统计规律的公理性特征

1、第14卷第1期2 ()()()年 3 月Vol. 14 No. 11 arch 20(X)山西师范大学学报(自然科注版)Journal of Shanxi Tea(hers U niversityN atural Science Edit ion文章编号：1009-4490(2000) 01-(X) 15-06统计规律的公理性特征刘新建(山西师范大学经济研究所，山西临汾()41004)摘要：统计规律ri被认为是统计学的基本研究对彖，但是尚未有人对此概念给出过个规 范的科学定义.本文通过对统计规律的数量性质的深入分析得出结论：各类统计规律都町规 结为平均数规律”，并可表述为个大数公理这种结论进-

2、步表明，对科学真理的实践或实 验检验是一个无限的过程.关键词：统计规律;大数定律；公理中图分类号：()14)； ()212. 1文献标识码:A1问题的提出关丁概率论与数理统计的研究对彖，几乎众口一辞，认为是随机现象的统计规律性, 如：概率论与数理统计就是研究随机现彖统计规律的一门数学学科小概率论就是从 数量的角度来研究大量的随机现彖，并从屮获得这些随机现彖所服从的规律”这里就 产生了一些问题第一,每一门实证学科毫无疑问都要研究属于本领域的随机现彖，那么 数学的研究与它们有何不同呢？根据现代哲学与逻辑学的观点，我们认为：数学的研究对 彖是从现实世界屮抽象出来的一组符号概念的逻辑关系；它在实证科学

3、研究屮所起作用 的本质是提供形式描述方法和关系运算方法从I仏作为数学分支的概率论与数理统计就 是以研究从现实随机现象屮抽象岀来的基本空间、事件和概率等的基本关系及英运算性 质为基本任务的数学学科，英理论内容就是关r基本空间、事件、概率等的基本关系与运 算性质的数学理论(定义、公理和定理).第二，随机现象的基本特点就是存在统计规律，那么究竟什么是统计规律呢？在统计学中有大数定律如下：Xn、 6定义I131若乩比，,乩是随机变量序列，如果存在常数列ai,a2,使对 任意的0,有收稿日期：1999-09-()3作者简介：刘新建(19634，男，山曲稷山人山西师范大学经济所副教授，工学閒士，主要从事数

4、量 经M-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, htt 第1期刘新建：统计规律的公理性特征19成立，则称随机变量序列0服从大数定律.贝努里定理是所述这类大数定律中著名的一个设丛是重贝努里试验中事件人出（0p（X有liinP“8显然，这种大数定律并不能告诉我们：为什么每次试验屮A出现的概率是卩以及当P）=p时,为什么服从二项式分布这里的大数定律，实际上仅是数学的演绎，并井实证的 r n规律 就是说，只要我们给出了随机变量序列（当然是包含足够的关j:其分布的信息），就 可以证明它们

5、是否有上述定义和定理的结论成立但在实证研究中，我们实际上是通过对 实际数据的分析来论证统计规律的存在的.同时，教科书中又这样描述统计规律:在一定条件组实现时，有多种可能的结果发生, 事前人们不能预言将出现哪种结果，但大量重复观察时，所得的结果却呈现某种规律，称 为随机现彖的统计规律性宀这种描述显然是不符合科学规范的，有含糊英词Z嫌.如某 种规律”与 统计规律性”是何关系，与概率又有何联系.卜而我们以概率的定义和假设检 验为基础，来立义统计规律,使统计规律以科学的规范性，成为通过实践可检验的，为此 首先讨论假设检验的解释问题.2假设检验解释数理统计中的假设检验包括参数和出参数两部分，卜而仅对参数

6、检验作出某些讨论. 一般参数检验系统可描述如下：设总体的分布函数F（x；0）屮含有未知参数8参数空间记作即则考虑如 下假设的检验问题H（）： 0Q）,HI： 6 Q- Q检验的法则一般如下：将样本空间分为互不相交的两部分及 芳 环 对ve eQ.令M（廖e ）二 P（, ,&）0 = E 划若令（；为否定假设Ho的否定域（又称拒绝域），则在假设检验的抉择屮可能犯两类错 误，其中第一类错误是：当时,&，）的观察值w,严）即犯拒真错 误;第二类错误是：当0 Q）时，（乩,&）的观察值（xi, *）念,即犯认假错误通常记犯第一类错误的概率为a即M（.力，&。二 P（,每）e 6e =幺而犯第二类错误

