《概率论与数理统计》第三版_王松桂_科学出版社_课后习题答案

1、第一章 事件与概率1写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。 解 （1）其中n为班级人数。 （2）。 （3）。（4）00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1

2、111，其中0表示次品，1表示正品。 （5）(x,y)| 0<x<1,0<y<1。 （6） t| t ³ 0。2设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件，。（1）A发生，B与C不发生。（2）A与B都发生，而C不发生。（3）A，B，C中至少有一个发生。（4）A，B，C都发生。（5）A，B，C都不发生。（6）A，B，C中不多于一个发生。（7）A，B，C至少有一个不发生。（8）A，B，C中至少有两个发生。 解 （1），（2），（3），（4），（5）， （6）或，（7）， （8）或 3指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作图说明。（1） （2）（3

3、） （4）若 （5） （6） 若且， 则 解 : (1) 成立，因为。(2) 不成立，因为。(3) 成立，。(4) 成立。(5) 不成立，因左边包含事件C，右边不包含事件C，所以不成立。(6) 成立。因若BC，则因CÌA，必有BCÌAB，所以AB与已知矛盾，所以成立。 图略。 4简化下列各式：（1） （2） （3） 解:（1），因为 ，所以，。（2），因为 ，且，所以 。（3）。 5设A，B，C是三事件，且P（A）P（B） P（C），求A，B，C至少有一个发生的概率。解 ABCÌAB 0P(ABC)P(AB)=0，故P(ABC)=0所求概率为P(ABC)=P(A)

4、+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)6 从1、2、3、4、5这5个数中，任取其三，构成一个三位数。试求下列事件的概率：（1）三位数是奇数； （2）三位数为5的倍数；（3）三位数为3的倍数； （4）三位数小于350。解 设A表示事件“三位数是奇数”， B表示事件“三位数为5的倍数”， C表示事件“三位数为3的倍数”，D表示事件“三位数小于350”。基本事件总数为 ，(1) ；(2) ；(3) ； (4) 。7某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交贷人随意将这些油漆发给顾客。问一个定货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾

5、客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？解 随机试验E为任意取9桶交与定货人，共有种交货方式。其中符合定货要求的有··种，故所求概率为8在1700个产品中有500个次品、1200个正品。任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；（2）求至少有2个次品的概率。解 （1）试验E为1700个产品中任取200个，共有种取法，其中恰有90个次品的取法为·，故恰有90个次品的概率为（2）设事件A表示至少有2个次品，B表示恰有1个次品，C表示没有次品，则A=S-(BC)，且BC=，BCÌSP(A)=PS-(BC)=P(S)-P(B)+P(C)9把10本书任意地放在

6、书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率。解 V=P10=10！，设所论事件为A，则 VA=8！×3！ 10从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？解 V=C410，设A 表示事件“4只鞋中至少有2只配成一双”，则 表示“4只鞋中没有2只能配成一双”。先求出P( )，再求P(A)。有利于 的情形共有 种（因为不考虑取4只鞋的次序，所以被4！除）。 故 另一解法：有利于事件A的总数为11将3鸡蛋随机地打入5个杯子中去，求杯子中鸡蛋的最大个数分别为1，2，3的概率。解 依题意知样本点总数为53个。以Ai(i=1, 2, 3)表示事件“杯子中鸡蛋的最大个

7、数为i”，则A1表示每杯最多放一只鸡蛋，共有种放法，故A2表示由3个鸡蛋中任取2个放入5个杯中的任一个中，其余一个鸡蛋放入其余4个杯子中，放法总数为种A3表示3个鸡蛋放入同一个杯中，共有种放法，故 12把长度为a的线段在任意二点折断成为三线段，求它们可以构成一个三角形的概率。解 设所论事件为A，线段a被分成的三段长度分别用x，y和a-x-y表示，则样本空间为：0xa，0ya，0x+ya，其面积为 而有利于A的情形必须满足构成三角形的条件，即其面积为 。 13甲乙两艘轮船要在一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。若甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，

8、求它们中任何一艘都不需等候码头空出的概率。解 设自当天0时算起，甲乙两船到达码头的时刻分别为x及y，则为：0x24，0y24，L()=242，设所论事件为A，则有利于A的情形分别为：（1）当甲船先到时，乙船应迟来一小时以上，即y-x1或y1+x；（2）当乙船先到时，甲船应迟来两小时以上，即x-y2或yx-2；事件A应满足关系：y1+x，yx-2，L(A) 。14已知 求。解 由乘法公式知 15已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。 （1）两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。解 设以Ai

