第六章 空间力系

1、第六章第六章 空间力系空间力系空间力系：空间力系：力的作用线是空间分布的力系。空间一般力系6-2 力在直角坐标轴的分解和投影一、力在直角坐标轴上的投影a)一次投影法（直接投影法）cosFY cosFZ cosFX 空间汇交力系空间平行力系6-1 工程中的空间力系问题b) 二次投影法（间接投影法）力F投影z轴上投影当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时坐标平面 Oxy上，力矢量力矢量Fxyx和y 轴上投影cossinFX sinsinFY cosFZ 二、力沿直角坐标轴的分解以 、 、 表示力F沿直角坐标轴x、y、z的正交分量xFyFzFkjiFFFFZYXzyx力F在坐标轴上的投影和力沿坐

2、标轴的正交分矢量间的关系可表示为：jFYykFZziFXx大小方向余弦222ZYXF力F的FY),cos(jFFZ),cos(kFFX),cos(iF例61 如图所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 的作用。已知斜齿轮的齿倾角(螺旋角) 和压力角 ，以求力 沿 x、y和z轴的分力。nFnF解：先将力Fn向z轴和Oxy平面投影，得sinnFZcosnxyFF再将力 向x、y轴投影，得xyFsincossinnxyFFXcoscoscosnxyFFY则力 沿各轴的分力为nFjFcoscosnyFkFsinnzFiFsincosnxF例62 已知力沿直角坐标轴的解析式为 试求这个力的大小和方向，并作图表示

3、。)(54kNkjiF 3解：3X4Y5Z力的大小方向余弦则角度为kNZYXF252225657. 0254),cos(jF7071. 0255),cos(kF4243. 0253),cos(iFo9 .64),(iFo55.55),(jFooo13545180),(kF力F对z轴的矩就是分力Fxy对点O的矩，力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量、是一个代数量。()()2zoxyxyMMF hOAb FF即6-3 力对轴的矩OAbhFMMxyxyoz2)()(FF绝对值：绝对值：该力在垂直于该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩的大小。正负号：正负号：从z轴正端来看，若力的这个投影

4、使物体绕该轴按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。也可按右手螺旋规则右手螺旋规则来确定其正负号，如图所示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：(1)当力与轴相交时 (此时h0)；(2)当力与轴平行时 (此时 )。0 xyF力对轴的矩的单位为Nm空间一般力系的空间一般力系的合力矩定理合力矩定理空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于各分力对同一轴的矩的代数和。()( )zRzMMFFFF根据合力矩定理，得()()()()zoxyoxoyMMMMFFFF 即yXxYMz)(F力对轴之矩的解析式yXxYMz)(FzYyZMx)(FxZzXMy)(F力作用点A的坐

5、标为A(x，y，z)力在三个坐标轴上的投影分别为X、Y 、Z，力对轴之矩的解析表达式力对轴之矩的解析表达式例63 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。如果CDa，杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x、y和z三轴的矩。根据合力矩定理()()()()cosxxzzMMF ABCDF la FFcos)()(FlBCFMMzzyyFF 解： 解法一将力F沿坐标轴分解()()()()sinzzxxMMF ABCDF la FFsinFFxcosFFzsinFX cosFZ0Y解法二力F在x、y、z

6、轴的投影为力作用点D的坐标为lxaly0zsin)()sin)(0)(alFFalyXxYMzFcos)(0)cos)()(alFFalzYyZMxFcos)cos)(0)(FlFlxZzXMyF空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。222)()()(ZYXFRn1iin21RFFFFFkjiFFFFZYXzyxkjiFiiiRZYX方向余弦合力的大小RRFX),cos(iFRRFY),cos(jFRRFZ),cos(kF6-4 空间一般力系的平衡条件空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零，即0n1iiRFF222)()()(ZYXFR空间汇交力系 的平

7、衡方程0n1iiX0n1iiY0n1iiZ空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。（三个方程，可（三个方程，可求解三个未知量）求解三个未知量） 例64 如图所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于x轴。已知：CE=EBDE， 。CDB平面与水平面间的夹角 ，物重 。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。o3010PkN30oEBF解：取起重杆AB与重物为研究对象。取坐标轴如图所示。由已知条件知：45oCBEDBE 列平衡方程120,sin4

8、5sin450ooXFF120,sin30cos45 cos30cos45 cos300oooAooYFFF030cos30sin45cos30sin45cos, 021PFFFZoAoooo解得kNFF54. 321kNFA66. 8空间力偶对刚体刚体的作用效果决定于下列三个因素(2)力偶作用面的方位；(1)力偶矩的大小；(3)力偶的转向。矢的指向指向与力偶转向的关系服从右手螺旋规则右手螺旋规则。注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。注：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。空间力偶用一个矢量，力偶矩矢M表示：矢的长度长度表示力偶矩的大小矢的方位方位与力偶作用面的法线方位相同，空间力偶系

9、的合成与平衡条件空间力偶系的合成与平衡条件任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即niin211MMMMM合力偶矩矢的解析表达式为xyzMMMMijkniin211MMMMMn1iixnx2x1xxMMMMMn1iiyny2y1yyMMMMMn1iiznz2z1zzMMMMM合力偶矩矢的大小方向余弦222)()()(iziyixMMMMMMy),cos(jMMMz),cos(kMMMx),cos(iM空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即01niiM由上式，有222()()()0ixiyizMMMM欲

10、使上式成立，必须同时满足空间力偶系的平衡方程niizM10niixM10niiyM10空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。（三个独立的平衡方（三个独立的平衡方程，求解三个未知量）程，求解三个未知量）空间任意力系向一点的简化主矢和主矩力的平移定理22FFnnFF11FF)(1O1FMM )(2O2FMM )(nOnFMM 空间任意力系空间汇交力系空间力偶系空间汇交力系空间汇交力系合成一力力，作用线通过点O，其大小和方向等于力系的主矢主矢，即kjiFFFniiniiniiniiniiRZYX11111空间力偶系空间力偶系合成为一力偶力偶，

