初三数学专题复习之动态几何

1、初三数学专题复习之动态几何知识精讲一与函数结合动点问题反映的是一种函数思想 ,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化 ,引起未知量与知量间的一种变化关系 ,这种变化关系就是动点问题中的函数关系那么 ,我们一般用以下几种方法建立函数：1应用勾股定理建立函数解析式；2应用比例式建立函数解析式；3应用求图形面积的方法建立函数关系式二动态几何型压轴题动态几何特点-问题背景是特殊图形 ,考查问题也是特殊图形 ,所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中 ,特别要关注图形的特性特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置动点问题一直是中考热点 ,近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平

2、行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值动态几何常见的题型有三大类：1点动问题；2线动问题；3面动问题解决动态几何问题的常见方法有：1特殊探路 ,一般推证；2动手实践 ,操作确认；3建立联系 ,计算说明动态几何习题的共性：1代数、几何的高度综合数形结合；着力于数学本质及核心内容的考查；四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数；2以形为载体 ,研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值三双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题它主要以几何图形为载体 ,运动变化为主线 ,集多个知识点为一体 ,集多种解题思想于一题这类题综合性强 ,能力要求高

3、,它能全面的考查学生的实践操作能力 ,空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 ,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点常以双动点为载体 ,探求函数图象问题、探求结论开放性问题、探求存在性问题、探求函数最值问题双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型这类试题信息量大 ,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题 ,挖掘运动、变化的全过程 ,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动三点剖析一考点：1三角形、四边形与函数综合问题；2三角形、四边形中的动点问题二重难点：1三角形、四边形与函数综合问题；

4、2三角形、四边形中的动点问题题模精讲题模一：三角形与动点问题例1.1 如图1 ,在ABC中 ,ACB=90° ,点P为ABC内一点1连接PB ,PC ,将BCP沿射线CA方向平移 ,得到DAE ,点B ,C ,P的对应点分别为点D ,A ,E ,连接CE依题意 ,请在图2中补全图形；如果BPCE ,BP=3 ,AB=6 ,求CE的长2如图3 ,连接PA ,PB ,PC ,求PA+PB+PC的最小值小慧的作法是：以点A为旋转中心 ,将ABP顺时针旋转60°得到AMN ,那么就将PA+PB+PC的值转化为CP+PM+MN的值 ,连接CN ,当点P落在CN上时 ,此题可解请你参考

5、小慧的思路 ,在图3中证明PA+PB+PC=CP+PM+MN并直接写出当AC=BC=4时 ,PA+PB+PC的最小值【答案】 132见解析 ,【解析】 1补全图形如下图；如图 ,连接BD、CDBCP沿射线CA方向平移 ,得到DAE ,BCAD且BC=AD ,ACB=90° ,四边形BCAD是矩形 ,CD=AB=6 ,BP=3 ,DE=BP=3 ,BPCE ,BPDE ,DECE ,在RtDCE中 ,CE=；2证明：如下图 ,以点A为旋转中心 ,将ABP顺时针旋转60°得到AMN ,连接BN由旋转可得 ,AMNABP ,MN=BP ,PA=AM ,PAM=60°=B

6、AN ,AB=AN ,PAM、ABN都是等边三角形 ,PA=PM ,PA+PB+PC=CP+PM+MN ,当AC=BC=4时 ,AB=4 ,当C、P、M、N四点共线时 ,由CA=CB ,NA=NB可得CN垂直平分AB ,AQ=AB=2=CQ ,NQ=AQ=2 ,此时CN=CP+PM+MN=PA+PB+PC=例1.2 以平面上一点O为直角顶点 ,分别画出两个直角三角形 ,记作AOB和COD ,其中1点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点 ,连接FM、EM如图1 ,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时 ,=_；如图2 ,将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角 ,其他条件不变 ,判断的值是否发

7、生变化 ,并对你的结论进行证明；2如图3 ,假设 ,点N在线段OD上 ,且点P是线段AB上的一个动点 ,在将AOB绕点O旋转的过程中 ,线段PN长度的最小值为_ ,最大值为_【答案】 1的值不变2；【解析】 该题考查旋转与相似1连接EF ,点E、F、M分别是AC、CD、DB的中位线 ,EF、FM分别是ACD和DBC的中位线 ,EF/AD,FM/CB ,EFM是直角三角形EM/CD ,结论：的值不变.连接EF、AD、BC.如图8RtAOB中 , , ,RtCOD中 , , ,又 , ,AODBOC点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点 ,EFAD ,FMCB ,且 ,. ,即在RtEFM中 ,