9、(i=1,2)表示事件“第i次取出的是正品“，因为不放回抽样，故（1）（2）（3） （4）16在做钢筋混凝土构件以前，通过拉伸试验，抽样检查钢筋的强度指标，今有一组A3钢筋100根，次品率为2%，任取3根做拉伸试验，如果3根都是合格品的概率大于095，认为这组钢筋可用于做构件，否则作为废品处理，问这组钢筋能否用于做构件？解 设表示事件“第i次取出的钢筋是合格品”，则所以 故这组钢筋不能用于做构件。17某人忘记了密码锁的最后个数字，他随意地拨数，求他拨数不超过三次而打开锁的概率。若已知最后一个数字是偶数，那么此概率是多少？解 设以Ai表示事件“第i次打开锁”（i=1,2,3），A表示“不超过三次

10、打开”，则有易知：是互不相容的。同理，当已知最后一个数字是偶数时，所求概率是18袋中有8个球，6个是白球、2个是红球。 8个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中。问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少个。解 设以Ai(i=1,2,8)表示事件“第i个人取到的是红球”。则又因A2=，由概率的全概公式得类似地有 19设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，问另一件也是不合格品的概率是多少？解 设A，B分别表示取出的第一件和第二件为正品，则所求概率为20对某种水泥进行强度试验，已知该水泥达到500#的概率为09，达到600#的概率为0.3，现取一水

11、泥块进行试验，已达到500#标准而未破坏，求其为600#的概率。解 设A表示事件“水泥达到500#”， B表示事件“水泥达到600#”。 则 P(A)=0.9, P(B)=0.3, 又 ,即P(AB)=0.3,所以。21以A，B分别表示某城市的甲、乙两个区在某一年内出现的停水事件，据记载知P（A）0.35，P（B）0.30，并知条件概率为P（AçB）0.15，试求： （1）两个区同时发生停止供水事件的概率； （2） 两个区至少有一个区发生停水事件的概率。解 （1） 由题设，所求概率为 ； （2） 所求概率为 。22设有甲、乙两袋，甲袋中装有n只白球、，m只红球；乙袋中装有N只白球、M

12、只红球，今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中，再从乙袋中任意取只球。问取到白球的概率是多少？解 设A1、A2分别表示从甲、乙袋中取到白球，则由全概率公式23盒中放有12只乒乓球，其中有9只是新的。第一次比赛时从其中任取3只来用，比赛后仍放回盒中。第二次比赛时再从盒中任取3只，求第二次取出的球都是新球的概率。解 设表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，用A表示事件“第二次比赛时取出的球都是新球”。则有。由全概公式有 。24 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为002而B被误收作A的概率为001信息A与信息B传送的频繁程度为2：l若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的

13、概率是多少？解 设事件H表示原发信息为A，C表示收到信息为A，则表示原发信息是B。H，是S的一个划分。依题意有由贝叶斯公式有25甲、乙、丙三组工人加工同样的零件，它们出现废品的概率：甲组是0.01，乙组是0.02，丙组是0.03，它们加工完的零件放在同一个盒子里，其中甲组加工的零件是乙组加工的2倍，丙组加工的是乙组加工的一半，从盒中任取一个零件是废品，求它不是乙组加工的概率。解 设分别表示事件“零件是甲、乙、丙加工的”，B表示事件“加工的零件是废品”。则 所以 。26有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件

14、两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解 设事件A表示“取到第一箱”，则表示“取到第二箱”，B1，B2分别表示第一、二次取到一等品。（1）依题意有：，由全概率公式 （2） 由全概率公式 27设有四张卡片分别标以数字1，2，34今任取一张设事件A为取到4或2，事件B为取到4或3，事件C为取到4或1，试验证 P（AB）P（A）P（B）， P（BC）P（B）P（C）， P（CA）P（C）P（A， P（ABC）¹PAP（B）P（C）。证 样本空间中有4个样本点，而A、B、C中均含有2个

15、样本点，故 又AB、AC、BC中均含有1个样本点“取到4”故 同理 P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)又ABC中有1个样本点取到4 28假设关于条件与都相互独立，求证 证 由关于条件与是相互独立的，故有，以及，从而29如果一危险情况C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关井联以改善可靠性，在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每个具有096的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为09999的系统，则至少需要用多少只开关

