数据包络--最新

1、数据包络分析（DEA）张敏王苗苗目录目录1DEADEA简介及其基本模型简介及其基本模型3系统的系统的DEADEA有效性有效性2DEADEA扩展模型扩展模型(BCC)(BCC)4DEADEA方法小结方法小结01DEADEA简介及其基本模型简介及其基本模型简介简介在人们的生产活动和社会活动中常常会遇到这样的问题：经过一段时间之后，需要对具有相同类型的部门或单位（称为决策单元）进行评价，其评价的依据是决策单元的“输入”数据和“输出”数据，输入数据是指决策单元在某种活动中需要消耗的某些量，例如投入的资金总额，投入的总劳动力数，占地面积等等；输出数据是决策单元经过一定的输入之后，产生的表明该活动成效的某

2、些信息量，例如不同类型的产品数量，产品的质量，经济效益等等再具体些说，譬如在评价某高校各个学院的时候，输入可以是学院的全年的资金，教职员工的总人数，教学用占用教室的总次数，各类职称的教师人数等等；输出可以是培养博士研究生的人数，硕士研究生的人数，大学生本科生的人数，学生的质量（德，智，体），教师的教学工作量，学校的科研成果（数量与质量)等等根据输入数据和输出数据来评价决策单元的优劣，即所谓评价部门（或单位）间的相对有效性简介简介1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuring the efficie

3、ncy of decision making units”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称 C2R 模型。该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。简介简介数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。C

4、 C2 2R R模型模型在 D E A 中 一 般 称 被 衡 量 绩 效 的 组 织 为 决 策 单 元（decision making unitDMU）。设：n 个决策单元（ j = 1，2，n ） 每个决策单元有相同的 m 项投入（输入）（i = 1，2，m ） 每个决策单元有相同的 s 项产出（输出） （r = 1，2，s ） Xij 第 j 决策单元的第 i 项投入 yrj 第 j 决策单元的第 r 项产出 衡量第 j0 决策单元是否DEA有效C C2 2R R模型模型定义： 1 2 3 j n v1 1 x11 x12 x13 x1j x1n v2 2 x21 x22 x23 x2

5、j x2n . . . . . . . vi . . . . . Xij . . . . . . . . vm m xm1 xm2 xm3 xmj xmn y11 y12 y13 y1j y1n 1 u1 y21 y22 y23 y2j y2n 2 u2 . . . . . . . . . . . yrj . . ur . . . . . . . ys1 ys2 ys3 ysj ysn s usn个决策单元（DMU）权系数m种输入权系数s种输出应用案例应用案例 对生产水平的相对有效性分析 某公司有甲、乙、丙三个企业，为评价这几个企业的生产效率，收集到反映其投入（固定资产年净值x x1 1、流动

6、资金x x2 2、职工人数x x3 3）和产出（总产值y y1 1、利税总额y y2 2）的有关数据如下表： 企业指标甲乙丙x1（万元）41527x2 （万元）1545x3 （万元）824y1 （万元）602224y2 （万元）1268C C2 2R R模型模型对于第j个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数： 11,1,2,sTrrjrrjmnTjiijiu yhjnv xu yv x我们总可以适当的取权系数v v和u u，使得hj1, j=1,，n应用案例应用案例对于第一个企业，产出综合值为60u1+12u2,投入综合值4v1+15v2+8v3，其中u1、u2 、v1 、 v2 、v3分别

7、为产出与投入的权重系数。我们定义第一个企业的生产效率为：总产出与总投入的比即vvvuuh32121181541260类似，可知第二、第三个企业的生产效率分别为：vvvuuh3212122415622vvvuuh4527824321213C C2 2R R模型模型 对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。C C2 2R R模型模型如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元的

8、效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：1111max. .1,1,2,0,0srrjorjomiijoisrrjrmiijiu yhv xu ystjnv xuv应用案例应用案例我们限定所有的hj值不超过1，即 ，这意味着，若第k k个企业h hk k=1=1，则该企业相对于其他企业来说生产率最高，或者说这一生产系统是相对有效的，若h hk k11，那么该企业相对于其他企业来说，生产效率还有待于提高，或者说这一生产系统还不是有效的。因此，建立第一个企业的生产效率最高的优化模型如下：即即12112360124158maxuuhvvv12212322611542uuhvvv12312

