全等三角形 全章学案

1、第十一章 全等三角形11.1全等三角形学习目标1知道什么是全等形、全等三角形；2能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；3掌握全等三角形的性质.重点: 全等三角形的概念、性质。难点: 对应边和对应角的确定。自主学习一、全等形、全等三角形的概念阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：1 能够完全重合的两个图形叫做 .全等图形的特征：全等图形的 和 都相同.2能够完全重合的两个三角形叫做 .二、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1 平移 翻折 旋转 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，

2、所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略2全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）-重合的顶点 （2）对应边（三条）- 重合的边 （3）对应角（三个）- 重合的角请同学们写出上图甲、乙、丙的对应顶点、对应边、对应角图甲： 对应边是： 对应顶点是： 对应角是： 图乙：对应边是： 对应顶点是： 对应角是： 图丙：对应顶点是： 对应边是： 对应角是： 寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的

3、角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。3“全等”用“”表示，读作“全等于”如图甲记作:ABCDEF 读作:ABC全等于DEF如图乙记作: 读作: 如图丙记作: 读作: 注意：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.三、全等三角形的性质阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：全等三角形的性质:全等三角形的 相等， 相等.练习1.如图1，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角 图1 图22.如图2，已知ABEACD，ADE=AED，B=C，指出其他的对应边和对应角课堂小结本节课你有哪些收获？巩固练习1.下面是两个全等的三角形，按下列图形

4、的位置摆放，指出它们的对应顶点、对应边、对应角.（1） （2） （3）2.如图，ABEACD，AB与AC，AD与AE是对应边，已知：A=43，B=30，求ADC的大小.课堂检测1.全等用符号 表示，读作： .2.若BCECBF，则CBE= , BEC= ,BE= , CE= .3.判断题 1）全等三角形的对应边相等，对应角相等.（ ） 2）全等三角形的周长相等，面积也相等. （ ） 3）面积相等的三角形是全等三角形. （ ） 4）周长相等的三角形是全等三角形. （ ）4.如图:ABCDBF,找出图中的对应边,对应角.答:B的对应角是 ，C的对应角是 ， BAC的对应角是 ； AB的对应边是 ，

5、AC的对应边是 ，BC的对应边是 .课后作业：课本P4习题第1、2题板书设计：111 全等三角形一、全等形、全等三角形的概念二、全等三角形的对应元素及表示三、全等三角形的性质教学反思：三角形全等的判定学习目标1理解三边对应相等的两个三角形全等的内容2会运用“边边边”条件证明两个三角形全等3. 会作一个角等于已知角.自主学习一、课前准备1. 叫做全等三角形2.全等三角形的 和 相等3.将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？如果AB=5, A=55, B=45,那么DE= ，F= .二、自主探究自主探究三角形全等的条件：阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：通过探究（1）

6、只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？只给一条边时；333cm只给一个角时；454545（2）如果给出两个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？给出两个角时；给出两条边时；给出一条边和一个角时；（3）由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？（4）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？我们先来探究两个三角形三个角相等的情况：300700800300800700画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ,把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？上面的探究反映了什么规律？阅读课本P6

7、-7探究2至例1前，回答下面问题： 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”三、例题学习阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式巩固练习1. 如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）ABCADC（2）B=D ABCD 证明： （1）在ABC和ADC中 （公共边）ABCADC（ ）（2）ABCADC B=D（ ）2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？证明：四、作一个角等于已知角阅读课本P7最后一段至P8，回答书中问题.课堂小结本节

8、课你有哪些收获？课堂检测如图，AB=CD，AC=BD，ABC和DCB是否全等？试说明理由。 BCDA证明：课后作业：课本P15习题第1、2题板书设计：1121 三角形全等的条件（一）一、三角形全等的条件三边对应相等的两三角形全等（SSS）二、例题三、作一个角等于已知角教学反思：全等三角形的识别（二）（SAS）学习目标：会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题重难点：1、会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题2、分清用两边一角证明三角形相似和全等的不同。自学过程：知识回顾：一、判别三角形相似的方法之二：1、如果两个三角形有_边对应，并且_相等，那么这两个三角形相似新课讲解：做一做以图2

