五数系扩充与复数引入

1、第五节 数系的扩充与复数的引入貶实双基【艰新考纲】.理解现敘的基本#1念*理解驶數相奪的充更条件+£了解浪独的代数隶示法及箕几何意丈能将代轨孫 式的复嶽在”爭而上用点或向債表示.井皑将宴爭面上的点琥向量所对应的复斬用代践形式痕示+3.能省行复皴代叛形式 的四则运算.了堀两牛具岸复數和加、相减的几何站义.就材回归I固本强塞 I基础梳理1 .复数的有关概念(1) 复数的概念：形如a+ bi( a, b R)的数叫复数，其中a, b分 别是它的实部和虚部.若 b= 0,则a+ bi为实数，若bz0,则a+ bi为虚数，若a=0且bz0,则a+ bi为纯虚数.(2) 复数相等：a+ bi=

2、c+ di? a-c, b= d ( a, b, c, d R).(3) 共轭复数：a+ bi 与 c+ di 共轭? a-c, b=- d( a, b, c, d R).(4) 复数的模：向量OZ的模r叫做复数z= a+ bi的模，即|z|-| a + bi|= c? + b2.2. 复数的几何意义复数z- a+ bi F>对应复平面内的点 Z( a, b) F ->对应平面向量OZ -( a,b).3. 复数的运算(1)运算法则：设 zi- a+ bi, z? = c+ di, a, b, c, d Rzi 士 z?-(a+ bi) ±c + di) = ( ak)

3、+ (b ±l)i.zi z2= ( a+ bi)(c + di) ( ac-bd)+ (bc +ad)i.zia+ bi a Cbd bc ad_z?-c+i-a+¥+bc¥i(c+diz 0).(2) 几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如右图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即 OZ = Oli + OZ2, Z2=Ota-OZ1.I学情自测1. (质疑夯基)判断下列结论的正误.(正确的打“"”，错误的 打 “X” )(1) 复数z= 1 + i的虚部为i.()(2) 若 z= a + bi

4、( a, b R)，当 a= 0 时，z 是纯虚数.()(3) 复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4) 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()答案：(1)x (2)X (3)X (4)V2, (2015 *广东卷)已知i是虚数单位，则复数(l + i)2 =(A.2iB-2iC.2D2解析：(l + i)2 = l + i2+2i=2L答案：A3.实部为一2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A .第一象限 B.第二象限C.第三象限 D .第四象限解析：由题意知，该复数在复平面内对应的点为(一2, 1),所以 该点位于复平面的

5、第二象限.答案：B4. (2016课标全国I卷股(1 + 2i)(a + i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=()A. - 3 B. 2 C . 2 D. 3解析：先化简复数，再根据实部与虚部相等列方程求解.(1 + 2i)(a + i) = a 2+(1 + 2a)i，由题意知 a 2= 1 + 2a,解得 a =3,故选A.答案：A5. (2015北京卷)复数i(1 + i)的实部为.解析：因为i(1 + i)= i + i2 = 1 + i,所以实部为一1.答案：1i名师微博通法领悟一个关键复数分类的关键是抓住z= a+ bi( a b R)的虚部：当b= 0时， z为实数；当bz

6、 0时，z为虚数；当a= 0,且bz 0时，z为纯虚数.一个实质复数除法的实质是分母实数化，其操作方法是分子、分母同乘以 分母的共轭复数.一种方法化“虚”为“实”是解决复数问题的基本方法，其中，复数的代数形式是化“虚”为“实”的前提，复数相等的充要条件是化“虚” 为“实”的桥梁.两点注意1判定复数是实数，仅注重虚部等于 0是不够的，还需考虑它 的实部是否有意义.2.利用复数相等a+ bi = c+ di 列方程时，注意 a, b, c, d R 的前提条件.督扁型i舊"高效提能1分层蕖训i单wr一、选择题1. （2015湖北卷）i为虚数单位，i607的共轭复数为（） A. iB. i

