带电粒子在磁场中运动的极值问题

1、题型题型3 3 带电粒子在磁场中运动的极值问题带电粒子在磁场中运动的极值问题【例例3 3】 如图如图7 7所示所示, , 匀强磁场匀强磁场的磁感应强度为的磁感应强度为B B, ,宽度为宽度为d d, ,边界边界为为CDCD和和EFEF. .一电子从一电子从CDCD边界外边界外侧以速率侧以速率v v0 0垂直匀强磁场射入垂直匀强磁场射入, ,入射方向与入射方向与CDCD边界间夹角为边界间夹角为. .已知电子的质量为已知电子的质量为m m, ,电荷量为电荷量为e e, ,为使电子能从磁场的另一侧为使电子能从磁场的另一侧EFEF射射出出, ,求电子的速率求电子的速率v v0 0至少多大至少多大? ?

2、图图7 7思维导图思维导图解析解析 当入射速率当入射速率v v0 0很小时很小时, ,电子会在磁场中转动电子会在磁场中转动一段圆弧后又从一段圆弧后又从CDCD一侧射出一侧射出, ,速率越大速率越大, ,轨道半径轨道半径越大越大, ,当轨道的边界与当轨道的边界与EFEF相切时相切时, ,电子恰好不能从电子恰好不能从EFEF射出射出, ,如图所示如图所示. .电子恰好射出时电子恰好射出时, ,由几何知识可由几何知识可得得: :r r+ +r rcoscos= =d d又又r r= =由得由得v v0 0= =故电子要射出磁场时速率至少应为故电子要射出磁场时速率至少应为答案答案Bem0v)cos1

3、(mBed)cos1 (mBed)cos1 (mBed规律总结规律总结1.1.解决此类问题的关键是解决此类问题的关键是: :找准临界点找准临界点. .2.2.找临界点的方法是找临界点的方法是: :以题目中的以题目中的“恰好恰好”“”“最大最大”“”“最高最高”“”“至少至少”等词等词语为突破口语为突破口, ,借助半径借助半径R R和速度和速度v v（或磁场（或磁场B B）之间的约）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析束关系进行动态运动轨迹分析, ,确定轨迹圆和边界的关确定轨迹圆和边界的关系系, ,找出临界点找出临界点, ,然后利用数学方法求解极值然后利用数学方法求解极值, ,常用结论常用结论如下

4、如下: :（1 1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切动的轨迹与边界相切. .（2 2）当速度）当速度v v一定时一定时, ,弧长（或弦长）越长弧长（或弦长）越长, ,圆周角越圆周角越大大, ,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长. .（3 3）当速率）当速率v v变化时变化时, ,圆周角大的圆周角大的, ,运动时间越长运动时间越长. .题型题型1 1 带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在有界磁场中的运动【例例1 1】 在以坐标原点在以坐标原点O O为圆心、半径为为圆心、半径为r r的圆形

5、的圆形区域内区域内, ,存在磁感应强度大小为存在磁感应强度大小为B B、方向垂直于、方向垂直于纸面向里的匀强磁场纸面向里的匀强磁场, ,如图如图4 4所示所示. .一个不计重力的带电一个不计重力的带电粒子从磁场边界与粒子从磁场边界与x x轴的交轴的交点点A A处以速度处以速度v v沿沿- -x x方向射入方向射入磁场磁场, ,它恰好从磁场边界与它恰好从磁场边界与y y轴的交点轴的交点C C处沿处沿+ +y y方向飞出方向飞出. .题型探究题型探究图图4 4（1 1）请判断该粒子带何种电荷）请判断该粒子带何种电荷, ,并求出其比荷并求出其比荷 . .（2 2）若磁场的方向和所在空间范围不变）若磁

6、场的方向和所在空间范围不变, ,而磁感应而磁感应强度的大小变为强度的大小变为B B,该粒子仍从该粒子仍从A A处以相同的速度射处以相同的速度射入磁场入磁场, ,但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了变了6060角角, ,求磁感应强度求磁感应强度B B多大？此次粒子在磁多大？此次粒子在磁场中运动所用时间场中运动所用时间t t是多少？是多少？思路点拨思路点拨 如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹如何确定带电粒子的圆心和运动轨迹? ?磁磁场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系场圆的半径与轨迹圆的半径有怎样的定量关系? ?mq解析解析 （1 1）由粒子的运行轨迹

7、）由粒子的运行轨迹, ,利用左手定则可利用左手定则可知知, ,该粒子带负电荷该粒子带负电荷. .粒子由粒子由A A点射入点射入, ,由由C C点飞出点飞出, ,其速度方向改变了其速度方向改变了9090, ,则粒子轨迹半径则粒子轨迹半径R R = =r r又又q qv vB B= =则粒子的比荷则粒子的比荷（2 2）粒子从）粒子从D D点飞出磁场速度点飞出磁场速度方向改变了方向改变了6060角角, ,故故ADAD弧所弧所对圆心角为对圆心角为6060, ,如右图所示如右图所示. .粒子做圆周运动的半径粒子做圆周运动的半径BrmqvRm2vR R=r rcot 30cot 30= = r r又又R