8、 , ,2过O作于E ,当点P在点E处时 ,点P到O点的距离最近为 ,这时当旋转到OE与OD重合时 ,NP取最小值为 ,当点P在点B处时 ,且当旋转到OB在DO的延长线时 ,NP的最大值例1.3 在ABC中 , , ,将ABC绕顶点C顺时针旋转 ,旋转角为 ,得到1如图1 ,当AC时 ,设与AB相交于点D证明：BCD是等边三角形；2如图2 ,连接、 ,设和的面积分别为和求：与的比；3如图3 ,设AC中点为E ,中点为P , ,连接EP ,求：角为多少度时 ,EP长度最大 ,并求出EP的最大值【答案】 1见解析；2；3角时 ,EP长度最大 ,其最大值是【解析】 1证明：如图1 ,在ABC中 ,

9、, ,直角三角形的两个锐角互余AC ,又由旋转的性质知 , , ,即 ,在CDB中 , ,BCD是等边三角形；2解：如图2 ,由旋转的性质可知 , ,又由旋转的性质知 ,3解：如图 ,连接CP ,当ABC旋转到的位置时 ,此时 ,即角时 ,EP长度最大 ,其最大值是例1.4 用如图 ,所示的两个直角三角形局部边长及角的度数在图中已标出 ,完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图拼接BC和ED重合 ,在BC边上有一动点P1当点P运动到CFB的角平分线上时 ,连接AP ,求线段AP的长；2当点P在运动的过程中出现时 ,求PAB的度数探究二：如图 ,将DEF的顶点D放在ABC的BC边上的中

10、点处 ,并以点D为旋转中心旋转DEF ,使DEF的两直角边与ABC的两直角边分别交于M、N两点 ,连接MN在旋转DEF的过程中 ,AMN的周长是否存在有最小值？假设存在 ,求出它的最小值；假设不存在 ,请说明理由【答案】 见解析【解析】 探究一：1依题意画出图形 ,如下图：由题意 ,得 ,FP为角平分线 ,那么过点A作AGBC于点G ,那么 ,在RtAPG中 ,由勾股定理得：2由1可知 ,如下图 ,以点A为圆心 ,以长为半径画弧 ,与BC交于点、 ,那么过点A过AGBC于点G ,那么 ,在RtAGP1中 , ,同理求得 , ,PAB的度数为15°或75°探究二：AMN的周长

11、存在有最小值如下图 ,连接AD ,ABC为等腰直角三角形 ,点D为斜边BC的中点 ,在AMD与CND中 , ,AMDCNDASA设 ,那么 , ,在RtAMN中 ,由勾股定理得：AMN的周长为： 当时 ,有最小值 ,最小值为AMN周长的最小值为例1.5 如图 ,在ABC中 ,AB=AC=10cm ,BC=16cm ,DE=4cm动线段DE端点D从点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C运动 ,当端点E到达点C时运动停止过点E作EFAC交AB于点F当点E与点C重合时 ,EF与CA重合 ,连接DF ,设运动的时间为t秒t01直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；2在这个运动过程中 ,DEF

12、能否为等腰三角形？假设能 ,请求出t的值；假设不能 ,请说明理由；3设M、N分别是DF、EF的中点 ,求整个运动过程中 ,MN所扫过的面积【答案】 1BE=EF=t+4cm2t=0、或3【解析】 1BD=tcm ,DE=4cm ,BE=BD+DE=t+4cm ,EFAC ,BEFBCA ,EF：CA=BE：BC ,即EF：10=t+4：16 ,解得：EF=t+4cm；2分三种情况讨论：如图1 ,当DF=EF时 ,EDF=DEF ,AB=AC ,B=C ,EFAC ,DEF=C ,EDF=B ,点B与点D重合 ,t=0；如图2 ,当DE=EF时 ,那么4=t+4 ,解得：t=；如图3 ,当DE=

13、DF时 ,有DFE=DEF=B=C ,DEFABC即 ,解得：t=；综上所述 ,当t=0、或秒时 ,DEF为等腰三角形3如图4 ,设P是AC的中点 ,连接BP ,EFAC ,FBEABC又BEN=C ,NBEPBC ,NBE=PBC点B ,N ,P共线 ,点N沿直线BP运动 ,MN也随之平移如图5 ,设MN从ST位置运动到PQ位置 ,那么四边形PQST是平行四边形M、N分别是DF、EF的中点 ,MNDE ,且ST=MN=DE=2分别过点T、P作TKBC ,垂足为K ,PLBC ,垂足为L ,延长ST交PL于点R ,那么四边形TKLR是矩形 ,当t=0时 ,EF=0+4= ,TK=EFsinDE