9、324812754uuhvvv121123601214158uuhvvv这是一个分式规划，需要将它化为线性规划才能求解。1maxhjC C2 2R R模型模型上述规划模型是一个分式规划，使用CharnesCooper变化，令： 可变成如下的线性规划模型P：01Tjt vxtutwv0011TjTjt wxv x由C C2 2R R模型模型（P）s001s11010,1,2,.,. .1,0,1,2,. ;1,2,.,smaxjrrjrmiijrrjirmiijiirjnstimryhywxwxw应用案例应用案例则此分式规划可化为如下的线性规划：1121212312123121231231231

10、2max6012601241582261542. . 2482754415810,0,0,0,0hwwwwwws twwwwwwwwwC C2 2R R模型模型 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决策单元而言的。 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深入分析。C C2 2R R模型模型0101m in,1, 2 , .,1, 2 , ., s. .0 ,1, 2 ,Dnjijijnjrjrjjimrs tjnvxxyy无 约 束规划P的对偶规划为规划D

11、：（D）应用案例应用案例其对偶问题为：123123123123123123m in41 52 741 5451 58248. .6 02 22 46 01 2681 20 ,0 ,0DVs t无 约 束C C2 2R R模型模型为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s s和剩余变量s s，将上面的不等式约束变为等式约束，可变成：（D）D101m i n= V. .-0 ,1 , 2 ,0 ,0njj0jnjjjjs tyjnxsxysss无约束，应用案例应用案例其对应的标准对偶规划为：1123212331231123212312312312min4152741545158248. . 60

12、2224601268120,0,0,0,0,0,0,0DsssstsssssssV无约束02小结小结工作步骤工作步骤特点特点应用领域应用领域工作步骤工作步骤建立输入输出指标体系进行DEA评价分析确定评价目的确定DMU选择DEA模型满意？调整输入输出指标体系给出综合评价分析结论YN特点特点DEA的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面目前，这一方法应用的领域正在不断地扩大。它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何，即多目标决策（例如建立新厂后，新厂相对于已

13、有的一些工厂是否为有效)。DEA模型甚至可以用来进行政策评价。特点特点适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势。DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也可以）。特点特点 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性。DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表达式。应用领域应用领域 （1）主要有以下几个应用领域：刻

14、画生产函数、经济效率评价、区域经济研究、资源配置、技术进步与可持续发展、绩效评估、物流与供应链管理、银行评价、组合有效性评价以及风险评估领域。（2）它的第一个成功案例是对弱智儿童开设的公立学校项目的评价。（3）值得关注的几个方向：数据挖掘和知识发现领域、考虑决策单元内部结构和外部关系、DEA方法与偏序集理论、基于样本单元评价、 DEA方法与复杂系统研究。03系统的系统的DEADEA有效性有效性 DEA DEA有效性的定义、有效性的定义、 判定、判定、 相对有效面、相对有效面、 DEA DEA有效性的含义有效性的含义思路思路分式规划线性规划对偶规划对偶标准规划决策单元决策单元 k k0 0 为为

15、DEADEA有效的定义有效的定义0( ):TpPMaxV Y00, (1,2, ).1,0TTkkTknst XY X 定义1 如果线性规划(P)的最优解满足下列条件 VP = 0T Y Y0 = 1 则称决策单元 k0 为弱DEA有效。 定义2 如果线性规划(P)的最优解满足条件 VP = 0T Y Y0 = 1 ，并且 00, 00 则决策单元 k0 为DEA有效。 决策单元决策单元 k k0 0 为为DEADEA有效的定义有效的定义():DDMinV01. .nkkks tXsX0,1, 2, ;,0kknss01nkkkYsY定理1 关于对偶规划(D)，有 如果(D)的最优值VD=1，

16、则决策单元k0为弱DEA有效；反之亦然； 如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件： s s0- = 0, s s0+ = 0 ，则决策单元k0为DEA有效；反之亦然。DEADEA有效性的判定有效性的判定在实际应用中，无论利用(P)还是(D)，上述判断都并非易事。 为了方便地使判定决策单元DEA 有效，查恩斯和库伯引用了非阿基米德无穷小量的概念。从而，可以利用单纯形方法求解线性规划问题，来判定决策单元的DEA有效性。 设 是非阿基米德无穷小量，在广义实数域内， 表示一个小于任何正数且大于零的数，考虑带有非阿基米德无穷小量 的C2R模型： 0():TPPMaxVY00, (1,2,