9、4.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.步骤：1、 画一线段AB使它的长度等于4cm.2、 以点A为顶点，作BAP=45,在射线AP上截取AC3cm,3、 连结BC.ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论ACABA这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法如果两个三角形有_边及其_分别对应，那么这两个三角形全等简记为（S.A.S.）对比判别三角形相似的方法如果两个三角形有_边对应，并且_相等，那么这两个三角形相似例2如图11-1，ABC中，ABAC，AD平分BA

10、C，试说明ABDACD. 做一做如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？练习1. 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？(3) (4)2. 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，AMD和BMC全等吗？试说明你的理由？综合练习：一、 填空： 1、 如图11-2，AB=AD,AC=AE,则可得ABC其理由是 2、如图（1）：OA=OD,OB=OC,求证：ABODCO证明： OA=ODOB=OC（）（） ABODCO（）3、如图（2）：已知AB=DC，ABC=DCB

11、,求证：AC=BD 证明：AB=DC，ABC=DCB（） BC=_( ) BCD_，( )AC=_( ) 如图（1）如图（2）二、 选择：1、在ABC中，B=C,与ABC全等的三角形有一个角是100,那么ABC中与这个角对应的角是（）A A B B C C DB或Dl2、如图：直线l是四边形ABCD的对称轴，如果，有下列A结论：(1)ABDC（2）AB=BC（3）ABBC（4） AO=OC，B O D其中正确的结论有（）A1个 B2个 C3个D4个C3、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（）A顶角、一腰对应相等B底边、一腰对就相等C两腰对应相等D一腰、一底角、一底边对应相等4、

12、 ABC和ABC边角条件如图：那么这两个三角形（） CA全等 B不全等 C不一定全等 D相似证明：1、如图，已知12，AOBO，那么AOPBOP，为什么？2、已知：ADBC，ADCBCD求证： BDCACD3、如图，AEDB，BCEF，BCEF，说明ABC和DEF全等的理由4、如图：点M是等腰梯形ABCD底边AB上的中点，则MD与MC的大小有何关系，试说明理由。 5、已知点A、B、C、D在同一条直线上，AB=CD, D=ECA,试问：AE与BF的大小关系，并说明理由。6、如图：在ABC中，AB=AC, BAC=90,在AB上取点P，边CA的延长线上取点Q，使AP=AQ，边CP与BQ交于点S，求

13、证：CAPBAQ 7、如图，ABAD，ACAE，BAEDAC， ABC与ADE全等吗？并说明理由。全等三角形的识别（三）（ASA及AAS）学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题重难点：能灵活运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题自学过程：做一做如图24.2.9，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.步骤：1、 一线段AB使它的长度等于4cm.2、 分别以点A、B为顶点，作BAP=40ABQ=60,AP、BQ相交于点C,3、 ABC即为所求.把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？换两个角和一条线段

14、，用同样的方法试试看，是否有同样的结论ABA B由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等简记为(A.S.A.).例3如图所示，ABCDCB，ACBDBC，试说明ABCDCB.解 ABCDCB，ACBDBC， BC是， （） 思 考如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？你的结论是_证明： AD，CF， B180，E180， 又，AB ABCDEF.（）由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的及其分别对应，那么这两个三角形全等简记为(A.A.S.).小结： 如果知道两

15、个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示练习一、 填空： 1、如图：D是ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点 F，DE=FE,FCAB, 求证：AE=CE 证明： FCAB（） _=_,_=_, 又 DE=FE（）AED_（）AE=CE（） 2、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,ABED,ACFD，求证：AB=DE证明： FB=CE（） FB=CE（）即： ABED,ACFD ABC=_,ACB=_ABD_,（