11、等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等于原力系各力对于点O之矩的矢量和，即原力系对点对点O的主矩的主矩11()nnoioiiiMMMF力系主矢的大小RRFY),cos(jF FRRFZ),cos(kF F222)()()(ZYXFRRRFX),cos(iF F方向余弦力系对点O的主矩的大小222 )( )( )(FFFzyxoMMMMoxoMM)(),cos(FiMoyoMM)(),cos(FjMozoMM)(),cos(FkM方向余弦飞机在飞行时受到重力、升力、推力和阻力等力组成的空间任意力系的作用。将力系向飞机的重心O简化。力 三个作用于重心O的正交分力RF力偶矩矢 三个绕坐标轴的分力偶OMRx

12、FRyFRzF有效推进力；有效升力；侧向力；OxMOyMOzM滚转力矩；偏航力矩；俯仰力矩。空间任意力系平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即0,0Ro FM222)()()(ZYXFR222 )( )( )(FFFzyxoMMMM可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程0X 0Y 0Z ( )0 xMF F( )0yMF F( )0zMF F注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意力系等平衡方程。例：设物体受

13、一空间平行力系作用。令z轴与这些力平行，则0X 0Y 0Z ( )0 xMF F( )0yMF F( )0zMF F自动满足。因此，空间平行力系只有三个平衡方程，即：例65 如图所示的三轮小车，自重P8kN，作用于点E，载荷 ，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。110PkN解：以小车为研究对象。1()0,0.80.60.61.20yDBMPPFFF1()0,0.21.220 xDMPPFF10,0ABDZPPFFFkNFD8 . 5kNFB777. 7kNFA423. 4解得例66 如图所示，皮带的拉力 ，曲柄上作用有铅垂力F = 2000N。已知皮带轮的直径D400mm，曲柄长R30

14、0mm，皮带 1 和 2 与铅垂线间夹角分别为 ， 。求皮带拉力和轴承反力。122FF 30o60o解：以整个轴为研究对象。120,sin30sin600ooAxBxXFFFF120,cos30cos600ooAzBzZFFFFF00, 0Y12()0,cos30200cos602002004000 xooBzMFFFFF12()0,sin30200sin602004000zooBxMFFFF21()0,()02yMDFRFFF 又有122FF 解得NF30001NF60002NFAx10044NFAz9397NFBx3348NFBz1799无论怎样列方程，独立平衡方程的数目只有无论怎样列方程

15、，独立平衡方程的数目只有6个。个。每个方程中最好只包含每个方程中最好只包含个未知量。一般，力矩方程比个未知量。一般，力矩方程比较灵活，常可使一个方程只含一个未知量。较灵活，常可使一个方程只含一个未知量。为此，在选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；在选为此，在选投影轴时应尽量与其余未知力垂直；在选取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。取矩的轴时应尽量与其余的未知力平行或相交。投影轴不必相互垂直、取矩的轴也不必与投影轴投影轴不必相互垂直、取矩的轴也不必与投影轴重合。重合。 例67 如图所示均质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为P，在A处作用一水平力F，且F=

16、2P。求各杆的内力。解：取长方体刚板为研究对象，各支杆均为二力杆，设它们均受拉力。6()0,02ABMaF aPF0, 0)(5FMAEF0, 0)(4FMACF26PF解得（压力）6122()0,02EFMaaPF aFbabF2()0,02FGMbPFbF bFPF5 . 12解得23()0,cos4502BCoMbPF bFbFPF223解得50F 40F 26PF01F解得65 重心重心1概念及坐标公式概念及坐标公式重力是一个分布力系，可视为空间平行力系。一般所谓重力，就是这个空间平行力系的合力。重心：重心：不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线通过的此物

17、体个确定的点。重心在工程实际中具有重要的意义。如重心的位置会影响物体的平衡和稳定。通过平行力系的合力可以推导物体重心的坐标公式。这些公式也可用于确定物体的质量中心、面积形心和液体的压力中心等。平行力系中心平行力系中心将物体分割成许多微小体积，每小块体积为 ，所受重力为 。iViW这些重力组成平行力系iWW合力取直角坐标系Oxyz，使重力及其合力与 z 轴平行。设任一微体的坐标为 xi ， yi ，zi ，重心C的坐标为 xc ， yc ， zc 。根据合力矩定理，对x轴取矩，有1122()nniiCW yW yW yW yWy 对y轴取矩有1 122nniiCW xW xW xW xWx1 1

18、22()CnniiWzW zW zW zW z 将物体连同坐标系一起绕x轴顺时针转 ，使y轴向下，再对x轴取矩，得90o由以上三式可得计算重心坐标的公式计算重心坐标的公式，即11niiiCniiW xxW11niiiCniiW yyW11niiiCniiW zzWVVzVVzziiiiiCVVyVVyyiiiiiCVVxVVxxiiiiiC 如果物体是均质的，单位体积的重量 常值,以 表示微小体积，物体总体积为 ，将 代入上式，得iVViViiWV 均质物体的重心与其单位体积的重量(比重)无关，仅决定于物体的形状。这时的重心称为形心形心。均质等厚薄壳的重心（面积的重心）公式iiCyAyAiiCzAzAiiCxAxA注：曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的注：曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的一点。一点。均质等截面细长线段的重心（线段的重心）公式iiCylyliiCxlxliiCzlzl注：曲线的重心一般不在曲线上。注：曲线的重心一般不在曲线上。2. 确定物体重心的方法确定物体重心的方法如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则该物体的重心必相应地在这个