7、C. 1D. - 1解析：因为i607= i4x 151 +3 = i3= i,所以其共轭复数为i,故选A.答案：A2. (2015 安徽卷)设i是虚数单位發则复数(l-D(l+2i) =( )A, 3 + 3iB.l + 3iC. 3 + iD,1 +1解析;(l-i)<l + 2i) = l + 2i-i-2i£=3 + i答案：C3. （2015 福建卷）若（l+i）-F（23i） = a + &i（a,*eRJ 是虚数单位），则口的值分别等于（A, 3, 2B. 3,2C, 3,3D,1,4解析：（l + i> + （2-3i） = 3-2i= +bi9

8、所以 口 = 3 “= 一2.答案：A104. （2017郑州一检）设i是虚数单位，若复数 m + 3T（m R）是3十i纯虚数，则m的值为（）A. - 3B. 1 C. 1 D. 310解析：由m+= m + 3 i为纯虚数，则m+ 3 = 0,所以m =3+ i3.答案：A25. （2017广州一模復数不的虚部是（）A. 2 B. 1 C . 1 D. 22解析：本题主要考查 复数的概 念与几 何意义.复数 1 + i(2 i)(1 + i)(1 i)=1 i,所以它的虚数为一1.答案：B6. 设z是复数，则下列命题中的假命题是（）A.若z2> 0,则z是实数 B .若z2V0,则z

9、是虚数C.若z是虚数，则z2> 0D.若z是纯虚数，则z2 V 0解析：设 z= a+ bi（ a bR），则 z2= a2 b2+ 2cbi,cb= 0,由z2>0,得t 22 则b= 0,或a b都为0,即z为实数，I a-b2>0,故选项A为真.同理选项B为真；选项C为假，选项D为真.答案：C二、填空题7. 若复数z满足iz= 2 + 4i,则在复平面内，z对应的点的坐标是.解析：由于iz= 2 + 4i,2+ 4i所以 z= i = 4- 2i,故z对应点的坐标为（4,- 2）.答案：（4, 2）8. 若复数z= 1 + i（i为虚数单位）,z是z的共轭复数，则z2

10、+ z2解析：/ z= 1 + i,/z= 1 i,贝y z2+ z2= (1 + i)2 + (1 i)2 = 2i 2i = 0.答案：09. (2015重庆卷)设复数a+ bi( a, b R)的模为J3,则(a+bi)( abi) =.解：v |a+ bi|= a + b2= 3,( a bi)( a- bi)= a + b2= 3. 答案：3三、解答题10 .在复平面内，复数 5+ 4i, 1 + 2i对应的点分别为 A, B.若C为线段AB的中点，求点C对应复数的模.解：由题意知点A(5, 4), B( 1, 2),所以点C的坐标为(2, 3), 所以点C对应的复数为z= 2+3i

11、,它的模为22 + 32= 13.11.已知复数zi满足(召2)(1 + i) = 1 i(i为虚数单位)，复数Z2的虚部为2,且Z1 Z2是实数，求Z2解：V (Z1 2)(1 + i) = 1 i,1 i (1 i) 2Z=+ 2=+ 2= 2 i,1 + i2设 z2= a+ 2i( a3R),则 Z1 Z2= (2 i)( a+ 2i) = (2 a+ 2) + (4 a,又Z1 Z2是实数，二a= 4,从而Z2= 4+ 2i.热1点I探I究三角函数与平面向量的高考热点题型高考导航>»三角函数、解三角形、平面向量是高考考查的重点与热点，本专 题的热点题型有：一是三角恒等

12、变换的综合应用；二是三角函数与解 三角形的综合问题；三是三角函数与平面向量的综合应用，中档难度。 在解题过程中应挖掘题目的隐含条件， 注意公式的内在联系，灵活地 正用、逆用、变形使用公式，充分发挥平面向量的工具作用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就为利用数形结合思想创造了条件.热点突破>»热点1三角恒等变换的综合应用要研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，求三角函 数的单调区间、最值等，都应先进行三角恒等变换，将其化为一个角 的一种三角函数，求解这类问题，要灵活利用两角和 (差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换.例匡(2017潍坊质检)已知函