16、）AB=DE，（）3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：OBFODE 证明：AB=CD,AD=BC( )_=_( ) ABD_,( )CBD=_ EF过BD的中点O( )_=_ 又FOB=_( )OBF_( )二、 选择1、下列说法中，正确的是（）A所有的等腰三角形全等B有两边对应相等的两个等腰三角形全等C有一边对应相等的两个等腰三角形全等D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等2、在ABC与ABC中，已知A=44，B=67,C=69,A=44,且AC=AC，那么这两个三角形（）A一定不全等B一定全等C不一定全等D以上都不对3、如图：点E在ABC外部，点D在BC边上，DE交

17、AC于F，若1=2=3，AC=AE,则（）A ABDAFD B AFEADCC AFEDFC D ABCADE4、在ABC和DEF中，条件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4) A=D,(5) B=E,(6) C=F，则下列各组条件中，不能保证ABCDEF的是（）A(1) (2) (3) B (1) (2) (5) C (1) (3) (5) D(2) (5) (6) 三、证明与计算：1. 根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 2. ABC是等腰三角形，AD、BE分别是A、B的角平分线，ABD和BAE全等吗？试说明理由.3、如图，ABDE，ACDF，B

18、CEF，ABC与DEF全等吗？试说明理由.4、如图，12，BD，ABC和ADC全等吗？试说明理由。5、已知： 如图，CD，CEDE求证： DABABC6、已知： 如图，BDACEA，AEAD求证： ABAC7、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC, B=C,求证：BD=CE 全等三角形的识别（四）（HL）学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题重难点：1、会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形。自学过程：知识回顾：一、判别三角形相似的方法之三：如果一个三角形的_分别

19、与另一个三角形的_对应相等，那么这两个三角形相似我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？做一做试以24.2.12中的两条线段AC、AB分别为直角边和斜边画一个直角三角形.步骤：1、 画MCN90， 2、 在射线CM上截取AC的长度，3、 以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B，4、 连结AB，ABC即为所求. 把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。如图，ACDF，AB

20、=DE,CF90，试说明ABCDEF. CF90 BC=_,EF=_(勾股定理) 又ACDF，AB=DE,又，AC ABCDEF.（）由此可以得到如下结论：如果两个直角三角形的及一条分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.注意：1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。例4如图24.2.13，AB是圆O的直径，ACAD，试说明ABC和ABD全等.解 AB为O的直径ACB又ACAD，ABCABD（）练习1. 如图，ACAD，CD90，试说明BC与B

21、D相等. 2. 以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.综合练习：一、填空：1、 两条直角边对应相等的两个直角三角形，理由是2、 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形，理由是 3、 如图(1)：BAAC,CDAB,AB=CE,BC=DE,则CDE_， 理由是，且有ACB=_，ABC=_,由此可知BC与DE互相_ 如图：AD、AD分别是锐角ABC和ABC中BC,BC边上的高，且AB=AB，AD=AD,若 使ABCABC，需补充条件是（只需填写一个你认为适当的条件） 二、选择：1、两个直角三角形全等的条件是（）A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对

22、应相等D两条边对应相等2、判断下列命题：（1）在RtABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个3、下列说法正确的有（）（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。A 1个 B 2个 C 3个 D 4个4、在RtABC和RtABC中，C=C=90，A=B,AB=AB,那么下列结论中正确的是（）A AC

23、=AC B BC=BC C AC=BC D A=A4、 下列叙述的图形中，是全等三角形的只有（A两个含60角的直角三角形B腰对应相等的两个等腰三角形C有一边相等的两个等边三角形D面积相等的两个直角三角形6、如图：ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB，交BC于D点，DEAB于点E，且AB=60cm，则BED的周长为（）A 100cm B 80cm C 60cm D 40cm三、 证明：1、如图：CEAB,DFAB,垂足分别为EF，ACDB,且AC=BD，求证：CE=DF2、如图：ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是高，求证（1）BD=DC（2）BAD=CAD3、如图，AB=CD,DEAC,BFAC,E、F是垂足，DE=BF,求证（1）AE=CF（2）ABCD 4、如图，ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC 5、如图：在RtABC和RtABC中，ACB=ACB=90,CDAB,CDAB,且CD=CD,BC=BC，求证：RtABCRtABC 113角平分线的性质自学目标：（1）掌握角平分线的性质定理；（2）能够运用性质定理证明两条线