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文档简介

1、高 中 数 学上海历年高考经典真题专题汇编专 题: 圆锥曲线姓 名 : 学 号 : 年 级 : 专题:圆锥曲线一、填空、选择题1、(2016年上海高考)已知平行直线,则的距离_2、(2015年上海高考)抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p= 3、(2014年上海高考)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .4、(虹口区2016届高三三模)若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为,则该双曲线的焦距等于 5、(浦东新区2016届高三三模)抛物线的准线方程是 6、(杨浦区2016届高三三模)已知双曲线的两个焦点为、,为该双曲线上一点,满足,到坐标原点的距

2、离为,且,则 7、(虹口区2016届高三三模)过抛物线的焦点F的直线与其相交于A,B两点,O为坐标原点若则的面积为 8、(浦东新区2016届高三三模)直线与抛物线至多有一个公共点,则的取值范围是 9、(浦东新区2016届高三三模)设为双曲线上的一点,是左右焦点,则的面积等于( )A. B. C. D.10、(崇明县2016届高三二模)已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点与抛物线的焦点相同,则双曲线的标准方程为11、(奉贤区2016届高三二模)双曲线的一条渐近线与直线垂直,则_12、(虹口区2016届高三二模)如图, 的两个顶点,过椭圆的右焦点作轴的垂线,与其交于点C. 若(为坐标原点),

3、则直线AB的斜率为_. 13、(黄浦区2016届高三二模)若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5,最大值为15,则椭圆短轴长为 14、(静安区2016届高三二模)已知双曲线的渐近线与圆没有公共点, 则该双曲线的焦距的取值范围为 .15、(静安区2016届高三上学期期末)已知抛物线的准线方程是,则 .16、(普陀区2016届高三上学期期末)设是双曲线上的动点,若到两条渐近线的距离分别为,则_.17、(杨浦区2016届高三上学期期末)抛物线的顶点为原点,焦点在轴正半轴,过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点,若AB中点的横坐标为3,则抛物线的方程为_.18、(宝山区2016届高三上学期期末)抛物线的准线

4、与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 19、(松江区2016届高三上学期期末)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ( ) 二、解答题1、(2016年上海高考) 有一块正方形菜地,所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是,菜地分为两个区域和,其中中的蔬菜运到河边较近,中的蔬菜运到点较近,而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等,现建立平面直角坐标系,其中原点为的中点,点的坐标为(1,0),如图(1) 求菜地内的分界线的方程(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍,由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点,请计算以为一边、另一边过

5、点的矩形的面积,及五边形的面积,并判断哪一个更接近于面积的经验值2、(2016年上海高考)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为,直线过且与双曲线交于两点。(1)若的倾斜角为,是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且,求的斜率. 3、(2015年上海高考)已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABCD的面积为S(1)设A(x1,y1),C(x2,y2),用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2|x1y2x2y1|;(2)设l1与l2的斜率之积为,求面积S的值4

6、、(2014年上海高考)在平面直角坐标系中,对于直线和点,记. 若,则称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分割,则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证:点被直线分割;(2) 若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线. 求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线.5、(虹口区2016届高三三模)设椭圆,定义椭圆的“相关圆”为:.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,且椭圆的短轴长与焦距相等.(1)求椭圆及其“相关圆”的方程;(2)过“相关圆”上任意一点作其切线 ,若 与椭圆交于两点,求证:为定值(为坐标原点

7、);(3) 在(2)的条件下,求面积的取值范围.6、(浦东新区2016届高三三模)设椭圆的长半轴长为,短半轴长为,椭圆的长半轴长为,短半轴长为,若,则称椭圆与椭圆是相似椭圆。已知椭圆,其左顶点为,右顶点为。(1)设椭圆与椭圆是“相似椭圆”,求常数的值;(2)设椭圆,过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点,过椭圆的上顶点作斜率为的直线与椭圆只有一个公共点,当为何值时,取得最小值,并求出最小值;(3)已知椭圆与椭圆是相似椭圆,椭圆上异于的任意一点,求证:的垂心在椭圆上。7、(奉贤区2016届高三二模)已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍,焦距为(1)求椭圆的标准方程;(2)不过原点的直线与椭圆交于两点、,

8、且直线、的斜率依次成等比数列,问:直线是否定向的,请说明理由8、(虹口区2016届高三二模)已知直线是双曲线的一条渐近线,都在双曲线上,直线与轴相交于点,设坐标原点为 (1) 求双曲线的方程,并求出点的坐标(用、表示);(2) 设点关于轴的对称点为,直线与轴相交于点问:在轴上是否存在定点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由(3) 若过点的直线与双曲线交于两点,且,试求直线 的方程9、(黄浦区2016届高三二模)对于双曲线,若点满足,则称在的外部;若点满足,则称在的内部;(1)若直线上的点都在的外部,求的取值范围;(2)若过点,圆在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半,求、满

9、足的关系式及的取值范围;(3)若曲线上的点都在的外部,求的取值范围;10、(静安区2016届高三二模)已知分别是椭圆(其中)的左、右焦点,椭圆过点且与抛物线有一个公共的焦点(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线与椭圆交于、两点,求线段的长度11、(嘉定区2016届高三上学期期末)在平面直角坐标系内,动点到定点的距离与到定直线的距离之比为(1)求动点的轨迹的方程;(2)若轨迹上的动点到定点()的距离的最小值为,求的值(3)设点、是轨迹上两个动点,直线、与轨迹的另一交点分别为、,且直线、的斜率之积等于,问四边形的面积是否为定值?请说明理由12、(金山区2016届高三上学期期末)在