13、数f(x) = sin xncosxv<3,g(x)= 2sin?2(1)若a是第一象限角，且f( a今g3，求g( a的值;求使f(x)>g(x)成立的x的取值集合.x3解：f(x) = sinnx一 一 + cos 、6丿_ .11 血=sin x?cos x+ 2cos x+ 2sin x= 3sin x,g(x)=2sin2；= 1 cos x(1)由 f( a=3g3得 sin3a=5又a是第一象限角，所以COS a>0i41从而 g( a手 1 COs a=1 彎 1 sin? a=1 g = gnx+6.J(2)f(x) > g(x)等价于 3sin x&

14、gt; 1 cos x贝忖3sin x+ cos x> 1,于是 sinn n5 n从而 2k n +§ W x+ 6 < 2k n + g , kCZ ,2n即 2k nW x< 2k n + 3 , k CZ.故使f(x)> g(x)成立的x的取值集合为2nx|2k nW xW 2k n + 3， kCZ.规律方法J1.将f(x)化简为3sin X,将g(x)化简为1 cos x,从而沟通了g( a与f( a之间的关系.2. 进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤 其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.3. 把形如 y= csin x+

15、 bcos x化为 y= ! $+ b2sin(x+可进一 步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.【变式训练】 (2015天津卷)已知函数f(x) = sin2x sin2 x"6< 6丿xC R.(1)求f(x)的最小正周期；n n I求f(x)在区间一亍,才 上的最大值和最小值.1 s n解：由已知，有f(x)=1 cos 2xco2x 311勺3】1 介2QCOS 2好sin 2x2cos 2x=43sin 2x- 4cos 2烂：sin4422 n所以f(x)的最小正周期T = 2 =兀.-因为f(x)在区间一 n疳一上是减函数，在区间，弓上是增函数,且fY,14,

16、f o，flTn n '所以f(x)在区间寸上的最大值为¥，最小值为2热点2三角函数与解三角形的综合问题从近几年课标全国卷来看，高考命题强化了解三角形的考查力度，着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用，求解的关键是实施边角互化，同时结合三角恒等变换进行化简与求值.在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别是a,b, c.已知 bsin A= 3csin B,a= 3, cos B= 3.(1) 求 b的值；/ 、 冗(2) 求 sin2B 的值.l 3丿解：（1）由sinA= sinl，可得 bsin A= csin B又由 bsin A= 3csin B,可得 a= 3c.

17、由于a= 3,贝S c= 1.2依据余弦定理，且cos B= 3,333333*b = a + c 3 ac cos B= 3 +1 6X 3 = 6.于是b= 6.亠3J5(2)由 cos B= 3，0v Bvn,得sin B= 3 ,3cos 2B= 2cos B 1 =19,sin 2B= 2sin Bcos B=所以sinn2B-力nn 4(5 + 3=sin 2Bco哥cos 2Bsi(3 =规律方法1.以平面向量为载体，实质考查三角形中的边角转化，求解的关键是抓住边角间的关系，恰当选择正、余弦定理.2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作 为条件)，此时应首先确定

18、三角形的边角关系，然后灵活运用三角函 数的和、差、倍角公式化简转化.【变式训练】 在厶ABC中，a，b分别是锐角A，B的对边,向量 m = (b，sin B),a，cos3，且m / n.(1)求角A的大小;若B=6，BC边上的中线 AM = 7，求 ABC的面积.n解：(1)由 m II n,得 bcos csin B= 0.1由正弦定理，得QSin B= sin Asin B由于sin BK），且A为锐角,sin A=；n,所以A = 6n(2)由(1)知 A = B= 6,口2AC = b= c,且 C = n.又AM是厶ABC中BC边上的中线,MC = ；BC =在厶AMC中，AM =