16、并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。解 设n只开关并联，以 Ai表示事件“在C发生时，第i只开关闭合“，则由已知条件诸Ai相互独立，且P(Ai)=0.96，从而知，当n=2时，系统的可靠性为又若使系统可靠性至少为0.9999，则必须0.9999即 故至少需用3只开关才能使系统的可靠性至少为0.9999。30甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人中的概率分别为0.4，0.5，0.7飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解 设分别表示甲、乙、丙击中飞机，表示有i个人击中飞机，H表示飞机被击落。则独立，且于是

17、依题意有：于是，由全概公式有。31在装有6个白球，8个红球和3个黑球的口袋中，有放回地从中任取5次，每次取出一个。试求恰有3次取到非白球的概率。解 由题设知，取一个非白球的概率 p=11/17，于是。若视 ，则可查表得 。32电灯泡使用时数在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时后最多只有一只坏了的概率。解 设A表示事件“一个灯泡可使用1000小时以上”，则A的概率为p=0.2,q=0.8。考察三个灯泡可视为n=3 的贝努利试验，于是所求概率为 。33某地区一年内发生洪水的概率为0.2，如果每年发生洪水是相互独立的，试求：（1） 洪水十年一遇的概率；（2） 至少要多少年才

18、能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。解 这是贝努利概型， p=0.2.(1) n=10,设A表示事件“洪水十年一遇”，则 （2）由题设，即要 成立，解此不等式得 ， 即至少要21年才能以99%以上的概率保证至少有一年发生洪水。34 在打桩施工中，断桩是常见的，经统计，甲组断桩的概率为3%，乙组断桩的概率为1.2%。某工地准备打15根桩，甲组打5根，乙组打10根，问：（1） 产生断桩的概率是多少？（2） 甲组断两根的概率是多少？解 设A表示事件“所打桩是甲组的”，B表示事件“所打桩是乙组的”， C表示事件“在打桩施工中产生断桩”。则 。（1） 由全概公式有 ；（2） 是贝努利概型，这里，

19、于是所求概率为 。35 某养鸡场一天孵出n只小鸡的概率为 其中,若认为孵出一只公鸡和一只母鸡是等可能的,求证:一天孵出k只母鸡的概率,又已知一天已孵出母鸡,问还能孵出一只公鸡的概率是多少?证 设是表示事件“一天中孵出k只母鸡”，是表示事件“一天中孵出n只小鸡”，则是互不相容事件，且，。（1） （2）某天已孵出一只母鸡，即发生，在此条件下还孵出一只公鸡，即发生，因此所求概率为第二章 随机变量2.1 X23456789101112P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据，得，即。 故 2.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，XB(2,

20、0.7)用Y表示乙在两次投篮中所投中的次数, YB(2,0.4)(1) 两人投中的次数相同PX=Y= PX=0,Y=0+ PX=1,Y=1 +PX=2,Y=2=(2)甲比乙投中的次数多PX>Y= PX=1,Y=0+ PX=2,Y=0 +PX=2,Y=1=2.4 解:（1）P1X3= PX=1+ PX=2+ PX=3=(2) P0.5<X<2.5=PX=1+ PX=2=(3) 2.5解：（1）PX=2,4,6,=（2）PX3=1PX<3=1PX=1- PX=2=2.6解：(1)设X表示4次独立试验中A发生的次数，则XB(4,0.4)(2)设Y表示5次独立试验中A发生的次数

21、，则YB(5,0.4)2.7 （1）XP()=P(0.5×3)= P(1.5) =（2）XP()=P(0.5×4)= P(2)2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X，则。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即，也即因为n=180较大，p=0.01较小，所以X近似服从参数为的泊松分布。查泊松分布表，得，当m+1=7时上式成立，得m=6。故应至少配备6名设备维修人员。2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y，则。所求的概率为2.10（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天

22、供电量不足的概率为：（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：2.11解：要使方程有实根则使解得K的取值范围为,又随机变量KU(-2,4)则有实根的概率为2.12解：XP()= P()(1) （2）（3）2.13解：设每人每次打电话的时间为X，XE(0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y，则。因为n=282较大，p较小，所以Y近似服从参数为的泊松分布。所求的概率为2.14解：(1)(2)2.15解：设车门的最低高度应为a厘米，XN(170,62)厘米2.16解：设表示第i次取出的是次品，X的所有可能取值为0，1

