信息计算科学实验报告13p

1、实验报告专业：信息与计算科学年级：大三 班级：ap08102 学号：ap0810227姓名：庞锦芬、实验目的1、了解lagrange插值法的基本原理和方法；2、了解多项式拟合的基本原理和方法；3、了解数值积分的基本原理和方法；二、实验题目：xk的值，进行不同类型的插实验三插值法与拟合实验1、插值效果比较：将区间【-5,5】10等分，对下列函数分别计算插值节点值，作出插值函数的图形并与y = f （x）的图形进行比较:1f(x： x2 ；f (x)二 arctanx ；（1）做拉格朗日插值；2、拟合多项实验： 给定数据如下表所示:xy分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出

2、离散函数（x, yi）和拟合函数的图形。实验四数值微积分实验1、复化求积公式计算定积分：用复化梯形公式、复化辛普森公式、龙贝格公式求下列定积分，要求绝对误差为；=0.5 10”，并将计算结果与精确解进行比较:2 2 2(1) e4 = Jx3ex dx，13三、实验原理（将实验所涉及的基础理论、算法原理详尽列出。）拉个朗日插值原理: 经过 使得nn -1 个点(X0,y0),(X1,yJ,(Xn,yn)，构造一个 n次多项式，形 Pn(x)yJk(x)其中lk(x)二(X_X0) (X_XkJ(X_Xk 1)(XXn)k(xk -x。)(xk -XkJ(Xk-Xk .1) (xk -人)X=X

3、kX = Xk为插值基函数。拟合多项式原理：假设给定数据点（Xi,yi）（i=0,1，,m），门为所有次数不超过nPn（x）akXk 乏现求一k兰，使得n（n岂m）的多项式构成的函数类,mmI bn(xj %Z akX；i =00 <k0当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（ 特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然-yi= min丿 （1）1）的Pn（x）称为最小二乘拟合多项式。I 八(' akxki =0 k=0-y)2为,6，an的多元函数, 极值的必要条件，得因此上述问题即为求“(a。® an)的极值问题。由多元函数求:aJm= 2、nC ak

4、# -yJXij 二 0,i -0 k -0j =0,1,nPn(Xk) =yk (k =0,1,2 ,n)成立。k-n mm= 0,1, ,n（3）是关于冇，印，an的线性方程组,C XiJ k)ak 八 X yi, k =0 i =0i =0m +1m送Xii =0aZi=0mzi =0Xi2 XiZ Xii=0m寸n*二 Xii=0aa1工yii=0mzi =0Xi yi-mmm'anmun工xzn十 Xi2n 工Xi-1znx yi1=0i =0i=0_lmm用矩阵表示为m式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一

5、解。从式（4）中解 出ak（k=0,1，n），从而可得多项式nPn(x)=為 akXkk=0可以证明，式(5)中的Pn(x)满足式(1),即Pn(x)为所求的拟合多项式m迟Pn(Xi)yj2我们把i丿称为最小二乘拟合多项式由式可得Pn(X)的平方误差，记作122 m怦2=瓦 Dn(Xi)-yii =0mr：八7nmk二 ak(二 xi yi )77(6)四、实验内容(列出实验的实施方案、步骤、数据准备、算法流程图以及可能用到的实验设备(硬件和软件)。)实验步骤：1、先编写好matlabM文件，然后在命令窗口编辑程序并运行；2、运行，观察结果；3、根据运行结果进行结果分析。实验三各个实验在 ma

6、tlab窗口输进的主要程序如下：拉格朗日插值：x=-5:1:5;y1=1./(1+x.A2);y2=ata n( x);y3=x.A2丿(1+x44);L1=malagr(x,y1,x);L2=malagr(x,y2,x);L3=malagr(x,y3,x);plot(x,y1,'r',x,y2,'g',x,y3,'b',x ,L 1,'rp',x ,L2,'gd',x ,L 3,'b*');xlabel('x');ylabel('y');lege nd('y

7、1','y2','y3','L1','L2','L3')拟合多项式：作三次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y1=mafit(x,y,3)作五次次多项式拟合的程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5)求平方误差，作出离散函数&$)和拟合函数的

8、图形，程序为：% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y2=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y=mafit(x,y,3);AA% san ci ni he duo xia ng shi de xi shux=-1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5;y=-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55;y2=mafit(x,y,5);norm(p1-y)n orm(p2-y)plot(x,y, 's&#

9、39;,x,p1,'d',x,p2,'p')xlabel('x');ylabel('y');legend('y', 'p1', 'p2')% s fangxing; d lingxing; p wujiaox ing实验四复化求积公式计算定积分用复化梯形公式相关的程序和相关的注释如下：(1)% numericalintegrateformulation 1(1) f2=diff( '2/3*xA3*exp(xA2)', 'x' ,2) % 求对变量x的