17、, )1.TTkkTTTTTknst X Y Xee():()TTDDMinVeses01. .kkkks tXsX0,1,2, ;,0kknss01nkkkYsYDEADEA有效性的判定有效性的判定 其中其中Te =(1,1, =(1,1, ,1),1)是元素均为是元素均为l l的的 m m 维向量，维向量，e eT T=(1,1,=(1,1,1),1)是元素均为是元素均为l l的的 s s 维向量。维向量。 定理2 设为非阿基米德无穷小量，线性规划（D）的最优解为 0,s s0-, s s0+, 0，有 若0 =1，则决策单元k0为弱DEA有效； 若0 =1，并且s s0-=0 0, s

18、s0+ =0 0，则决策单元k0为DEA有效。 若1,则DMUj0不为弱DEA有效； 利用模型一次计算就能够判定决策单元是否DEA有效。在实际操作中，只要取 足够小，例如取 = 10-6。用单纯形法求解，通常可利用线性规划软件( 如QSB，Lindo等 )，在计算机上实现。 DEADEA有效性的判定有效性的判定例：设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，其数据如下图。判定各个决策单元是否 DEA 有效。1234决策单元投入111334 2 231321121 1 1产出DEADEA有效性的判定有效性的判定解： 决策单元1所对应的线性规划（D），取 = 10-6，为（D D ）：

19、）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.ts.t. . 1 1 + 3+ 3 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = = 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 3= 3 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1

20、0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(1,0,0,0)=(1,0,0,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 20-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=1=1因此，决策单元因此，决策单元1 1为为DEADEA有效。有效。 同样地，经过判定，决策单元2，3均为DEA有效。 决策单元4所对应的线性规划（D），取 = 10-6，为（D D ）：）：Min V VD D = = - 0.000001(s - 0.000001(s- -1 1+s+s- -2 2+s+s+ +1 1) ) s.ts.t. . 1 1 + 3+ 3

21、 2 2 + 3+ 3 3 3 + 4+ 4 4 4 + s+ s- -1 1 = 4= 4 3 3 1 1 + + 2 2 + 3+ 3 3 3 + 2+ 2 4 4 + s+ s- -2 2 = 2= 2 1 1 + + 2 2 + 2+ 2 3 3 + + 4 4 s s+ +1 1 = 1= 1 1 1, , 2 2 , , 3 3 , , 4 4 ,s,s- -1 1,s,s- -2 2 s s+ +1 1 0 0利用单纯形法求解，得到最优解利用单纯形法求解，得到最优解 0 0=(0,3/5,1/5,0)=(0,3/5,1/5,0)T T ，S S1 10- 0- = S= S2 2

22、0-0- = S = S1 10+ 0+ = 0= 0， 0 0=3/5=3/51 1因此，决策单元因此，决策单元4 4不是不是DEADEA有效。有效。决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影对于 来调整，使决策单元从非DEA有效变到DEA有效。() :()TTDDM in Veses01. .nkkks tXsX0 ,1, 2 ,;,0kknss01nkkkYsY定义定义2.3 2.3 设设 是线性规划问题是线性规划问题 的最优解，令的最优解，令 称称 为决策单元为决策单元j j0 0对应的对应的 在在DEADEA的相对有效面上的相对有效面上的投影。的投影。 D0

23、0, s s0000000jjjjxxsyys00(,)jjxy00(,)jjxy对于带有非阿基米德无穷小量 的线性规划：D决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影定理定理2.4 2.4 设设 其中，其中， 是决策单元是决策单元j j0 0对应的线性规划问题对应的线性规划问题 的最的最优解，则优解，则 相对于原来的相对于原来的n n个决策单元来说是个决策单元来说是DEADEA有有效的。效的。DEA方法通过投影来分析决策单元非有效的原因和程度，预测决策单元可能达到的有效程度，发现各决策单元调整投入规模的正确方向和程度，调整弱DEA有效的决策单元使变得DEA有效，为管理

24、提供重要的决策信息。0000000jjjjxxsyys00, s s00(,)jjxyD决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影一般地，记000000000010,0,jjjjjjjxxxxsyyys分别称为输入剩余和输入亏空。即00,jjxy分别表示当决策单元j0要想转变为DEA有效时的输入与输出变化的估计量。若原来的 非DEA有效，则通过对其投影，可以在不减少输出的前提下，使原来的输入有所减少（当 时），或在不增加输入的前提下，使输出有所增加（当 时）。00jx00jy00jjxy（,）决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影例：设有

