数列倒序相加、错位相减、分组求和

1、数列倒序相加、错位相减、分组求和一选择题（共2 小题）1（ 2014 秋?葫芦岛期末）已知函数f （x） =xa 的图象过点（ 4， 2），令 an =，nN*，记数列a n 的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（）A 1B 1C 1D 12（ 2014 春?池州校级期末）已知函数f （ x） =x2?cos（x），若 an=f （ n） +f （ n+1），则ai =（）A 2015B 2014C 2014D 2015二填空题（共8 小题）3（ 2015 春?温州校级期中） 设，若 0 a 1，则 f（a）+f（ 1a）=，=4（ 2011 春?启东市校级月考）n+1Sn=1 2+3 4

2、+56+（ 1）?n，则S100+S200+S301=5（2010?武进区校级模拟）数列a n 满足， a1=1， Sn 是 a n 的前 n 项和，则 S21=n6（2012?新课标） 数列 a n 满足 an+1+（ 1） an=2n 1，则 a n 的前 60 项和为7（2015?张家港市校级模拟）已知数列n*a n 满足 a1=1， an+1?an=2（nN），则8（2009?上海模拟）在数列a n 中， a1=0， a2=2，且 an+2 an=1+（ 1） n（nN*），则s100=9（2012?江苏模拟）设数列a n 的前 n 项和为，则 |a 1|+|a 2|+ +|a n|=

3、10（ 2013 春?温州期中）等比数列 a n 中，若 a1=，a4= 4，则 |a 1|+|a 2|+ +|a n|=三解答题（共15 小题）11在数列 a n 中， a1= 18， an+1=an+2，求： |a 1|+|a 2|+ +| an|2（1）求证： a n 是等差数列（2）求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn13已知在数列a n 中，若 an=2n 3+，求 Sn 2n 114（2014?海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x +nx15求下列各式的值：（ 1）（ 2 1） +（ 22+2） +（ 23 3）+2 n+（ 1） nn ；23n（2） 1+2x+4x +

4、6x+2nx 16（ 2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列An（ n=0， 1，2，），其中 A0（ 0，0），An（ xn， n）（n=1，2，3，），并且线段 An An+1所在直线的斜率为n（ n=0， 1， 2，）2（ 1）求 x1， x2（ 2）求出数列 x n 的通项公式 xn（ 3）设数列 nx n 的前 n 项和为 Sn，求 Sn17（ 2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列 a n 的公差大于 0，a3，a5 是方程 x2 14x+45=0 的两根（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）记，求数列 b n 的前 n 和 Sn18（ 2014 秋?福州期末）已知等比数

5、例a n 的公比 q1，a1，a2 是方程 x2 3x+2=0 的两根，（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）求数列 2n?a n 的前 n 项和 Sn19（ 2011春?孝感月考）求和： Sn=（ x+） 2+（ x2+） 2+（ xn+） 220（ 2014春?龙子湖区校级期中）求数列 n × 前 n 项和 Sn21（ 2011秋?文水县期中）已知数列 a n 中， an=2n 33，求数列 |a n | 的前 n 项和 Snn22数列 a n 中， an=n?2 ，求 Sn23已知数列 a n 中， an=（ 2n1）?3n，求 Sn2234345624求数列1， a+a

6、 ， a +a +a ， a +a +a +a ，的前 n 项和 Sn数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一选择题（共2 小题）1（ 2014 秋?葫芦岛期末）已知函数a*f （x） =x的图象过点（ 4， 2），令 an =，nN，记数列a n 的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（）A 1B 1C 1D 1【解答】 解：函数 f （ x） =xa 的图象过点（4，2），a则： 4 =2，解得： a=，所以： f （ x） =，则：，=则： Sn =a1+a2+a n=，则：，故选： D2（ 2014 春?池州校级期末）已知函数2f （ x） =x ?cos（x），若 an

7、=f （ n） +f （ n+1），则ai =（）A 2015B 2014C 2014D 20152【解答】 解：函数f （ x） =x ?cos（x），若 an=f （ n） +f （ n+1），ai=（a1+a3+a5+a 2013）+（ a2+a4+a6+a 2014）=（3+7+11+4027）（ 5+9+13+4029）=2×1007= 2014故选： B二填空题（共 8 小题）3（ 2015 春?温州校级期中）设，若0a 1，则 f （ a） +f （ 1 a） =1 ，= 1007 【解答】 解：，当 0 a 1 时，f （ a） +f （1 a） =+=+=+=1，故

8、=1007×1=1007，故答案为： 1， 10074（ 2011 春?启东市校级月考） Sn =1 2+34+56+（ 1）n+1?n，则 S100+S200+S301= 1 【解答】 解：由题意可得， S100=1 2+34+99 100= 50，S200 =1 2+34+199 200= 100s301=1 2+34+299 300+301= 150+301=151s100+s200+s301= 50100+151=1故答案为：15（2010?武进区校级模拟）数列【解答】 解：， a1+a2=a2+a3 ，a1=a3，a n 满足， a1=1， Sn 是 a n 的前n 项和，