14、F=；当t=12时 ,EF=AC=10 ,PL=ACsinC=10=3PR=PLRL=PLTK=3=S平行四边形PQST=STPR=2×=整个运动过程中 ,MN所扫过的面积为cm2题模二：四边形与动点问题例2.1 如图 ,四边形ABCD是正方形 ,ABE是等边三角形 ,M为对角线BD不含B点上任意一点 ,连结AM、CM1 当M点在何处时 ,AMCM的值最小；2当M点在何处时 ,AMBMCM的值最小 ,并说明理由；3当AMBMCM的最小值为时 ,求正方形的边长【答案】 1见解析2见解析3【解析】 该题考查的是四边形综合1当M点落在BD的中点时 ,的值最小1分2如图 ,连接CE ,当M点

15、位于BD与CE的交点处时的值最小2分理由如下：M是正方形ABCD对角线上一点又 ,ABMCBM3分又在EC上取一点N使得 ,连结BN又BNEABM3分又即BMN是等边三角形4分根据“两点之间线段最短 ,得最短当M点位于BD与CE的交点处时 ,的值最小 ,即等于EC的长5分3过E点作交CB的延长线于F设正方形的边长为x ,那么 , 6分在RtEFC中 ,解得舍去负值正方形的边长为7分例2.2 如图1 ,线段 ,点B关于直线AC的对称点是点D ,点E为射线CA上一点 ,且 ,连接DE ,BE1依题意补全图1 ,并证明：BDE为等边三角形；2假设 ,点C关于直线BD的对称点为点F ,连接FD、FB将

16、CDE绕点D顺时针旋转度得到 ,点E的对应点为 ,点C的对应点为点如图2 ,当时 ,连接证明：；如图3 ,点M为DC中点 ,点P为线段上的任意一点 ,试探究：在此旋转过程中 ,线段PM长度的取值范围？【答案】 1如图1 ,证明见解析；2见解析；【解析】 1补全图形 ,如图1所示；证明：由题意可知：射线CA垂直平分BD又EBD是等边三角形2证明：如图2：由题意可知 ,又点C与点F关于BD对称四边形BCDF为正方形 ,由1BDE为等边三角形又是由旋转得到的 ,EDFSAS线段PM的取值范围是：设射线CA交BD于点O ,I：如图31当DC ,MP ,D、M、P、C共线时 ,PM有最小值此时 ,II：

17、如图32当点P与点重合 ,且P、D、M、C共线时 ,PM有最大值此时 ,线段PM的取值范围是：例2.3 如图1 ,在菱形ABCD中 ,AB=6 ,tanABC=2 ,点E从点D出发 ,以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动 ,设运动时间为t秒 ,将线段CE绕点C顺时针旋转一个角=BCD ,得到对应线段CF1求证：BE=DF；2当t=_秒时 ,DF的长度有最小值 ,最小值等于_；3如图2 ,连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q ,当t为何值时 ,EPQ是直角三角形？4如图3 ,将线段CD绕点C顺时针旋转一个角=BCD ,得到对应线段CG在点E的运动过程中 ,当它的对应点F位于直

18、线AD上方时 ,直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式【答案】 1见解析26+6 ,1236秒和6秒4y=t12【解析】 分析：1由ECF=BCD得DCF=BCE ,结合DC=BC、CE=CF证DCFBCE即可得；2当点E运动至点E时 ,由DF=BE知此时DF最小 ,求得BE、AE即可得答案；3EQP=90°时 ,由ECF=BCD、BC=DC、EC=FC得BCP=EQP=90° ,根据AB=CD=6 ,tanABC=tanADC=2即可求得DE；EPQ=90°时 ,由菱形ABCD的对角线ACBD知EC与AC重合 ,可得DE=6；4连接GF分别交直线A

