第四章航行器动力学(Dynamics).

1、Dyn amics)第四章航行器动力学4.1刚体动力学牛顿-欧拉表达式 牛顿第二定律:欧拉第一和第二定理:PJ mvcmchj J 乃4.1刚体动力学假设：(1) 航行器是个刚体；(2) NED坐标系是惯性坐标系；第一个假设可以不用考虑航行器各质量元素之间的相互作用 力；第二个假设可以不用考虑由于地球自转而产生的力，这是因为地球自转的角速度为：L 7.2921 10 5(rad /s)地球自转产生的力相对于水动力来说可以忽略4.1.1 平移运动重心的速度:vj V。= coiba? COAibg+co+ ieennbnb+ cob；nb投影到n系:nVcRn(vbnb投影到b系：4.1.1平移

2、运动对上式求导：v;=甩& ib ； * 叮）Rn（vbb;）=Rn（v; i；b：）偎（;用;：） =RbVO S（ l：b）gb S（ QI S2（ Q訂根据欧拉第一定理：mVc fcNED近似为惯性系，mV： = T =尺 fcbmV： S（ l；b）gb S（ ： S2（ 3；= L fJ4.1.1平移运动mVbIbrbbVbb(nbgnbonbInb onbb nb如果b系的原点选在重心，贝Urgb = 0 00)T , fb b fc ,VobVc则:mV； S( :b)v； = fcb4.1.2旋转运动欧拉第二定理：i 441% = me,!% = lc ib根据前面的假设，可以

3、得到|。吧 s（阳|。bb ms（gb）vb ms（gb）s（初）* mb式中：lzxlzylzJlzxlzylzJ1 yx1 xyixzlyz,lolzxlzylzJ4.1.2旋转运动lx =V(y2Z2)mdV;lxy =VxymdV1厂V(X2Z2)mdV；lxz =VXZmdVlz =V(x2y2)mdV; lyz =V yzmdV如果b系的原点选在重心，即rgb 000Tnbs( ；b)lnbbmeyxzxzymdVmdVmdVyxzxzy4.1.2旋转运动平行轴定理：相对于任意原点0的惯性矩阵可以表示为：I。= lc mS（r：）= J m（rrT 巾3 3）4.1.3刚体动力学方

4、程mV： S(加叮 s( bb)v； s2( bb)Q =lo l；b S( ；b)lo ；bmS(r：)V：mS(r；)S(=代mu _ vr + 甘耳+ r2)十y/pq r) + zg(pr + ?)=X加十 _+ iir-yg(j + p?) + gg(g厂-p) + xg(qp + r)=YniaV - uq + vp zs(p- +g】)+xs(tp - q) +yg(vq + p)=ZIxp + (A _ A )?r - (r + pqK + (r2 _ q* + (pr- q)I+ tnys(Sv _ uq + vp) _ Zg(v _ up + )=KIyq + (A _ I

5、Jrp -(p + qr)I + (p2 _ r2)! + (qp r)I+ wzg(w 一 vr + uty) 一 Xg(w - uq + ip) = Mhr + (Iy- IJpq _ (? +_K) + bq -p)I+ nixg(v 一 + ur) -yg(u 一 “ + mjj) = N4.1.3刚体动力学方程w p q r1矩阵向量形式：M rM CRB(V NRB，VU V特性:M RB二 MRB0,MRB。6 6mis 3- mS(rgb)M RB b_mS(rg)Io11m1000mzgmyg0m0_mzg0mxg010mmyg-mxg00mzgmygIx-Ixy Ixzmz

6、g0-叫- I yxIy-Iyz_mygmxg0-Izx-IzyIzTM11 MdMM0m 21 m 22其中：M21M12。则科里奥利一向心矩阵为反对称矩阵，并可表4.1.3刚体动力学方程定理：令M为6 6的系统惯性矩阵:示为:03 3IC(v) =S( M11V1 M 12V2 )S(M11v/ M12v2)S(M21vM 22v2)式中，Vi =u v w】,V2 = p4.1.3刚体动力学方程特性（刚体科里奥利一向心矩阵） 刚体科里奥利一向心矩阵 CRB（V）总可以表示为反对称矩阵，即Crb（v） =CRB（V）, v 0将M RB代入得：crb(v)03 3mS(Vi)- mS(S(

