二次函数铅垂高演练(答案、解析汇报、总结材料)

1、实用文档二次函数铅垂高如图12-1 ,过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC的“水平宽” (a),中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC的“铅垂高(h) ” .我们可得出一种计算三角形面积的新方法:即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图12-2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.(1)求抛物线和直线 AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA, PB,当P点运动到顶点C时，求 CAB的铅垂高CD及S4AB ；(3)是否存在一点说明理由.P,使空 PAB=

2、98例1解：(1)设抛物线的解析式为：y1=a(x-1)2+4 1分把A (3,0)代入解析式求得 a = -1所以 y1 = -(x -1)2 + 4 = -x2 + 2x + 3 3分设直线AB的解析式为：y2 = kx + b由y1 二x2+2x + 3求得b点的坐标为(0,3)4分把 A(3,0), B(0,3)代入 y2 =kx+b 中 解得：k = -1, b =3所以y 2 = x + 36分(2)因为C点坐标为(1 ,4)所以当 x= 1 时，y1=4, y2 = 2所以 CD = 4-2= 2 8分C110分S方AB =5 M3M 2 =3(平万单位)(3)假设存在符合条件的

3、点P,设P点的横坐标为x, 4PAB的铅垂高为h,则 h = y1 _ y2 =(-x2 +2x +3) _(_x + 3) = _x2 +3x 12分由 S PAB= SACAB81 29 _伶：一 3 (-x 3x) =- 32 8化简彳导:4x2 -12x 9 = 03 解得，x = 323 2将x =万代入y1=x+2x+3中，. 一 3 15斛信P点坐标为 (,-) 14分总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。例2(2010广东省中考拟)如图10,在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2+bx + c(a a 0)的图象的

4、顶点为 D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B1点的坐标为(3, 0), OB= OC , tan/ACO=-.3(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C D两点的直线，与 x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使F的坐标；若不存以点A G E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点在，请说明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M N两点，且以MN/直径白圆与x轴相切,求该圆半径的长度.(4)如图11,若点G (2, y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P点的坐标

5、和 APG的最实用文档1)方法一：由已知得：C (0, 3), A ( 1, 0)a - b c = 049a +3b + c = 0将A、B、C三点的坐标代入得 lc = -3a -14 b = 2解得：f = -32所以这个二次函数的表达式为：y=x -2x-3方法二：由已知得：C (0, 3), A(1, 0)设该表达式为：y =a(x 1)(x -3)将C点的坐标代入得：a = 12所以这个二次函数的表达式为：y=x -2*-3(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)-x -3(2)方法一：存在，F点的坐标为(2, 3)理由：易得D (1, 4),所以直线CD的解析式为：y

6、 =，E点的坐标为(一3, 0)由 A、C、E、F 四点的坐标得： AE= CF= 2, AE/ CF 以A C E、F为顶点的四边形为平行四边形-x -'3，存在点F,坐标为(2, 3)方法二：易得D (1, 4),所以直线CD的解析式为：y .E点的坐标为(一3, 0) 以A C E、F为顶点的四边形为平行四边形 .F 点的坐标为(2, 3)或(一2, 3)或(4, 3)代入抛物线的表达式检验，只有(2, 3)符合标准文案，存在点F,坐标为(2, 3)(3)如图，当直线 MN在x轴上方时，设圆的半径为1 . 17R 二代入抛物线的表达式，解得2当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为

7、r (r>0),代入抛物线的表达式，解得-1、17r 二21.17-1.17圆的半径为 2 或 2(4)过点P作y轴的平行线与 AG交于点Q,易得G (2, 3),直线 AG为 y = -X -12PQ= -XX 22(X, X -2x3),则 Q(X, X1),S ,APG1 ,2=S.APQ ' S.GPQ = 2(-X X 2) 31X 二当 2时， APG的面积最大1215i S&PG的最大值为27此时P点的坐标为124/，8随堂练习1. (2010江苏无锡)如图，矩形 ABC而顶点A、B的坐标分别为(-4,0)和 (2, 0), BC=2J3.设直线AC与直线x

8、=4交于点E.(1)求以直线x=4为对称轴，且过 C与原点。的抛物线的函数关系式，并说明此抛物 线一定过点E;(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为 N, M是该抛物线上位于 C N之间的一 动点，求 CMN!积的最大值.【答案】解：(1)点C的坐标(2,2垂).设抛物线的函数关系式为y =a(x4)2 +m16am =0,38,3a =-,m =.则、4a+m=2M3 ,解得 63,328.3y 二(x - 4) -所求抛物线的函数关系式为63 -4k b = 0设直线AC的函数关系式为y =kx+b，则l2k+b=2，3,解得直线AC的函数关系式为3 ，点E的坐标为“ 8、3、(4丁