19、D、BC于点M、N ,过点F作FHAD于点H ,证DCEGCF可得3=4=1=2 ,即GFCD ,从而知四边形CDMN是平行四边形 ,由平行四边形得MN=CD=6；再由CGN=DCN=CNG知CN=CG=CD=6 ,根据tanABC=tanCGN=2可得GM=6+12 ,由GF=DE=t得FM=t612 ,利用tanFMH=tanABC=2即可得FH1ECF=BCD ,即BCE+DCE=DCF+DCE ,DCF=BCE ,四边形ABCD是菱形 ,DC=BC ,在DCF和BCE中 ,DCFBCESAS ,DF=BE；2如图1 ,当点E运动至点E时 ,DF=BE ,此时DF最小 ,在RtABE中

20、,AB=6 ,tanABC=tanBAE=2 ,设AE=x ,那么BE=2x ,AB=x=6 ,那么AE=6DE=6+6 ,DF=BE=12 ,故答案为：6+6 ,12；3CE=CF ,CEQ90° ,当EQP=90°时 ,如图2 ,ECF=BCD ,BC=DC ,EC=FC ,CBD=CEF ,BPC=EPQ ,BCP=EQP=90° ,AB=CD=6 ,tanABC=tanADC=2 ,DE=6 ,t=6秒；当EPQ=90°时 ,如图2 ,菱形ABCD的对角线ACBD ,EC与AC重合 ,DE=6 ,t=6秒；4y=t12 ,如图3 ,连接GF分别交

21、直线AD、BC于点M、N ,过点F作FHAD于点H ,由1知1=2 ,又1+DCE=2+GCF ,DCE=GCF ,在DCE和GCF中 ,DCEGCFSAS ,3=4 ,1=3 ,1=2 ,2=4 ,GFCD ,又AHBN ,四边形CDMN是平行四边形 ,MN=CD=6 ,BCD=DCG ,CGN=DCN=CNG ,CN=CG=CD=6 ,tanABC=tanCGN=2 ,GN=12 ,GM=6+12 ,GF=DE=t ,FM=t612 ,tanFMH=tanABC=2 ,FH=t612 ,即y=t12例2.4 在正方形ABCD中 ,点E是对角线AC的中点 ,点F在边CD上 ,连接DE、AF

22、,点G在线段AF上1如图 ,假设DG是ADFD的中线 ,DG=2.5 ,DF=3 ,连接EG ,求EG的长；2如图 ,假设DGAF交AC于点H ,点F是CD的中点 ,连接FH ,求证：CFH=AFD；3如图 ,假设DGAF交AC于点H ,点F是CD上的动点 ,连接EG当点F在边CD上不含端点运动时 ,EGH的大小是否发生改变？假设不改变 ,求出EGH的度数；假设发生改变 ,请说明理由【答案】 12答案见解析3不改变 ,EGH=45°【解析】 1解：四边形ABCD是正方形 ,AD=CD=BC ,ADF=BCD=90° ,DAC=ACB=ACD=45° ,DG是ADF

23、的中线 ,DG=2.5 ,AF=2DG=5 ,CD=AD=4 ,CF=CDDF=1 ,点E是对角线AC的中点 ,G是AF的中点 ,EG是ACF的中位线 ,EG=CF=；2证明：延长DH交BC于M ,如下图 ,DGAF ,AGH=DGA=DGF=90° ,AFD+FDG=90° ,DMC+FDG=90° ,AFD=DMC ,在CDM和DAF中 , ,CDMDAFAAS ,CM=DF ,点F是CD的中点 ,DF=CF ,CM=CF ,在CMH和CFH中 , ,CMHCFHSAS ,CMH=CFH ,CFH=AFD；3解：EGH的大小不发生改变 ,EGH=45°

24、;；理由如下：点E是对角线AC的中点 ,ADC=90° ,DE=AC=AE ,ADE=DAC=45° ,AED=90°=AGD ,A、D、G、E四点共圆 ,AGE=ADE=45° ,EGH=90°45°=45°例2.5 如图 ,菱形ABCD中 ,对角线AC ,BD相交于点O ,且AC=6cm ,BD=8cm ,动点P ,Q分别从点B ,D同时出发 ,运动速度均为1cm/s ,点P沿BCD运动 ,到点D停止 ,点Q沿DOB运动 ,到点O停止1s后继续运动 ,到点B停止 ,连接AP ,AQ ,PQ设APQ的面积为ycm2这里规定