7、V2)FibbimS(vj mS(S(V2)rg)mS(S(vJrg) - S(IV2)4.1.3刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化:(1)原点0与重心一致：Q = 1 0 00TIIy1=1=1IcoyxyIIzxzyIxz11 yz, M rb =IzmI3 303 31 103 3I c进一步简化：lc = 1。 = diag lx IyIz4.1.3刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：(2)旋转载体系的坐标轴，使得I。为对角矩阵。求I。的特征值i(i T,2,3)：32det( l3 3 I。)=a2aja。= 0求模态矩阵H = 1十 h2 h3:Cilr Io)hr 0

8、；(i= 1,2,3)将坐标系(xb,yb,zb)旋转到新坐标系，它的单位向量为4.1.3刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化:(2)旋转载体系的坐标轴，使得I。为对角矩阵Hex；e厂 HeyHezK;M ;N;则新的惯性矩阵I。= diag i 23m(dvwq) =x;(lzly)qr=m(Vwpur) =y;I yd(lxlz)rp=m(Wuqvp) =z;lz“(lylx)pq=4.1.3刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化:(3)平移原点0使得I。为对角阵。diaglx Iy Iz由平行轴定理：I egx-I eg xy-I eg xzIomS2（gb） =egI yxI e

9、gI yegI yzegI zxegIzyegI zlc对角元素必须满足:4.1.3刚体动力学方程I 0为对角阵。刚体六自由度运动方程的简化:(3)平移原点0使得IxlyIzI egXI eg1 yI egzm(y； m(x； + m(x； +Z2)Z2)y；)选择Xg,yg,Zg，使得miygx：ml：gzgI cg egxy xzI eg I egxy yzI cg egxz yz4.1.3刚体动力学方程刚体六自由度运动方程的简化：(3)平移原点0使得Io为对角阵。此时刚体动力学方程为：m_d vr wqXg(q2r2)yg(pqd)zjprd)=Xm V wp uryg(r2p2)(qr

10、p)xg(qp*)=Ym_Wuq vp-Zg(p2q2)Xg(rpd)yg(rqp)=ZIxp(lzly)qrm yg(Wuqvp)Zg(Vwpur)=Klyq(lxlz)rpm zUvrwq)xg(Wuqvp)=M拥(lylx)pqm_Xg(v wpur) yg(uvrwq)=N4.2流体动力和力矩(1) 由于流体辐射引起的力:【M av ：Ca(v)v- Dp(v)v - g( Y g0added masspote ntial damp ingrestori ng forcesDw(v)vDM (v)vskin fricti onwave drift damp ingvortex shed

11、di ng damp ing令:D(v)：Dp(v)Ds(v) Dw(v)Dm (v)M A，Ca(v)vD(v)vg()g。(2) 由于环境干扰产生的力如风、浪、流产生的力和力矩，记为 W。(3) 最终模型M rb crb(V)V = rbrb = h W式中，为推进力和力矩。则mV c(v)v d(v)v g( )= g w式中：M = M RB M AC(v) = Crb(v) Ca(v)v4.2.1附加质量和惯性欧拉-拉格朗日方程:L = T-V , T为动能，V为势能d L dtJ T()式中：二n e de屮Kirchhoff方程：d T 、TS(v2)-T邛1dt v.vid T

12、 、TTS(v2)S(v)=T. 2dt v2V2viiv w,v2rX Y Z1 ,vT Mv24.2.1附加质量和惯性 流体动能：1TAvtMav,M2代入 KirchhoffXuIXvXwXpXqXr1YuYvYwYpYqYrZuZvZ wZpZqZrAKuKvKwKpKqKrMuMvMwMpMqMrNuNvNwNpNqNr方程d T叮i +S(v?) _=T1dt yVid Tc叮Tii +S(v?)s(w)iT2dt v?叫2Vi-Kcq4.2.1附加质量和惯性一 P rCV=严du STi=q、f THd 44.2.1附加质量和惯性+Xv + Xd Kn - Jjp - Er2Xi

