估计；2.设总体X的密度函数为：f （x* ）=3ef） x沏，其中日w R未知，X1，X2,Xn是 抽自总体X的简单随机样本，求 日和EX2的极大似然估计（MLE）。2 -、（10 分）设 X1,X2, 1Xni.LdL U（e,20 ）, 0 0未知，证明：= X 是e 的无偏估3计和相合估计。四、（10分）设总体XL N（N,9）, Xi,X2, Xn是抽自总体X的简单随机

6、样本，为使 R的置信水平为95%的置信区间的长度不超过 1.96,样本容量n至少为多少？五、（15分）总体X服从两点分布B（1,p）, X1,X2,X3是从总体X中抽取的简单随机样本，设假设检验问题 H0: p =0.5H1 : p = 0.2的一个检验的否定域为：D =1 X1,X2,X3 X1 X2 X3 二 1）。求：1.该检验犯第一类错误的概率；2该检验犯第二类错误的概率；3.在H1下的功效函数。六、（30分）设Xi,X2, Xn是从总体 X中抽取的简单随机样本，且 X的密度函数为f （x,8 ）=呢%毋）x） 卜 其中c A 0已知，日A 0未知。1 .验证样本分布族是指数族，并写出

7、其自然形式（标准形式）n2 .证明T（X ）= ln Xi是充分完全（完备）统计量； i 1X-2nX:,23 .验证26ln|_l Z2 ,进而验证2日 ln L12n ；Ci4c .1 n Xi 0 1 ,4 .利用充分完全统计量法和C-R不等式法证明 _ lnL是的一致最小万差无偏估计;n i4 c v5 .考虑假设检验问题 Ho：8=2Hi：82,给出该检验问题的检验统计量以及水平为口（0 口M1 ）的检验的否定域（拒绝域）；6 .求参数9的一个置信水平为1 口（0 口 1 ）的置信区间。附表：4（1.96 ）=0.975#（1.645）=0.95。课程编号：07000233 （MTH

8、17172）北京理工大学2015-2016学年第二学期2014级数理统计期末试题A卷一、设总体X|_N（0,1）, X1,X2, 1X6是抽自总体X的简单随机样本，确定常数c使得X. XX随机变量T =c . X1 X2 X3服从t分布。,X2 X52 X：二、设总体X的概率分布为：X123P2Ot2口（1 -a ）/2其中0co（ 1为未知参数，Xi,X2,X6是抽自总体 X的简单随机样本，样本值分别为 1,2,1,3,2,1,求参数口的矩估计值和极大似然估计值。三、设X1,X2, 1Xn是来自总体 X的简单随机样本，且总体均值 EX = N，总体方差DX =仃2。nn1 .证明X和W= a

9、iXi （其中工叫=1）都是N的无偏估计；2.比较X和W的有效性。 i =1i =1四、设有参数分布族F由Bw。,其中。是参数空间，X1,X2,.Xn是从上述分布族中 抽取的样本。叙述参数 6的置信区间的定义，并解决下面的问题：设总体 X LI N （巴32 ）, 从总体中抽取容量为 36的简单随机样本，若以一区-0.98,X +0.98作为R的置信区间，求置信水平。五、（15分）设总体X服从正态分布N （出1）, X1JILX9是从总体X中抽取的简单随机样,1 .n本，X = Xi是样本均值。考虑假设检验问题H0:R=01 H1:R=1,拒绝域为：n i 1Di =（Xi,III,X9 J3

10、X u0.025）或者 D2 Xi,III,X9）3X U0.051.求相应于这两个拒绝域的犯第一类错误的概率a1,a2；2求相应于这两个拒绝域的犯第二类错误的概率3,日2。f （x,9 ） = 2取6）x其中0 0未知。1 .验证样本分布族是指数族，并写出其自然形式（标准形式）；n2 .证明T（X ）= ln Xi是充分完全（完备）统计量，并求 ET（X ）;i 1n3.验证 49 ln Xi |_ 7-f ,进而验证 49Z ln Xi 吟n ;i 1 ,是的一致取小方差无偏估计;2口1 1、，口，行1，、，4 .利用充分完全统计量法和C-R不等式法证明一 lnXin i45 .求参数6的一个置信水平为1 口（0 口M1 ）的置信区间；6 .考虑假设检验问题 Ho：100 H