25、：线段是面积0的几何图形 ,点P的运动时间为xs1填空：AB=_cm ,AB与CD之间的距离为_cm；2当4x10时 ,求y与x之间的函数解析式；3直接写出在整个运动过程中 ,使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值【答案】 15 ,2y=3满足条件的x的值为或【解析】 1菱形ABCD中 ,AC=6cm ,BD=8cm ,ACBD ,AB=5 ,设AB与CD间的距离为h ,ABC的面积S=ABh ,又ABC的面积S=S菱形ABCD=×ACBD=×6×8=12 ,ABh=12 ,h=2设CBD=CDB= ,那么易得：sin= ,cos=当4x5时 ,如答图11所示

26、,此时点Q与点O重合 ,点P在线段BC上PB=x ,PC=BCPB=5x过点P作PHAC于点H ,那么PH=PCcos=5xy=SAPQ=QAPH=×3×5x=x+6；当5x9时 ,如答图12所示 ,此时点Q在线段OB上 ,点P在线段CD上PC=x5 ,PD=CDPC=5x5=10x过点P作PHBD于点H ,那么PH=PDsin=10xy=SAPQ=S菱形ABCDSABQS四边形BCPQSAPD=S菱形ABCDSABQSBCDSPQDSAPD=ACBDBQOABDOCQDPHPD×h=×6×89x×3×8×3x11

27、0x10x×=x2+x；当9x10时 ,如答图13所示 ,此时点Q与点B重合 ,点P在线段CD上y=SAPQ=AB×h=×5×=12综上所述 ,当4x10时 ,y与x之间的函数解析式为：y=3有两种情况：假设PQCD ,如答图21所示此时BP=QD=x ,那么BQ=8xPQCD ,即 ,x=；假设PQBC ,如答图22所示此时PD=10x ,QD=x1PQBC ,即 ,x=综上所述 ,满足条件的x的值为或随堂练习随练1.1 在平面直角坐标系中 ,O为原点 ,点A4 ,0 ,点B0 ,3 ,把ABO绕点B逆时针旋转 ,得ABO ,点A ,O旋转后的对应点为

28、A ,O ,记旋转角为如图 ,假设=90° ,求AA的长；如图 ,假设=120° ,求点O的坐标；在的条件下 ,边OA上 的一点P旋转后的对应点为P ,当OP+BP取得最小值时 ,求点P的坐标直接写出结果即可【答案】 152 ,3 ,【解析】 1如图 ,点A4 ,0 ,点B0 ,3 ,OA=4 ,OB=3 ,AB=5 ,ABO绕点B逆时针旋转90° ,得ABO ,BA=BA ,ABA=90° ,ABA为等腰直角三角形 ,AA=BA=5；2作OHy轴于H ,如图 ,ABO绕点B逆时针旋转120° ,得ABO ,BO=BO=3 ,OBO=120&#

29、176; ,HBO=60° ,在RtBHO中 ,BOH=90°HBO=30° ,BH=BO= ,OH=BH= ,OH=OB+BH=3+= ,O点的坐标为 ,；3ABO绕点B逆时针旋转120° ,得ABO ,点P的对应点为P ,BP=BP ,OP+BP=OP+BP ,作B点关于x轴的对称点C ,连结OC交x轴于P点 ,如图 ,那么OP+BP=OP+PC=OC ,此时OP+BP的值最小 ,点C与点B关于x轴对称 ,C0 ,3 ,设直线OC的解析式为y=kx+b ,把O , ,C0 ,3代入得 ,解得 ,直线OC的解析式为y=x3 ,当y=0时 ,x3=0 ,

30、解得x= ,那么P ,0 ,OP= ,OP=OP= ,作PDOH于D ,BOA=BOA=90° ,BOH=30° ,DPO=30° ,OD=OP= ,PD=OD= ,DH=OHOD= ,P点的坐标为 ,随练1.2 如图 ,在四边形ABCD中 , , , ,点M为对角线BD不含点B上任意一点 ,ABE是等边三角形 ,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN ,连接EN、AM、CM1求证：AMBENB；2直接答复：当点M在何处时 ,的值最小？当点M在何处时 ,的值最小？请说明理由【答案】 1见解析；2连接AC ,当点M位于BD与AC的交点处时 ,最小；3当点M位

31、于BD、CE的交点处时 ,的值最小 ,即等于EC的长理由见解析【解析】 1ABE是等边三角形 ,由旋转知 , , ,即 ,在AMB和ENB中 ,AMBENBSAS；2根据“两点之间线段最短 ,连接AC ,当点M位于BD与AC的交点处时 ,最小；连接CE ,当点M位于BD、CE的交点处时 ,最小理由如下：如图 ,连接CE交BD于点M ,连接AM ,在EM上取一点N ,使 ,在ABD和CBD中 ,ABDCBDSSS ,即 ,在EBN和CBM中 ,EBNCBMASA ,此时BN由BM绕点B逆时针旋转60°得到 ,由1知：AMBENB ,BMN是等边三角形 ,根据“两点之间线段最短可知当点M