13、rUt K/iip -爲 ur_ ：耳+鬲问+打円-:辿-Mt冷Ma 启価-ug） + Z（w- ug） + M直-X u: - h*） - i Qmu +再i： +心十曲 +耳仃一 jp -r；（ - Q）十f阳-Np Ij+ A;i - IXl 召j密-咐；_齐-Zr；（n/? + UT ： 更回+ E痔Aj &上 + 耳* 两 +_TAr* -:再 _ 7卫哎一咼几避-+ 耳帀 + 御十 Nyi -x2 -X - （A） - YP + Mtp 十 窗 -二.ut七丄+ 咐+ JT w +一闪+号阳-隔一城胸 Sr4.2.1附加质量和惯性特性：在理想流体下，附加质量惯性矩阵Ma= M 0特

14、性：在理想流体下，附加质量科里奥利一向心矩阵CA（V）总可以表示为反对称矩阵，即Ca(v)=T03 3S( A11V1A12V2 )-Ca(v)二l - S(A11V1 + A|2v2)S(A21v1+ A22v2)j式中TAI1AI2A 二 A 0, A 二IL A21A22421附加质量和惯性0I000-a3a?i000a30i一 ai丨000-a2印0Ca(v)二门I0-a3a20- b3b2a30 a1b30b1il_ a20-b2b10印二 XuuXyVXwW Xpp Xqq X/a YuUYyVYwWYp p q YrtraZuuZvVZwW ZppZqqZArbi =KuUKvV

15、KwW Kpp KqqKrirb2 =M ”uM vv M ww M pp Mqq Mrra NuuNvVNwWNpp Nqq Nrr4.2.2水动力阻尼水动力阻尼主要包括：（1）势阻尼：也称为 Radiation-induced damping （随波浪频 率被迫振动产生的阻尼），通常比较小，可以忽略。（2）表面磨擦：当考虑航行器的低频运动时，由于层流边界 层理论产生的线性表面摩擦非常重要；此外，除了线性表面摩擦， 由于湍流边界层将产生高频部分，这通常被称之为二次型或非线性 表面摩擦。（3）波浪漂移阻尼：波浪漂移阻尼可解释为由于航行器在水 面运动时由于波浪产生的附加阻力。（4）由于涡流脱落产

16、生的阻尼：1f（U）CD（Rn）A|u|u422水动力阻尼R n= UD, 1.56 16v对于动力定位的低速应用，在轴向二次项阻尼可以用 表示，在侧向和航向米用 Cross-flow 表示：1 p olTTCwSCdUr Ur1一 p2 w LppITTC dragXdYdA Cd2D(x)(Vrxr) vr 十 xr dxUcurre ntNd1 A C：D(X)(Vrp2 w2 lLppxr) vr 十 xr xdxVcurre nt4.2.2水动力阻尼六自由度二次阻力可方便地表示为:-1VTDnlV111T111VDn2V11TI1VDn3Vl1T11VDn4VI1T11VDn5Vl1

17、T1-VDn6V_Dn(V)V =式中：Vu v w p qTN , Dni(i = 1,111,6)是 6 的矩阵，且取决于p，CD和A4.2.2水动力阻尼总的阻尼可表示为：D(v)= D Dn(v)特性(水动力阻尼矩阵)：在理想流体中的刚体，水动力阻尼 矩阵是非对称、严格正实矩阵，即D(v) 0 v U 6例如：对于低速航行的航行器，如果其关于XZ对称，且纵向和 轴向能够解耦，则线性化的阻尼力和力矩可以表示为：Xu1001D=-1 0YvYr一 0NvNr对于低速应用，也可进-步假定Nv =Yr，使得 D = Dt o422水动力阻尼动力定位（低速机动） 线性阻尼占主导地位机动（高速）：非