8、R=所以所以B B= = B B粒子在磁场中运行时间粒子在磁场中运行时间t t= =答案答案 （1 1）负电荷）负电荷 （2 2）3Bqmv33v3326161rBqmTBrvv33 rB33SvvBPSvSQPQQ量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态PovBdabcvB量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）V0OabcdV0Oabcd300600MNBO2RR2RMNO2RR2RMNO2R2R2RMNOR2R2RMNOD.A.B.C.2RR2RMNO变式练习变式练习2 2

9、 电子质量为电子质量为m m, , 电荷电荷量为量为e e, ,从坐标原点从坐标原点O O处沿处沿xOyxOy平面平面射入第一象限射入第一象限, ,射入时速度方向不射入时速度方向不同同, ,速度大小均为速度大小均为v v0 0, ,如图如图8 8所示所示. .现在某一区域加一方向向外且垂直于现在某一区域加一方向向外且垂直于xOyxOy平面的匀平面的匀强磁场强磁场, ,磁感应强度为磁感应强度为B B, ,若这些电子穿过磁场后都若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏能垂直射到荧光屏MNMN上上, ,荧光屏与荧光屏与y y轴平行轴平行, ,求求: :（1 1）荧光屏上光斑的长度）荧光屏上光斑的长度.

10、 .（2 2）所加磁场范围的最小面积）所加磁场范围的最小面积. .图图8 8解析解析 （1 1）如右图所示）如右图所示, ,求光斑的长度求光斑的长度, ,关键是找关键是找到两个边界点沿弧到两个边界点沿弧OBOB运运动到动到P P, ,初速度方向沿初速度方向沿y y轴轴正方向的电子正方向的电子, ,初速度方向沿初速度方向沿x x轴正方向的电子轴正方向的电子, ,沿沿弧弧OCOC运动到运动到Q Q. .设粒子在磁场中运动的半径为设粒子在磁场中运动的半径为R R, ,由由牛顿第二定律得牛顿第二定律得: :q qv v0 0B B= =m m , ,即即R R= =从图中可以看出从图中可以看出PQPQ

11、= =R R= =R20vBem0vBem0v（2 2）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转）沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏后都能垂直打到荧光屏MNMN上上, ,所加最小面积的磁场所加最小面积的磁场的边界是以的边界是以O O为圆心、坐标为（为圆心、坐标为（0,0,R R）、半径为）、半径为R R的圆的一部分的圆的一部分, ,如图中实线包围面积如图中实线包围面积. .所以磁场范所以磁场范围的最小面积围的最小面积S S= = R R2 2+ +R R2 2- - R R2 2= =（ +1+1）（）（ ）2 2答案答案 （1 1）（2 2）（ +1+1）（）（ ）24

12、3412Bem0vBem0v2Bem0v5.5.如图如图1414所示所示, ,边长为边长为L L的等边三角形的等边三角形ABCABC为两个有为两个有界匀强磁场的理想边界界匀强磁场的理想边界, ,三角形内的磁场方向垂三角形内的磁场方向垂直纸面向外直纸面向外, ,磁感应强度大小为磁感应强度大小为B B, ,三角形外的磁三角形外的磁场场( (足够大足够大) )方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里, ,磁感应强度大小磁感应强度大小也为也为B B. .把粒子源放在顶点把粒子源放在顶点A A处处, ,它将沿它将沿A A的角平的角平分线发射质量为分线发射质量为m m、电荷量为、电荷量为q q、初速度为、初速度为

13、v v= = 的负电粒子的负电粒子( (粒子重力不计粒子重力不计).).求求: :mqBL图图1414(1)(1)从从A A射出的粒子第一次到达射出的粒子第一次到达C C点所用时间为多少点所用时间为多少? ?(2)(2)带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期带电粒子在题设的两个有界磁场中运动的周期. .解析解析 (1)(1)带电粒子垂直进入磁场带电粒子垂直进入磁场, ,做匀速圆周运做匀速圆周运动动q qv vB B= =T T= =将已知条件代入有将已知条件代入有r r = =L L从从A A点到达点到达C C点的运动轨点的运动轨迹如图所示迹如图所示, ,可得可得qBm2rm2vt tACA

14、C= = T Tt tACAC= =(2)(2)带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第带电粒子在一个运动的周期运动轨迹如第(1)(1)问图所示问图所示. .粒子通过圆弧从粒子通过圆弧从C C点运动至点运动至B B点的时间为点的时间为t tCBCB= =带电粒子运动的周期为带电粒子运动的周期为T TABCABC=3(=3(t tACAC+ +t tCBCB) )解得解得T TABCABC= =答案答案 (1) (1) (2)(2)61qBm3qBmT3565qBm6qBm3qBm66.6.如图如图1515所示所示, ,在直角坐标系的第在直角坐标系的第象限和第象限和第象限中象限中的直角三角形区域内的