9、yT(4.4)2把x=4代入式，得 633.此抛物线过E点.(2) (1)中抛物线与x轴的另一个交点为 N (8, 0),设M (x, y),过M作MGL x轴于G,贝U SACMN=S MNG+螂形 MGBCS41(8 -x)|_y 1(y 2 .3)(x -2) - (8 -2) 2 . 3CBN=2223y 3x-8.3 =3(-x 6x 3 x) f, 3x -8 . 3 = - x2 , 53x -8：/332 329.3(x5) 一当x=5时，SA CMNt最大值 2课下练习1.(本题满分12分)已知：如图一次函数 y= "2 x+ 1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B

10、;二次函数y= ：x2+bx+c的图象与一次函数 y=：x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1, 0)(1)求二次函数的解析式；(2)求四边形BDEC的面积S;在x轴上是否存在点 P,使得 PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 所有的点P,若不存在，请说明理由.第24题图13. (2010山东临沂)如图，二次函数y =x2+ax+b的图象与x轴交于(-W，) ,B(2,0)两点，且与y轴交于点C .(1)求该抛物线的解析式，并判断&ABC的形状；(2)在x轴上方的抛物线上有一点 D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出 D点的

11、坐标； (3)在此抛物线上是否存在点 P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形?【答案】解：根据题意，将1A（2 ,0）,B （2,0）代入 y=-x2+ax+b 中,11a b = 0,4 2得-4 2a b =0.3a = 一,2,I全品中考网解这个方程，得b=1.3所以抛物线的解析式为 y=-x2+ 2x+1.当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0, 1）。J5所以在 AOC 中，AC= J0A2 +OC2 = 2 在BOC 中，BC= J0B2+2 =石.1 9 52 =AB=OA+OB= 22 .25=AB直线AP可以看作是由直线 AC平移得到的，所以设图1因为 AC2

12、+BC2= 4所以 ABC是直角三角形。但1(2)点D的坐标是2 -'.(3)存在。由(1)知，AC ± BC,若以BC为底边，则BC/AP,如图(1)所示，可求得直线BC的解析式为1,y 二 一一 x 121,y =x b直线AP的解析式为2,1111y=一X -311X -即-x2+2x+1= 24.将A （ 2 ,0）代入直线AP的解析式求得b= 4 ,所以直线ap的解析式为24 .因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等,51X1- TX2二一二解得22（不合题意，舍去）图253当 X= 2 时，y= 2 .53所以点P的坐标为（2 ,2）.若以AC

13、为底边，则BP/AC,如图（2）所示，可 求得直线AC的解析式为y = 2x 1 .直线BP可以看作是由直线 AC平移得到的，所以设直线bp的解析式为y=2x+b,将B （2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4，所以直线 BP的解析式为y=2x-4.因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P3的纵坐标相等，即-x2+ 2 x+1=2x-4Xi = -,X2 = 2解得 2（不合题意，舍去）.5当 x=- 2 时，y=-9.5所以点P的坐标为（-2,-9）.535综上所述，满足题目的点 P的坐标为（2 ,12.3-X X 42（本题10分）如图，已知二次函数y= 42 的图象与y轴交于点A

14、,与X轴交于B、C两点，其对称轴与 x轴交于点D,连接AC.(1)点A的坐标为，点C的坐标为 ;(2)线段AC上是否存在点 巳使得4EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接 PA、PC,若所得APAC的面积为S, 则S取何值时，相应的点 P有且只有2个？.解：(1) A (0, 4) , C (8, 0) . 2分(2)易得D (3, 0), CD=5.设直线AC对应的函数关系式为 y=kx+b,则 b=4,8k b =0.分,1解得心一万,b =4.1y = x +4 2当 DE = DC 时，OA=4, OD=3. . DA=5, E (0, 4).当ED=EC时，可得E2 ( U , 5 ) . 5分24当CD = CE时，如图，过点 E作EG，CD,则4CEG sCAO,，史=%.=匹.OA OC AC即 EG =75，CG=2石，'E3(8-2石，而)，综上，符合条件的点E有三个：匕(。，4), e2 (11, 5), E3(82V5，45,(3)如图，过P作PHLOC,垂足为H,交直线AC于点Q.设 P ( m,m2 + m +4), 则 Q ( m , _1 m +4)-422当0<m <8时，PQ=(m2+3 m+4)-(m+4)=m2+2