9、则S21=6a3+a4=a4+a5a1=a3=a5=a 2n 1，即奇数项都相等a =a =1211S21=（ a1+a2） +（ a3+a4）+（ a19+a20） +a21=10×+1=6答案： 66（2012?新课标）数列n项和为 1830a n 满足 an+1+（ 1） an=2n 1，则 a n 的前 60【解答】 解：，令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（ a4n+3+a4n+2）（ a4n+2 a4n+1） =2，a4n+2+a4n+4=（ a4n+4 a4n+3） +（ a4n+3+a4n+2） =16n+8，则 b

10、n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n 3+a4n2+a4n 1 +a4n+16=bn+16数列 b n 是以 16 为公差的等差数列，a n 的前 60 项和为即为数列b n 的前 15 项和11234b=a +a +a +a =10=18307（2015?张家港市校级模拟）n*已知数列 a n 满足 a1=1，an+1?an=2（nN ），则 S2012= 3×210063n*【解答】 解：数列 a n 满足 a1=1， an?an+1=2，nNn=1 时， a2 =2，a?a=2n， n2 时， a ?a =2n 1，nn+1nn1=2，数列 a n 的

11、奇数列、偶数列分别成等比数列，1006S2012=+=3×2 31006故答案为： 3×2 3n*8（2009?上海模拟）在数列a n 中， a1=0， a2=2，且 an+2 an=1+（ 1） （nN ），则 s100=【解答】 解：据已知当n 为奇数时，an+2 an=0? an=0，当 n 为偶数时， an+2 an=2? an=n，S100=0+2+4+6+100=0+50×=2550故答案为： 25509（2012?江苏模拟）设数列a n 的前 n 项和为，则 |a 1|+|a 2|+ +|a n|=leftbeginarrayl n2+4n 1，1n

12、2 n24n+7，n3 endarrayright.2【解答】解：Sn=n 4n+1，当 n2时， an 0，S1=|a 1 |= a1 =2， S2=|a 1|+|a2|= a1 a2=3；当 n3， |a 1 |+|a 2|+ +|a n|= a1 a2+a3 +an = 2S2+Sn=n2 4n+7 |a 1|+|a 2 |+ +|a n|= 故答案为：10（ 2013 春?温州期中）等比数列a n 中，若 a1=， a4= 4，则 |a 1|+|a 2 |+ +|a n|=2n 1frac12【解答】解：a1=， a4= 4，3即数列 a n 是以为首项，以2 为公比的等比数列则数列

13、|a n| 是以为首项，以2 为公比的等比数列故|a 1|+|a 2 |+ +|a n|=2 n 1 故答案为： 2n 1三解答题（共15 小题）11在数列 a n 中， a1= 18， an+1=an+2，求： |a 1|+|a 2|+ +|a n| 【解答】 解：数列 a n 中， a1= 18， an+1=an+2， a n 是首项为 18，公差为 2 的等差数列，an=18+（ n1）× 2=2n 20，由 an =2n200，n10，设a n 的前 n 项和为 Sn，2当 n10 时， |a 1|+|a 2|+ +|a n|= Sn= 18n+= n +19n当 n 10

14、时，： |a 1|+|a 2|+ +|a n|=S n 2S10=n2 19n+180 |a 1|+|a 2 |+ +|a n|= 12（2010?云南模拟）已知数列a n 的前 n 项和 Sn=25n 2n2（ 1）求证： a n 是等差数列（ 2）求数列 |a n| 的前 n 项和 Tn【解答】 解：（ 1）证明： n=1 时， a1=S1 =2322 4n，而 n=1n2时， an=Sn Sn1 =（ 25n 2n） 25 （ n1） 2（ n 1） =27适合该式于是 a n 为等差数列（ 2）因为 an =27 4n，若 an 0，则 n，当 1n6时， Tn=a1 +a2+an=2

15、5n 2n2，当 n7时， Tn =a1+a2+a6（ a7+a8+an）=S6 （ Sn S6） =2n2 25n+156，综上所知13已知在数列a n 中，若 an=2n 3+，求 Sn 【解答】 解：数列 a n 中，若 an=2n 3+，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，Sn=（ 1+1+3+5+（ 2n 3） +（ +）=+=n（ n 2）+12=n 2n+114（2014?海淀区校级模拟）求和： Sn=1+2x+3x2+nx n 1【解答】 解：当 x=0 时， Sn=1；当 x=1 时， Sn=1+2+3+n=；2n 1当 x1，且 x0时， Sn=1+2x+3x +n