18、线性阻尼占主导地位u (m/s423恢复力和力矩重力：mg ,浮力：8= g001 1 n0 , fbn 1 10W一 Bf Rb()飞,Rn( r1 fbnfgb+ fbb 1 g()rb fbb fb-rg f g rg fb4.2.3恢复力和力矩W B)sin 91；-(W - B)coS sin*g()1- (W B) coS cos*ii(ygW ybB)cos cos(zgW ZbB)cos sin(zgW - zbB)sin。+ (XgW- xbB)cos cos*i -(xgW - xb B)cos sin - (ygW- ybB)sin 6 J式中：rbb = 1 Xbbrg

19、xgyZ)1，浮心坐标ygzg，重心坐标4.3六自由度运动方程4.3.1非线性运动方程 载体坐标系下的向量表示：MV C(v)v D(v)v g( ) = g W I J ( )v式中：M = M rb M AC(V)= Crb(v) Ca(v)D(v)= Dp(v) Ds(v) Dw(v) Dm (v)4.3.1非线性运动方程NED坐标系下的向量表示：I = J( )v二 v = J 丫)III = J()v J( )v= v= J( )_ II J( )J( ) I 将v和v用”1和”11代得：M ( p J T( )MJ 1()C (v, p J T( )_C(v)- MJ_1( )J(

20、 ) J_1()D (v, p J T( )D(v)J 1() g( )= J T( )g()4.3.1非线性运动方程g w)M ( )11 C (v, )1 D (v, )1 g ( )= J T()(NED坐标系下非线性运动方程特性：(1) M ( p M ( )T 0- U 6(2) ST_ M ()- 2C (v,) s = s U 6,V- 6D(v, )0v 6,_64.3.1非线性运动方程特性（系统惯性矩阵）：对于刚体，系统惯性矩阵严格正实的充要条件是M a 0，即M = M RB M A 0如果刚体在理想流体下处于静止状态（或以低速航行），系统 惯性矩阵总是正定，即 M = M

21、 T 0，且W - Xu-VymzsXqJVyni -Ip:mzg7p-YqW Zyrwy p- p-nixg-Zq-ZrXP叫-今-Ixy-Kq一zx-心-mxg-Zq-】xyJ0-jy二 TiprWp-Ap&mxaTr0-ZrJii-A/jr上一冷4.3.1非线性运动方程特性(科里奥利和向心矩阵)：在理想流体中航行的刚体，其 科里奥利和向心矩阵总可以表示反对称形式，即C(v)CT(v)v U 6如果M不是对称矩阵，可将 M写成对称和反对称矩阵和，即11M = -(M M T)-(M - M T)2211一 1M0= T 二 一vTMv 二 一vTMv 0(vT(M - M T)v= 0)2

22、2 2式中：一 一 1M = Mt (M Mt)024.3.2线性运动方程假设横滚角和俯仰角:P(=0J( )vP( )V)R()-3 汉 303 3I1 3 3定义(航行器平移坐标系)航行器平移坐标系定义为:”p=pTf)式中：” p为NED位置和姿态在载体坐标系下的分量，注意到PT( )P( )= I66。432线性运动方程低速应用（位置保持）：由航行器平移坐标系可得:| p = PT ( ) PT ( 其中：r = T，且)1PT()P()+ pP01100001-100000010000010000010000000一 0000010ST( )P( )v= rS p v对于低速应用rp

23、4.3.2线性运动方程重力和浮力也可用平移坐标系来表示。对于小横滚和俯仰角一og( ) PT( )G = PT()GP( ) p = G pG对于中性浮力的航行器，即 w = B，Xg = Xb，W 或，则G = diag 0 0 0 (zg - zJW (zg - zJW 0432线性运动方程低速机动和动力定位：v ： 0意味着非线性科里奥利力、向心力、 阻尼力、恢复力可以在平衡点 V = 0和=0进行线性化。因为C(00，Dn(0P 0，贝ymV c(v)v0DDn(V)V g()VDvG pg w最终状态空间模型：”1TpmV Dv g p厂 Ax Bu Ewx =1 T vT ,u 八0A - M _1GI0-M _1D ，B . M 1 ，E4.3.2线性运动方程航行器在巡航状态，假设航行器巡航速度满足0= U00Tu= U0令N(u) = C(v)v+ D(v)v令,vV v v0，贝y pM v N(u0) v G pv VoI +A A(u0)x B