32、位于BD、CE的交点处时 ,的值最小 ,即等于EC的长随练1.3 在数学兴趣小组活动中 ,小明进行数学探究活动 ,将边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图1位置放置 ,AD与AE在同一直线上 ,AB与AG在同一直线上1小明发现DGBE ,请你帮他说明理由2如图2 ,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转 ,当点B恰好落在线段DG上时 ,请你帮他求出此时BE的长3如图3 ,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转 ,线段DG与线段BE将相交 ,交点为H ,写出GHE与BHD面积之和的最大值 ,并简要说明理由【答案】 1见解析236【解析】 1四边形ABCD和四边形AEFG都为正方

33、形 ,AD=AB ,DAG=BAE=90° ,AG=AE ,在ADG和ABE中 ,ADGABESAS ,AGD=AEB ,如图1所示 ,延长EB交DG于点H ,在ADG中 ,AGD+ADG=90° ,AEB+ADG=90° ,在EDH中 ,AEB+ADG+DHE=180° ,DHE=90° ,那么DGBE；2四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形 ,AD=AB ,DAB=GAE=90° ,AG=AE ,DAB+BAG=GAE+BAG ,即DAG=BAE ,在ADG和ABE中 ,ADGABESAS ,DG=BE ,如图2 ,过点A作A

34、MDG交DG于点M ,AMD=AMG=90° ,BD为正方形ABCD的对角线 ,MDA=45° ,在RtAMD中 ,MDA=45° ,cos45°= ,AD=2 ,DM=AM= ,在RtAMG中 ,根据勾股定理得：GM= ,DG=DM+GM= ,BE=DG=3GHE和BHD面积之和的最大值为6 ,理由为：对于EGH ,点H在以EG为直径的圆上 ,当点H与点A重合时 ,EGH的高最大；对于BDH ,点H在以BD为直径的圆上 ,当点H与点A重合时 ,BDH的高最大 ,那么GHE和BHD面积之和的最大值为2+4=6随练1.4 正方形ABCD的边长为3 ,点E

35、,F分别在射线DC ,DA上运动 ,且DE=DF连接BF ,作EHBF所在直线于点H ,连接CH.1如图1 ,假设点E是DC的中点 ,CH与AB之间的数量关系是 ；2如图2 ,当点E在DC边上且不是DC的中点时 ,1中的结论是否成立？假设成立给出证明；假设不成立 ,说明理由；3如图3 ,当点E ,F分别在射线DC ,DA上运动时 ,连接DH ,过点D作直线DH的垂线 ,交直线BF于点K ,连接CK ,请直接写出线段CK长的最大值【答案】 12成立 ,证明见解析3【解析】 1 1分2结论成立 2分证明：如图11 ,连接BE在正方形ABCD中 ,AB=BC=CD=AD ,A=BCD=ABC=90&

36、#176;来 DE=DF , AF=CE在ABF和CBE中 , ABFCBE 1=23分 EHBF ,BCE=90° , H ,C两点都在以BE为直径的圆上 3=2 3=1 3+4=90° ,1+HBC=90° , 4=HBC CH=CB 5分 CH=AB 6分37分随练1.5 ,如图 ,在ABCD中 ,AB=3cm ,BC=5cmACABACD沿AC的方向匀速平移得到PNM ,速度为1cm/s；同时 ,点Q从点C出发 ,沿CB方向匀速运动 ,速度为1cm/s ,当PNM停止平移时 ,点Q也停止运动如图 ,设运动时间为ts0t4解答以下问题：1当t为何值时 ,PQ

37、MN？2设QMC的面积为ycm2 ,求y与t之间的函数关系式；3是否存在某一时刻t ,使SQMC：S四边形ABQP=1：4？假设存在 ,求出t的值；假设不存在 ,请说明理由4是否存在某一时刻t ,使PQMQ？假设存在 ,求出t的值；假设不存在 ,请说明理由【答案】 1t=；2y=；32；4当t=时 ,PQMQ【解析】 如图1 ,在RtABC中 ,由勾股定理得：AC=4 ,由平移性质可得MNAB；PQMN ,PQAB ,即 ,解得t=；2如图2 ,作PFBC于点F ,AEBC于点E ,由SABC=AB×AC=AE×BC可得×3×4=×5AE ,A