7、的概率为P（G,盗;| 庚 Q）二 1-P（G,忑瀏天 Q）=对于以上所述检验法则，通常都认为其基本思想是所谓小概率事件原理：小概率事件（或 概率很小的事件）在一次试验或观察中是儿乎不可能发生的”然而，仔细想一下上述确定 否疋城触辑股:稳i就会换吃奨卿鸟乐概率專榊驗槪咲:繼鑰性检鲫9它htt 的基本思想不过是在控制犯第一类错误的情况卜使犯第二类错误的概率尽可能小然而，即使对于这种确定否定域的逻辑，当我们考虑它的经验意义时，仍然是可置疑 的因为：当实际上0 Q）时,我们有何必要去考虑QE Q- 时犯错误的概率呢？我们不 可能同时犯两类错误，也就是，实际上两类错误是不相容的独立事件所以，这里有实际

8、经 验意义的问题是：当（）为真时，什么样的否定域是最合理的否定域？是使（X最小的否定 域吗？似乎也不妥，因为，对同一 0L在正态总体检验屮会有无穷多的对应区间而且，拒绝 域越小,（X越小实质上，这个问题的答案不能纯粹依赖丁数学演绎，而必须凭借经验判 断以正态总体均值双尾检验为例：/（）: p = A/oH 1： # H 小此种检验一是用来检验一批产品是否合格，二是用来检验生产工艺技术系统是否处丁正 常状态在假定总体为正态分布的情况卜；这两种检验必然要以4作为接受区间的屮心 值，而对（）的否定临界点通常是要在允许误差值以内在卩检验屮，样本标准差$越大 越容易被接受，这显然与质量检验的忖的相违背，

9、所以，在质量规格屮必须对标准差。有 所限制，从浙首先耍进行标准差或方差检验.再说显著性水平0（的经验意义对否定域券P（E,和）三刎 * 0）=（X.说明0 =为真时,（“的观察值落在内从Ifij H o被拒绝的可能性即概率为a l（u H o 为真时被接受的概率为1- a.所以，只要确实为真，当a为小数时，它一般不会被否 定从而，大的1- o（对接受（）有利由此，我们也可发现，仪并不是越小越好，而要看实际 工作的需要而定所以，一般来说，假设检验仅能告诉我们一种选择的概率情况，而如何选 择，耍借助J:经验如在教育与生物调查统计的均值双尾检验中,a定大一些，将使爪为 真时接受（）的概率较小（相对较

10、小，并不一定很小），而一旦接受，其犯错误的概率就比 较小，从而使研究结果更可信这显然不能用小概率原理思想来解释.3统计规律的定义定义2（基本统计规律）设才是一个随机试验&的可能结果是才在一次重贝 努里试验屮出现的次数，如果（1）在试验屮显的概率存在，即：存在0WpWl,使lim = pL8 121成立,或（2）做/V组重贝努里试验，假设:/.严二p在显著性水平（X下通过假设检验, 那么，我们就称随机试验E的结果人的发生服从统计规律而命题为在一次随机试验E 屮发生的概率为就是一个统计规律./ ”在这里称为，公认等于”,即定范围的专家的公认结论t这种逻辑正是现实社会逻辑（包括科学活动）的表现.Jo

11、urnal Electronic Publishing House. All rights reserved, htt 在实际屮，有两种类型的统计规律比如说，严/(x)是一个统计规律，那么在试验屮 它可能以两种方式之一出现:(1)在试验中二/(%) 一发生，就是完全准确的;(2)y= f (x)只是一种近似平均关系.由此，我们区分出如下两类统计规律，其中y-/(x)表示y和/(兀)之间存在某种逻 辑关系.定义3(第一类统计规律)在一项试验的结果屮，若有关系式y-/(x)在次同样 试验中(准确)成立的次数W服从定义2中的(1)或(2),则称产/(兀)为第一类统计规 律.设有一变量Q当y */)成

12、立时,肚1,当y吋不成立时,n= 0,则第一类统计规 律实际上是说。是一个服从某二点分布的随机变量而勺服从二点分布(,g) ”这一关于 其具体分布的命题则是下而的第二类统计规律.为了叙述第二类统计规律,我们首先给出统计成立”的定义.定义4(在统计意义下成立)设在试验E屮有变量y和先，若假设/o:yoc/(x)在显 著性水平(X下成立，则称试验E中在统计意义卜成立，简称统计成立.定义5(第二类统计规律)在一项试验的结果屮，若有关系式在N次同样 试验中统计成立的次数4服从定义5屮的(1)或(2)式，则说产/(兀)为第二类统计规 律.如某人的英语词汇量为6000.首先，测量词汇量的方法有多种，每种的