15、直角三角形区域内, ,分布着磁感应强度均为分布着磁感应强度均为B B=5.0=5.01010-2-2 T T的匀强磁场的匀强磁场, ,方向分别垂直纸面向外和向里方向分别垂直纸面向外和向里. .质质量为量为m m=6.64=6.641010-27-27 kg kg、电荷量为、电荷量为q q=+3.2=+3.21010-19-19 C C的的 粒子粒子( (不计不计 粒子重力粒子重力),),由静止开始经加速电压为由静止开始经加速电压为U U=1 205 V=1 205 V的电场的电场( (图中未画出图中未画出) )加速后加速后, ,从坐标点从坐标点M M(-4, )(-4, )处平行于处平行于x

16、x轴向右运动轴向右运动, ,并先后通过匀强磁场并先后通过匀强磁场区域区域. .图图15152(1)(1)请你求出请你求出 粒子在磁场中的运动半径粒子在磁场中的运动半径. .(2)(2)请你在图中画出请你在图中画出 粒子从直线粒子从直线x x=-4=-4到直线到直线x x=4=4之间的之间的运动轨迹运动轨迹, ,并在图中标明轨迹与直线并在图中标明轨迹与直线x x=4=4交点的坐标交点的坐标. .(3)(3)求出求出 粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间粒子在两个磁场区域偏转所用的总时间. .解答解答 (1) (1) 粒子在电场中被加速粒子在电场中被加速, ,由动能定理得由动能定理得qUqU= =

17、m mv v2 2 粒子在磁场中偏转粒子在磁场中偏转, ,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得q qv vB B= = 联立解得联立解得r r= =21rmv2qmUB21= = m m= = 1010-1-1 m m(2)(2)如下图所示如下图所示1927102 . 320511064. 6205. 012(3)(3)带电粒子在磁场中的运动周期带电粒子在磁场中的运动周期T T= = 粒子在两个磁场中偏转的角度均为粒子在两个磁场中偏转的角度均为 , ,在磁场中的运动在磁场中的运动总时间总时间t t= = =6.5=6.51010-7-7 s sqBm24qBmT241s105102 . 32106

18、4. 614. 321927反思总结反思总结返回返回 小结1. 1.带电粒子进入有界磁场带电粒子进入有界磁场, ,运动运动轨迹为一段弧线轨迹为一段弧线. .2.2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹3.3.注意圆周运动中的有关对称规律注意圆周运动中的有关对称规律: :(2) (2) 粒子进入单边磁场时粒子进入单边磁场时, ,入射速度与边界夹角等于出射速入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角度与边界的夹角; ;(1) (1) 在圆形磁场区域内在圆形磁场区域内, ,沿径向射入的粒子沿径向射入的粒子, ,必沿径向射出必沿径向射出. .O3rrO4rrO2rrO1rr

19、OS运动轨迹赏析运动轨迹赏析O1O2O3LdaaOxyvvP075030甲甲乙乙tB-B0B00T2TaaOxPv075030O1aaOxPv075030O1O3O2oABv0o1rrPQaaBv0v0v0 一匀强磁场，磁场方向垂直于一匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面，在平面，在xy平面上，磁场分布在以平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆为中心的一个圆形区域内。一个质量为形区域内。一个质量为m、电荷量为、电荷量为q的带的带电粒子，由原点电粒子，由原点O开始运动，初速度为开始运动，初速度为v，方向沿方向沿x正方向。后来，粒子经过正方向。后来，粒子经过y上的上的P点，点，此时速度方向与此时速度方向

20、与y轴的夹角为轴的夹角为30，P到到O的的距离为距离为L，如图所示。不计，如图所示。不计 重力影响。求磁场的磁感应重力影响。求磁场的磁感应 强度强度B的大小和的大小和 xy平面上磁平面上磁 场区域的半径场区域的半径R。30LxyOPv由几何关系知由几何关系知 r=L/3解得解得 30LxyOPvQOArvmqvB2qLmvB3又由几何关系知磁场区域的半又由几何关系知磁场区域的半径为径为 LR331212月月2323日作业日作业1.1.如图如图1414所示所示, ,边长为边长为L L的等边三角形的等边三角形ABCABC为两个有为两个有界匀强磁场的理想边界界匀强磁场的理想边界, ,三角形内的磁场方向垂三角形内的磁场方向垂直纸面向外直纸面向外, ,磁感应强度大小为磁感应强度大小为B B, ,三角形外的磁三角形外的磁场场( (足够大足够大) )方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里, ,磁感应强度大小磁感应强度大小也为也为B B. .把粒子源放在顶点把粒子源放在顶点A A处处, ,它将沿它将沿A A的角平的角平分线发射质量为分线发射质量为m m、电荷量为、电荷量为q q、初速度为、初速度为v v= = 的负电粒子的负电粒子( (粒子重力不计粒子重力不计).).求求: :mqBL图图1414(1)(1)从从A A射