19、 7,由余弦定理得AM2= AC2 + MC2 2AC-MC- cos C,7=<C + 野2说。最,解得c= 2.从而c= b = 2.1i2故 Smbc = Qcb sin C=2X2 sin n= 3.热点3三角函数与平面向量的综合应用（满分现场）平面向量与三角函数交汇命题是近几年高考试题的一大亮点，主要涉及三种情形：（1）以向量为载体，考杳-角变换与求值；（2）向量与解三角形交汇求边与角；（3）以三角函数表示向量的坐标，研究向量运算及函数的有关性质.12分)(2014山东卷)已知向量 a=(m, cos 2x), b= (sin 2x, n),函数 f(x) =ab,且 y= f

20、(x)的n )2 n图象过点荷也和点-, 2 .门2丫丿< 3丿(1)求m, n的值；(2)将 y= f(x)的图象向左平移 © (X K n )个单位后得到函数y=g(x)的图象，若y= g(x)图象上各最高点到点(0, 3)的距离的最小值为1,求y= g(x)的单调递增区间.规范解答： 由题意知f(x) = ab= msin 2x+ ncos 2x.1分因为y=f(x)的图象过点冗2n3i 打3= msi所以nnn6 + nco%,3nr UH-334 n 4 n2= msin3 + ncos3 ,2m3242nm = Q 3,解得5分i n= 1.(2)由(1)知 f(x

21、) = 3sin 2x+ cosn由题意知 g(x)= f(x+© )2sin2x + 26+一 刁分、67设y= g(x)的图象上符合题意的最高点为(xo, 2), 由题意知X2+ 1 = 1,所以xo = 0,即到点(0, 3)的距离为1的最高点为(0, 2).nn将其代入y= g(x)得 sin 2 ©+& i= 1，因为0<©<兀，所以©=石，n因为 g(x)= 2sin2x+ = 2cos 2x. 10分 2)由 2k n 2xW 2k n, k Z 彳得 k n ? W xW k n, k Z ,- n 1所以函数g(x)

22、的单调递增区间为kn_n, kn kN12分【满分规则】(1)本题的易失分点是： 记错数量积坐标运算公式或方程求解能力差，求错m, n的值. 弄错图象平移变换的方向与长度. 信息提取能力差，不能根据条件准确求出©值.(2)满分规则： 熟记数量积坐标运算公式与三角变换公式，平时加强基本训练，提高方程求解能力. 函数图象变换的关键是看x轴上是先平移后伸缩，还是先伸缩 后平移，对于后者可利用 3X+ ©=3 ()+-)确定平移长度，二者均是针对自变量x而言的. 善于捕捉条件信息，准确进行文字语言与符号语言的转化.【构建模板】第一步：利用数量积与三角变换求f(x)；第二步：构建关于

23、 m, n的方程组，求m, n的值； 第三步：利用图象的平移变换确定出函数 g(x)；第四步：根据最值条件求 ©值；第五步：利用三角函数的性质求出函数 g(x)的递增区间.规律方法三角函数与向量相结合的综合问题.此类问题通常是先利用向量 的运算转化为三角函数问题，然后再利用三角恒等变换转化为三角函 数的图象与性质等问题解决.【变式训练】 在平而直角坐标系中，已知点A (1, 1), 点P(工力)在三边围成的区 域内.(1) 若乔-AC = O,求厂的值*(2) 在(1)的条件下+求丨丽I ;(3) 当 c = 3 时，求 sin 2A + cos 2A 的值.解：(l)AB=(l,2

24、)+AC=(c-l,l), 由畐 AC=O,得 1 (c-l) + lX2 = 0, 解之得c=-h(2)法一 VPA + PB + /V=O,又芮+爸+況=(1如 1$) + (2工出一y) + ( 1 j?»2y) = (2 3工，6 3y) t101瞌盘咽盘:高效提tilF223n3则(y,2),从而|亦=彳 /10.法二 V PA + PB + 范=(丽一贲)+ (OB-OP) +5?_亦=0从而I op | = J(彳)十，=彳/(3当 c = 3 时,AB=(l,2).AC=(2a), 又乔 AC= |AB| - |AC| cos A,2 + 2 =屆 * vcos A、