10、二阶偏导数%f2=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)=exp(xA2)*8/3*x(2*x+1)(x+3)x=2;a=4*x*exp(xA2)+28/3*xA3*exp(xA2)+8/3*xA5*exp(xA2)%求2 的函数值f=inline('1/12*hA2*(9.1725e+003)-0.5e-008', 'h' ); %复化梯形余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值T=matrap(fu n,1,2, n)% T= 54.5979b=ex

11、p % exp(4)= 54.5982(2)f2=diff( '2*x/(xA2-3)', 'x',2)% 求对变量 x 的二阶偏导数% f2 =-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3x=2;a=-12/(xA2-3)A2*x+16*xA3/(xA2-3)A3%求f2 的函数值f=inline('1/12*hA2*104-0.5e-008', 'h' ); % 复化梯形余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=inlin e('2*x/(

12、xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3, n)% T= 1.7918b=log(6)% log(6)= 1.7918用复化辛普公式相关的程序和相关的注释如下：(1)%用复化辛普公式f2=diff('2/3*xA3*exp(xA2)', 'x',4)%求对变量 x 的 4 阶偏导数%f2=80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2) x=4;a=80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp

13、(xA2)%求f2的函数值f=inline( '1/2880*hA4*(2.5431e+012)-0.5e-008', 'h');% 复化辛普余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值T=masimp(fu n,1,2, n)% T= 54.5864b=exp % exp(4)= 54.5982(2)%用复化辛普公式(2)f2=diff( '2*x/(xA2-3)', 'x',4)%求对变量 x 的 4 阶偏导数% f2 =-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-

14、3)A3*x+768*xA5/(xA2-3)A5 x=4;a=-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3)A3*x+768*xA5/(xA2-3)A5%求f2 的函数值f=inline('1/12牛人2* 0.4039-0.5e-008', 'h' ); % 复化辛普余项减去误差h=fzero(f,0)%求满足精度的h值n=abs(1/h);%求满足精度的n值fun=inlin e( '2*x/(xA2-3)')T=matrap(fu n,2,3, n)% T= 1.7915b=log (6)% log(6)= 1.7918用龙贝

15、格公式相关的程序和相关的注释如下：(1)T仁maromb(inline('2./3*x.A3.*exp(x.A2)'),1,2,0.5e-008)b=exp(4)(2)T仁 maromb(i nlin e('2*x./(x.A2-3)'),2,3,0.5e-008)b=log (6)五、实验结果(实验结果应包括试验的原始数据、中间结果及最终结果，复杂的结果可以用表格或图形形式实现，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。)实验三拉格朗日插值：1.50.5-0.5yi y2 y3 LiL2L3-1-1.5-5-4-3-2-1012345x作三次多项式拟合结果为:

16、y1 =2.0000-0.0014-1.50070.0514因此三次拟合函数为：作五次多项式拟合结果为：y2 =0.01200.00481.9650-0.0130-1.48200.0545因此五次次拟合函数为：AAAA求平方误差，作出离散函数&$）和拟合函数的图形，结果如下：拟合函数图形：相关数据输出：p1 =-4.4507-0.44930.55140.0514-0.44930.54934.5472P2 =-4.4505-0.44870.54650.0545-0.44350.54134.5496ans =0.0136ans =0.0069由此可知道：三次拟合离散函数为：（-1.5，-4

17、.4507），（ -1.0，-0.4493），（ -0.5，0.5514），（ 0.0，0.0514），（ 0.5，-0.4493），（1.0，0.5493），（ 1.5，4.5472）三次拟合离散函数为：（-1.5，-4.4505），（ -1.0，-0.4487），（ -0.5，0.5465），（ 0.0，0.0545），（ 0.5，-0.4435），（1.0，0.5413），（ 1.5，4.5496）实验四求积公式计算定积分相关的结果：利用复化梯形公式：（1）f2=4*x*exp（x2）+28 /3*xA3*exp（xA2）+8 /3*xA5*exp（xA2）a =9.1725e+003h

18、 =-2.5576e-006fun =Inline fun ctio n:T =54.5979b =54.5982f2 =-12/（xA2-3）A2*x+16*xA3 /仪人2-3）人3a =104h =-2.4019e-005fun =Inline fun ctio n:fun(x) = 2*x/(xA2-3)T =1.6736b =1.7918用复化辛普公式相关的结果如下：(1)f2 =80*x*exp(xA2)+200*xA3*exp(xA2)+96*xA5*exp(xA2)+32/3*xA7*exp(xA2)a =2.5431e+012h =-4.8781e-005fun =Inlin

19、e fun ctio n:T =54.5864b =54.5982(2)f2 =-960/(xA2-3)A4*xA3+240/(xA2-3F3*x+768*xA5心人2-3)人5a =0.4039h =-3.8542e-004fun =Inline fun ctio n: fun(x) = 2*x/(xA2-3)T =1.7915b =1.7918T =146.501200083.924363.06530062.613255.509555.0058056.653554.666954.610854.604555.115454.602754.598454.598254.727754.598454.598254.598254.630554.598254.598254.598254.606254.598254.598254.5982T1 =54.5982b =54.5982（2）T =2.50000002.01921.859000