23、，2=2.17解：X的可能取值为1,2,3。因为； 所以X的分布律为X123P0.60.30.1X的分布函数为2.18解：(1) (2) 2.19解：(1)由及，得，故a=1,b=-1.(2) (3) 2.20(1)Y040.20.70.1(2)Y-110.70.32.21（1）当时，当时，当时，X-112P0.30.50.2（2）Y120.80.22.22（1）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则对求关于y的导数，得 （2）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则当时，当时，有对求关于y的导数，得 （3）设FY(y)，分别为随机变量Y的分布函数和概率密

24、度函数，则当时，当时，对求关于y的导数，得 2.23 XN(0,1) （1）对求关于y的导数，得到 （2），,对求关于y的导数，得到 （3）， 对求关于y的导数，得到 第三章 随机向量3.1 P1<X2,3<Y5=F(2,5)+F(1,3)-F(1,5)F(2,3)= 3.2YX1220=3=03.4（1）a=（2）（3） 3.5解：（1）,x>o,Y>0;F(x,y)=0,其他（2）3.6解：3.7参见课本后面P227的答案3.8 3.9解：X的边缘概率密度函数为：(1)当时，(2)当时，Y的边缘概率密度函数为： 当时， 当时，3.10 （1）参见课本后面P227的答

25、案（2） 3.11参见课本后面P228的答案3.12参见课本后面P228的答案3.13（1） 对于时，所以 对于时，所以 3.14X Y025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371由表格可知 PX=1;Y=2=0.25PX=1PY=2=0.3225故所以X与Y不独立3.15X Y123X的边缘分布12ab+a+bY的边缘分布a+b+1由独立的条件则可以列出方程解得 3.16 解（1）在3.8中 当， 时，当或时，当或时，所以，X与Y之间相互独立。 （2）在3.9中， 当，时， ，所以X与Y之间不相互独立。3.17解：

26、故X 与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章 数字特征4.1 解：甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机床的总的产量相同乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3，4，54.3参见课本230页参考答案4.4解：4.6参考课本230页参考答案4.7解：设途中遇到红灯次数为X，则 4.8解 500+1000 1500 4.9参见课本后面230页参考答案4.10参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为,方差为,则XN(,)根据题意有: ,解得t=2即=12所以成绩在60到84的概率为 4.124.13解：4.14解：设球的直径为X,则：

27、 4.15参看课本后面231页答案4.16解: 4.17解X与Y相互独立，4.18，4.19，4.20参看课本后面231，232页答案4.21设X表示10颗骰子出现的点数之和，表示第颗骰子出现的点数，则，且是独立同分布的，又所以4.22参看课本后面232页答案4.234.244.25 4.26因为XN(0,4),YU(0,4)所以有Var(X)=4 Var(Y)= 故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+=Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4.27参看课本后面232页答案4.28后面4题不作详解第五章 极限理5.3解：用表示每包大米的重量，则, 5.4解：因

28、为 服从区间0,10上的均匀分布， 5.5解：方法1：用表示每个部件的情况，则，,方法2：用X表示100个部件中正常工作的部件数，则5.6略 第六章样本与统计6.16.3.1证明:由Yi=aXi+b可得，对等式两边求和再除以n有 由于 所以由 可得=6.3.2因为 所以有6.2 证明：6.3（1）（2）由于所以有两边同时除以（n-1）可得 即 6.4 同例6.3.3可知得 查表可知=1.96 又 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为x1 x2 x3.x25,它们来自均值为=200欧姆，标准差为=10欧姆的正态分布的样本则根据题意有：(2)根据题意有6.6 解：（1）记

29、一个月（30天）中每天的停机时间分别为x1 x2 x3.x30，它们是来自均值为=4小时，标准差为=0.8小时的总体的样本。根据题意有：（注：当时，的值趋近于1，相反当时，其值趋近于0）（2）根据题意有：6.7证明：因为T tn，则，随机变量的密度函数为 显然，则为偶函数，则6.8 解：记，则XN(,),n=25故6.9 解：记这100人的年均收入为x1， x2， x3.x100，它们是来自均值为万元，标准差为万元的总体的样本，n=100则根据题意有：（1）（2）（3）6.10 解：根据题意可知此样本是来自均值为，标准差为的总体，样本容量为n=5 （1）依题意有（2）要求样本的最小值小于10概率，即5个数中至少有一个小于10的概率，首先计算每个样本小于10的概率：设X是5个样本中小于10的样本个数则X服从二项分布B(5,0.1587)故有即样本的