25、则 cos A =丄.53由 Ae(0,x),得 sin a = 4.31故 sin 2A十co営 2A = 2sin Acos A十2cos2 A 1 =詁.25(1)求实数a, b的值;(2)求函数f(2x)的周期及单调增区间.2 3卫=0,解之得v6 3 = 0.OP = -(OA + OB-OC) =1)分应集ii| I单壮成桶1.已知函数 f(x)=J3asin x+ bcosx 的图象经过点解：(1)丁 函数 f(x)= 3csin x+ bco冗x-n 的图象经过点/X7nT, %,3X ,+ b= 1 且23a- 23b= 0.解得：a= 1, b= 1.( J31(2)由(1

26、)知：f(2x) = y 3sin 2x cos2x ="2sin 2x 2cos 2x=,3丿22/Xnsin2x7，v6丿函数f(2x)的周期T =n.nn由 2k n2< 2x 6 wn：2kn+2 ,n2n解得 2kn3< 2x< 2kn + 3 , k ,nn即 k n6 W x< k n+3 , kCZ -n n函数的增区间为k n6, k n+3， kCZ2 .已知函数 f(x)= sin(x+ 0 + acos(x 2 0 )其中 a R, 0 G n n '2，T/(1)当a= 2, 0 =4时，求f(x)在区间0, n 上的最大值与

27、最小值;若f=0, f( n ) = 1,求 a 0 的值.解：(1)f(x) = sinnx+ 4 丿+V2cosnx+ 2J子(sin x+ cos x 2sin2 2 . x= 2 cos x- 2 sin x= sin3 n n I因为 x 0,兀,所以 4 x 4, & .2故f(x)在0,兀上的最大值为2 ,最小值为一1.f-(2) 由 f (n)=1,=0,cos 0(1 2 csin 0)=0, 得 22 csini2 0-sin 0-c= 1.由0n，知cos 0 0解得彳冗0=-6c= 1,3.在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为 c, b, c,且c1&g

28、t;c已知BA BC = 2, cos B= 3, b= 3求:(1) c和c的值；(2) cos(B- C)的值.解：由BA BC = 2, 得 c -ccos B= 2.1又 cos B= 3,所以 c= 6.由余弦定理，得 C+ c2= b2+ 2 accos B. 又 b= 3,所以 C+ c2= 9+ 2x 6x3= 13.cc= 6,解.a+ “ 13得°=2, c=3 或尸3, c=2-因为a>c,所以a= 3, c= 2.(2)在厶ABC中,sin B=1 coS B=由正弦定理，得sin C=Csin B= 22二 J因为a= b> c,所以C为锐角，因

29、此cos C =1 siriC =1 4迈279.于是 cos(B- C) = cos Bcos C + sin Bsin C = /2327.4. (2015 *天津卷)在厶ABC中，内角所对的边 分别为a 已知 的而积为3 y 15 , /? c= 2 , cos A=丄*4(1)求«和sin C的值*(2)求 cos(2A + y )的值.解：在心眈中，由® A 木可得机"=年.由=A = 35、得 be 24.又由/? c 2,解得方=6,f=4.由 a2 =62 +c2 26ccos A,可得应=&sin由 " j 丫得 sin C= 2. sin A sm Co(2)cos 2A + i = cos 2A * cos 一sin 2A sin7T6FT r1-(2cos2A- 1) X 2sin A * cos A =/L5-7 73165.已知函数 f(x) _sin3x + 4(1)求f(x)的单调递增区间;若a是第二象限角，f亍_cos 2 ,求 cos asin a的值.解：因为函数y _ sin x的单调递增区间为 nn2 + 2k n, 2 + 2k nnn n由一2 + 2knW3x+ 4W ? + 2k n, kCZ,n 2k n得4+ 3n 2k nWxW 12+ 3 , kz所以，函数