13、结果都会稍 有不同；其次,即使同种方法，在随机抽样的情况卜：每次测量的结果也会有所不同，并且 极少可能有一次的结果恰为6000所以，这个关丁词汇量的命题只能是一个第二类统计 规律.说明：(1) 在上述定义中，当x-N或”一1时，人们就可以抽彖岀一个决定性的定律:joc /(X),当然，这种抽彖也不是严格的数学逻辑，所以其结果就可能是一定精确度下的.(2) 在第二种统计规律中,N次试验屮的每一次一般是一个”重贝努里试验.在科学和生产社会实践中，大量存在的是第二类统计规律当试验结果与y-/(x)的 差别仅被解释为测量误羞时/(%)就被认为是一种确定性的规律或科学定律.如：当 定义2中的试验E是抛掷

14、一枚绝对均匀的硬币，那么，狂而在一次抛掷中朝上的概率为 | ”就是一个第二类统计规律大量的物理学定律在实验的意义下也只是一定椿度的第二 类统计规律.4大数定律与统计规律的关系数理统计学屮的大数定律实际上是一种统计规律的抽彖反映卜而分别对大数定律 的定义和贝努里大数定律予以说明.4. 1关于定义以皺斓附做渎1鯉砒爾护輛貌臧戦Hshg House. All rights reserved, httn令S“二+工8,则当定义I中的结论成立时，则应有这样一种统计规律:序列3“n 1和血具有相同的极限.但是这个统计规律不能用严格的数学逻辑来检验，只有用试验来检验，它可表述为下而的公理.公理1若随机变量序

15、列服从大数定律即存在常数列如，使对任意（X有/i 00 I （InI I ,成立,则有统计规律s”=和s”极限相同”其中h”是&的观测值.公理1的一个应用是均值估计”，即有下而的推论：推论 设Q是一个统计总体M是定义在Q上的单值函数芒表示F的总体均值，若 E是对Q的一个容量为“V 的简单随机抽样.则的样本均值;存在如下的统计规 律：Un的极限是F这个推论是用样本均值估计总体均值的理论依据，而估计的精度不仅与n有关，而 且与在Q上的分布标准差或方差有关对于相同的心总体方差越小，估计的柿度越高, 这就是区间估计的基本性质.相对J：大数定律，上述公理可称为大数公理.4.2关于贝努里大数定律构造变量&

16、使当A在第i次试验屮出现时&= L当A在第i次试验屮不出现时5=0,则贝努里大数定律是说随机变量序列引服从大数定律，而其相应的统计规律是的极限是这个统计规律可以作为用样本分布估计总体分布的理论依据,如估计球袋中各色球的分布比例同样，这种估计的精度与和总体分布有关对既定寺时,精度最 差,P越小，精度会越高.综上可推知：大数世律反映的是一种极限统计规律，这种极限可看作是实证极限 而作为统计规律，它可以直接通过增大试验次数来检验，也可检验下而的（N, e）命题, 即：有一序列浊对VO 0, 3 ?V 0,使当Q/V时,|s“-a|v”5最后结论进一步对以上所述各类统计规律分析，我们发现，它们都可归结

17、为平均数规律： 即，对每一个统计规律，都可以设计一个平均数变量，而这个平均数变量存在一个极限. 第二类统计规律的含义则可解释为y与/（兀）的某极限平均数变量Z间存在某种逻辑关系”.显然，这实际意味着所有统计规律都可表述为一个大数公理.1 觀約1:1纸檢律榊蜥丽鲫赴卷说輔利妙般廊学逊富誦第牆対翼理htt #山西师范大学学报（门然科学版）2000 年性;（2）对科学真理的实践或实验检验是一个无限的过程.致谢:本文曾和中国科学院系统科学研究所邹国华博士详细讨论，使本文的科学严密 性提高不少，特此致谢当然，本文的全部结论的科学性都由本文作者负责.参考文献：1中山大学数学力学系编.概率论与数理统计（上册

18、）M|.人民教育出版社,1980:3| 2|辞海.理科分册（上册）M |.上海辞书出版社，197& 5913华东师范大学数学系编.概率论与数理统计教程高等教育出版社,1983:1964中山大学数学力学系编.概率论与数理统计（上册）| M|.人民教育出版社,1980:2| 5J中山大学数学力学系编概率论与数理统计（卜册）M 人民教育出版社,1980: 165Axiom Characteristics of Statistic LawsLIU XinjianAbstract- There still be a lack of canonicalv scientific： definition to statistic law*alt ho ug h it is know n as the basic object of statistics all the time. T his paper concluds that every statistic： law can be thought as a law of average value and can be described as a big