25、7个工厂（DMU），每个工厂有两种投入（输入）、一种产出（输出），为方便讨论，其中输入输出已按相同比例扩大至输出均为120，如下表：DMUDMU1DMU2DMU3DMU4DMU5DMU6DMU7x119155610540 x2101530451715y120120120120120120120现以输入1、输入2与输出量为坐标，在输入输出空间中标出这7个DMU，为7个点，再将它们投影到输入平面上，如下图：决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影可以看到，DMU3、DMU5、DMU1、DMU6、DMU7最靠近坐标轴，再加上从DMU3、DMU7引出的垂线、水平线，即得到一

26、个由部分DMU组成的分段线性的“最小凸包”。决策单元在决策单元在DEADEA相对有效面上的投影相对有效面上的投影在与原点连线的意义下，如果DMU离“最小凸包”越远，有效性就越差。“最小凸包”是在有限多个实际生产观测值基础上构成的前沿面，如果实际观测数据足够多，那么不仅可得到这样的折线，而且能够得到更为光滑的曲线边界。若DMUj0位于前沿面上，则其有效，否则，此DMUj0与原点连线必与前沿面有一交点，可用原点与此点的连线段和原点与DMUj0的连线段之比作为其有效性度量，这一交点实际即为此DMUj0在前沿面上的投影。由于上述基本思路是以实际样本点的外包络面为基础，因此这一方法被称为“数据包络分析”

27、。显然，DEA的工作对象不是单个的DMU，而是由多个同类型的DMU组成的集合。DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义什么是技术有效？什么是规模有效？例：下表给出3个DMU的输入、输出数据。DMUDMU1DMU2DMU3x245y213.5首先了解一下生产函数的概念。生产函数表示在生产处于( )Yy x最理想状态下，输入量为x时，所能获得的最大输出。生产函数的导数 称为边际成本函数，而生产规模递增是指边际成本函数为增函数，即其导数 ，或生产函数曲线既凸且增，其本质是随着输入的增加，1单元的输入将生产多于1单元的输出。生产规模递减是边际成本函数为减函数，现将生产可能集、各DMU及其投影、对应

28、的生产函数表示如下图所示：( )Yy x( ) 0Yy xDEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义A、C位于生产函数曲线上，故均为技术有效，即对于输入x不可能有更大的输出。C位于凹的一段上，C为规模递减，若B与其投影B的连线与生产曲线相交于D，则D位于凸的一段生产函数曲线上，为规模递增。DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义 对于A、B、C的CCR模型的最优解按照 的次序依次为A（1，0，0，1，0，0），B（1/4，1/2，0，1/2，0，0），C（7/10，3，0，7/4，0，0）。可见A为DEA有效（CCR）的，所以既为规模有效，又为技术有效；而B、C均为非DEA有效（CCR）

29、的。 对B， ，对C， 故二者规模收益递减，这是由二者投资规模过大引起的。*(,1,2,3)jjss3*1121jj3*11512jj对于经济管理，这些信息及其有用。DMU1不能再增加输入，因为其已经是规模有效的；而B、C因为输入过多，造成生产规模过大，效率不高；若此时还有DMU位于生产曲线的OA段，则可进一步增加输入，因为此时为规模递增，增加输入可形成规模效应，取得更好的规模效益。DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义可见，在C2R模型下的DEA有效，其经济含义 是：既为“技术有效”，也为“规模有效”。DEA有效的含义与经济含义对应关系如下：技术有效，规模有效DEA有效不为技术有效，也

30、不为规模有效不为DEA有效技术有效，不为规模有效不为DEA有效DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：（1）*1，且s s*0 0，s s*-0 0。则决策单元j0为DEA有效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效；（2）*1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术效率最佳和规模最佳；（3）*1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是技术效率最佳，也不是规模最佳；DEADEA有效性的经济意义有效性的经济意义（1）如果存在j*（j1，2，n）使得j*1，则DMU为规模收益不变；（2）如果不存在j*（j1，2，n）使得j*1，若 ，则DMU为规模收益递增；（3）如果不存在j*（j1，2，n）使得j*1，若 ，则DMU为规模收益递减；*111njj*111n