16、x，xSn =x+2x2+3x3+nxn 23n 1n（1 x） Sn=1+x+x +x +x nxx=0 时，上式也成立， x1Sn=15求下列各式的值：（ 1）（ 2 1） +（ 22+2） +（ 23 3）+2 n+（ 1） nn ；23n（ 2） 1+2x+4x +6x +2nx 【解答】 解：（ 1）当 n 为奇数时，1+23+（ 1） nn= n=，n23nn+1又 2+2 +2 +2 +=2 2，记 Sn =（ 2 1） +（ 22+2） +（ 23 3）+2 n+（ 1） nn ，Sn=；（2）记 Sn=1+2x+4x 2+6x3+2nx n，则当 x=1 时， Sn=1+2+

17、4+6+2n=1+2?=n 2+n+1；当 x1时， xSn=x+2x2+4x3+2nx n+1，（ 1 x）Sn=1+x+2（ x2+x 3+x n） 2nx n+1n+1=1+x+2? 2nx，Sn=+2?；综上所述， Sn=16（ 2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列An（ n=0， 1，2，），其中 A0（ 0，0），An（ xn， n）（n=1， 2，3，），并且线段 An An+1所在直线的斜率为n（ n=0， 1， 2，）2（ 1）求 x1， x2（ 2）求出数列 x n 的通项公式 xn（ 3）设数列 nx n 的前 n 项和为 Sn，求 Sn0【解答】 解：（ 1）

18、A0（ 0，0）， A1（ x1 ，1）， A2（ x2， 2）直线 A0A1 的斜率为2 =1，直线 A1A2 的斜率为2，（ 2）当 n1时， An（ xn， n）， An+1（ xn+1， n+1），累加得：，检验当 n=1 时也成立，（ 3），令 bn=2n，对应的前 n 项和 Tn=n（n+1）令两式相减得：17（ 2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列 a n 的公差大于 0，a3，a5 是方程 x2 14x+45=0 的两根（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）记，求数列 b n 的前 n 和 Sn2【解答】 解 （ 1）a3 ， a5 是方程 x 14x+45=0 的两根，

19、且数列 a n 的公差 d 0，2解方程 x 14x+45=0，得 x1=5， x2=9，a3=5， a5 =9，（ 2 分）an=a1+（ n 1） d=2n1（ 6 分）（ 2）an=2n 1，（ 8 分）（ 9 分）（ 11 分）（ 13 分）数列 b n 的前 n 项和：（ 14 分）18（ 2014 秋?福州期末）已知等比数例a n 的公比 q1，a1，a2 是方程 x2 3x+2=0 的两根，（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）求数列 2n?a n 的前 n 项和 Sn2【解答】 解：（ 1）方程 x 3x+2=0 的两根分别为1、 2，（ 1 分）所以 q=2，（ 3 分

20、）所以数列 a n 的通项公式为an=2n 1；（ 4 分）（ 2）由（ 1）知 2n?an=n?2n，（ 5 分）所以 Sn=1×2+2×22+n×2n，23nn+12?Sn=1×2+2×2+（ n1）?2 +n×2 ，由得：23nn+1分）Sn=2+2 +2 +2n×2 ，（ 8即 Sn =n×2n+1，（ 11 分）所以 Sn=2+（ n1）?2n+1（ 12 分）222n219（ 2011 春?孝感月考）求和：Sn=（ x+） +（ x +） +（ x +） （ xn +） 2=4，Sn=4n，当 x

21、77;1时，2nna=x +2+，242nnS=（x +x +x ）+2n+（ +） =+2n=+2n，所以当 x=±1时， Sn=4n；当 x±1时， Sn=+2n20（ 2014 春?龙子湖区校级期中）求数列 n × 前n 项和 Sn【解答】 解：数列 n × 前 n 项和 Sn，（ 3 分）Sn=，（ 6 分），得： Sn=1（ 10 分）n分）S=2（ 1321（ 2011 秋?文水县期中）已知数列a n 中， an=2n 33，求数列 |a n | 的前 n 项和 Sn【解答】 解：令 an=2n 33 0，解得 n，所以当 n16 时， an

22、 0，又 a1 =2 33= 31，2当 n17 时， an 0，2则数列 |a n| 的前 n 项和 Sn=S16+Sn 16=+=n 32n+512，22数列 a n 中， an=n?2n ，求 Sn【解答】 解法一： Sn=1?2+2?22+3?23+n?2n，234n+12Sn =1?2 +2?2 +3?2 +n?2，两式相减可得， Sn=2+22+23+2 nn?2 n+1= n?2 n+1化简可得 Sn=2+（ n 1）?2n+1nn+1n解法二、由 an=n?2 =（ n 1）?2（ n 2）?2 ，可得 Sn=0 （ 1）?2+1?8 0+2?241?8+ + （ n 2）?2n （ n 3）?2n 1+ （ n1）?2n+1（ n 2）?2n