38、E= ,那么由勾股定理得：CE= ,PFBC ,AEBC ,AEPF ,CPFCAE ,所以 ,即 ,解得：PF= ,CF= ,PMBC ,所以M到BC的距离h=PF= ,所以 ,QCM是面积y=CQ×h=×t×=；3PMBC ,SPQC=SMQC ,SQMC：S四边形ABQP=1：4 ,SMQC：SABC=1：5 ,那么5=×4×3 ,t24t+4=0 ,解得：t1=t2=2 ,当t=2时 ,SQMC：S四边形ABQP=1：4； 4如图2 ,PQMQ ,MQP=PFQ=90° ,MPBC ,MPQ=PQF ,MQPPFQ ,PQ2=

39、PM×FQ ,即：PF2+FQ2=PM×FQ ,由CF= ,FQ=CFCQ= ,故 ,整理得2t23t=0 , 解得t1=0舍 ,t2= ,答：当t=时 ,PQMQ随练1.6 如图 ,矩形ABCD中 ,AB=4 ,AD=8 ,点E、F分别在线段BC、CD上 ,将CEF沿EF翻折 ,点C的落点为M1如图1 ,当 CE=5 ,M点落在线段AD上时 ,求MD的长2如图2 ,假设点F是CD的中点 ,点E在线段BC上运动 ,将CEF沿EF折叠 ,连接BM ,BME是否可以是直角三角形？如果可以 ,求此时CE的长 ,如果不可以 ,说明理由连接MD ,如图3 ,求四边形ABMD的周长的最

40、小值和此时CE的长【答案】 1MD的长为22可以；CE=2或四边形ABMD的周长的最小值为4+12 ,此时CE的长为4【解析】 1如图1 ,作ENAD于点N ,ANE=ENM=90°四边形ABCD是矩形 ,A=B=C=D=90° ,AB=CD=4 ,AD=BC=8 ,A=B=ANE=90° ,AB=NE=4 ,AN=BEEC=5 ,BE=3 ,AN=3EFC与EFM关于直线EF对称 ,EFCEFM ,EC=EM=5在RtEMN中 ,由勾股定理 ,得MN=3 ,MD=833=2答：MD的长为2；2如图2 ,当BME=90°时 ,EMF=90° ,

41、BMF=180° ,B、M、F在同一直线上F是BC的中点 ,CF=DF=CD=2EFC与EFM关于直线EF对称 ,EFCEFM ,MF=CF=2 ,EC=EM在RtBCF中 ,由勾股定理 ,得BF=2BM=22设EC=EM=x ,那么BE=8x ,在RtBME中 ,由勾股定理 ,得8x2x2=222 ,解得：x=CE=；如图3 ,当BEM=90°时 ,MEC=90°EFC与EFM关于直线EF对称 ,EFCEFM ,EMF=C=90° ,CF=FM=2 ,四边形ECFM是正方形 ,MF=CE=2CE=2或；如图4 ,四边形ABMD的周长最小 ,BM+MD最

42、小 ,B、M、D在同一直线上 ,点M在BD上连结MC ,EFC与EFM关于直线EF对称 ,EFCEFM ,EC=EM ,FC=FMEF垂直平分MC ,MG=CG ,GF是CDM的中位线 ,FGBD ,BE=CEBC=8 ,CE=4在RtABD中 ,由勾股定理 ,得BD=4四边形ABMD的周长的最小值为：4+4+8=4+12答：四边形ABMD的周长的最小值为4+12 ,此时CE的长为4随练1.7 如图 ,在矩形纸片ABCD中 ,AB=4 ,AD=12 ,将矩形纸片折叠 ,使点C落在AD边上的点M处 ,折痕为PE ,此时PD=31求MP的值；2在AB边上有一个动点F ,且不与点A ,B重合当AF等

43、于多少时 ,MEF的周长最小？3假设点G ,Q是AB边上的两个动点 ,且不与点A ,B重合 ,GQ=2当四边形MEQG的周长最小时 ,求最小周长值计算结果保存根号【答案】 1523【解析】 1四边形ABCD为矩形 ,CD=AB=4 ,D=90° ,矩形ABCD折叠 ,使点C落在AD边上的点M处 ,折痕为PE ,PD=PH=3 ,CD=MH=4 ,H=D=90° ,MP=；2如图1 ,作点M关于AB的对称点M ,连接ME交AB于点F ,那么点F即为所求 ,过点E作ENAD ,垂足为N ,AM=ADMPPD=1253=4 ,AM=AM=4 ,矩形ABCD折叠 ,使点C落在AD边

44、上的点M处 ,折痕为PE ,CEP=MEP ,而CEP=MPE ,MEP=MPE ,ME=MP=5 ,在RtENM中 ,MN= ,NM=11 ,AFNE ,AFMNEM , ,即 ,解得AF= ,即AF=时 ,MEF的周长最小；3如图2 ,由2知点M是点M关于AB的对称点 ,在EN上截取ER=2 ,连接MR交AB于点G ,再过点E作EQRG ,交AB于点Q ,ER=GQ ,ERGQ ,四边形ERGQ是平行四边形 ,QE=GR ,GM=GM ,MG+QE=GM+GR=MR ,此时MG+EQ最小 ,四边形MEQG的周长最小 ,在RtMRN中 ,NR=42=2 ,MR= ,ME=5 ,GQ=2 ,四

45、边形MEQG的最小周长值是随练1.8 边长为2的正方形的两顶点A、C分别在正方形EFGH的两边DE、DG上如图1 ,现将正方形ABCD绕D点顺时针旋转 ,当A点第一次落在DF上时停止旋转 ,旋转过程中 ,AB边交DF于点M ,BC边交DG于点N1求边在旋转过程中所扫过的面积；2旋转过程中 ,当MN和AC平行时如图2 ,求正方形ABCD旋转的度数；3如图3 ,设的周长为p ,在旋转正方形ABCD的过程中 ,p值是否有变化？请证明你的结论【答案】 123见解析【解析】 该题考查的是三角形全等与旋转问题1点第一次落在上时停止旋转 ,旋转了在旋转过程中所扫过的面积为2分2/ ,又 ,又 , ,旋转过程

46、中 ,当和平行时 ,正方形旋转的度数为 5分3证明：延长交轴于点 ,那么 ,又 ,6分又 , 7分在旋转正方形的过程中 ,值无变化8分课后作业作业1 ,点O是等边ABC内的任一点 ,连接OA ,OB ,OC1如图1 ,AOB=150° ,BOC=120° ,将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADCDAO的度数是；用等式表示线段OA ,OB ,OC之间的数量关系 ,并证明；2设AOB= ,BOC=当 ,满足什么关系时 ,OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形 ,并说明理由；假设等边ABC的边长为1 ,直接写出OA+OB+OC的最小值【答案】 19

47、0°；OA2+OB2=OC2；证明见解析2=120° ,OA+OB+OC有最小值；图形见解析【解析】 1AOB=150° ,BOC=120° ,AOC=360°120°150°=90° ,将BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得ADC ,OCD=60° ,D=BOC=120° ,DAO=360°AOCOCDD=90° ,故答案为：90°；线段OA ,OB ,OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2 ,如图1 ,连接OD ,BOC绕点C按顺时针方向旋转60&

48、#176;得ADC ,ADCBOC ,OCD=60° ,CD=OC ,ADC=BOC=120° ,AD=OB ,OCD是等边三角形 ,OC=OD=CD ,COD=CDO=60° ,AOB=150° ,BOC=120° ,AOC=90° ,AOD=30° ,ADO=60° ,DAO=90° ,在RtADO中 ,DAO=90° ,OA2+OB2=OD2 ,OA2+OB2=OC2；2当=120°时 ,OA+OB+OC有最小值如图2 ,将AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得AOC ,

49、连接OO ,AOCAOC ,OCO=ACA=60° ,OC=OC ,OA=OA ,AC=BC ,AOC=AOCOC O是等边三角形 ,OC=OC=OO ,COO=COO=60° ,AOB=BOC=120° ,AOC=AOC=120° ,BOO=OOA=180° ,四点B ,O ,O ,A共线 ,OA+OB+OC=OA+OB+OO=BA时值最小；AOB=BOC=120° ,AOC=120° ,O为ABC的中心 ,四点B ,O ,O ,A共线 ,BDAC ,将AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得AOC ,AC=AC=BC ,AB=2BD ,在RtBCD中 ,BD=BC= ,AB= ,当等边ABC的边长为1时 ,OA+OB+OC的最小值AB=作业2 几何模型：条件：如图 ,A