10、平面直角坐标系中,已知椭圆,设点 是椭圆上一点,从原点向圆作两条切线,切点分别为(1) 若直线互相垂直,且点在第一象限内,求点的坐标;(2) 若直线的斜率都存在,并记为,求证:13、(静安区2016届高三上学期期末)设P1和P2是双曲线上的两点,线段P1P2的中点为M,直线P1P2不经过坐标原点O. (1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2,求证:k1k2=;(2)若双曲线的焦点分别为、,点P1的坐标为(2,1) ,直线OM的斜率为,求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积. 14、(闵行区2016届高三上学期期末) 已知椭圆的中心在坐标原点,且

11、经过点,它的一个焦点与抛物线的焦点重合(1)求椭圆的方程;(2)斜率为的直线过点,且与抛物线交于两点,设点,的面积为,求的值; (3)若直线过点(),且与椭圆交于两点,点关于轴的对称点为,直线的纵截距为,证明:为定值.15、(青浦区2016届高三上学期期末)已知椭圆的对称轴为坐标轴,且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,以为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切(1)求椭圆的方程;(2)已知直线与椭圆交于两点,且椭圆上存在点满足,求的值参考答案一、填空、选择题1、【答案】【解析】试题分析:利用两平行线间距离公式得2、解:因为抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以=1,

12、所以p=2故答案为:23、【解析】:椭圆右焦点为,即抛物线焦点,所以准线方程4、65、【答案】【解析】,则其准线方程为 6、4或97、28、【答案】【解析】由题意知:直线与抛物线的交点个数为0或1个。由,显然满足;当时,由,由图像知:所以,综上所述,的取值范围是。9、【答案】C【解析】利用“焦点三角形的面积公式”。,求得面积10、11、12、13、14、15、116、17、18、19、A二、解答题1、【答案】(1)()(2)五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】试题分析:(1)由上的点到直线与到点的距离相等,知是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分(2)计算矩形面积,五边形面积进一步

13、计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值,五边形面积与“经验值”之差的绝对值,比较二者大小即可试题解析:(1)因为上的点到直线与到点的距离相等,所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分,其方程为()(2)依题意,点的坐标为 所求的矩形面积为,而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为,而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为,所以五边形面积更接近于面积的“经验值”考点:1.抛物线的定义及其标准方程;2.面积.2、【答案】(1)(2).【解析】试题分析:(1)设根据是等边三角形,得到,解得(2)(2)设,直线与双曲线方程联立,得到一元二次方程,根据与双曲线交于两点,可得,

14、且设的中点为由,计算,从而得出的方程求解试题解析:(1)设由题意,因为是等边三角形,所以,即,解得故双曲线的渐近线方程为(2)由已知,设,直线显然由,得因为与双曲线交于两点,所以,且设的中点为由即,知,故而,所以,得,故的斜率为3、4、【解析】:(1)将分别代入,得 点被直线分割 (2)联立,得,依题意,方程无解, ,或 (3)设,则,曲线的方程为 当斜率不存在时,直线,显然与方程联立无解,又为上两点,且代入,有,是一条分割线;当斜率存在时,设直线为,代入方程得:,令,则,当时,即在之间存在实根,与曲线有公共点当时,即在之间存在实根,与曲线有公共点直线与曲线始终有公共点,不是分割线,综上,所有

15、通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线5、解:(1)因为抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,所以,又因为椭圆的短轴长与焦距相等,所以. 2分故椭圆的方程为:,其“相关圆”的方程为:. 4分 证:(2)(i)当直线的斜率不存在时,不妨设其方程为,则,所以. 6分(ii)当直线的斜率存在时,设其方程为,并设,则由得,即,8分故=,即 且 由直线与 “相关圆”E相切,得, 即8分 从而 综合上述,得 10分解:(3)由于所以求的取值范围,只需求出弦长的取值范围. 当直线的斜率不存在时,由(2)的(i),知; 12分当直线的斜率存在时, (i)当时,; 14分(ii)当时, 因为,所以故,当且仅当时

16、, 于是的取值范围为 因此的取值范围为 16分6、【解析】(1)由题意得或,分别解得或(2)由题意知:,直线,直线由得:,因为直线与椭圆仅有一个公共点,则由得:,因为直线与椭圆仅有一个公共点,则由解得:代入得:,所以此时,即(3)由题意知:,所以。且,。设垂心,则,即。又点在上,有。则,所以的垂心在椭圆上。7、解:(1)由已知得 3分解得 5分椭圆的标准方程为 6分(2)(理)由题意可设直线的方程为:,联立,消去并整理,得: 7分计算 8分此时设,则, 9分于是 10分又直线的斜率依次成等比数列, 11分 12分 所以是不定向的, 13分方向向量 13分(2)文可得 8分设,则 9分 11分

17、13分8、解:(1)由已知,得故双曲线的方程为 3分为直线AM的一个方向向量,直线AM的方程为它与轴的交点为 5分(2)由条件,得且为直线AN的一个方向向量,故直线AN的方程为它与轴的交点为 7分 假设在轴上存在定点,使得,则由及得 故即存在定点,其坐标为或满足题设条件. 10分 (3) 由知,以为邻边的平行四边形的对角线的长相等,故此四边形为矩形,从而 12分 由已知,可设直线的方程为并设则由 得 由及得 (*)由 14分得故符合约束条件(*). 因此,所求直线的方程为 16分9、解(1)由题意,直线上点满足,即求不等式的解为一切实数时的取值范围(1分)对于不等式,当时,不等式的解集不为一切

18、实数,(2分)于是有解得故的取值范围为(4分)(2)因为圆和双曲线均关于坐标轴和原点对称,所以只需考虑这两个曲线在第一象限及、轴正半轴的情况由题设,圆与双曲线的交点平分该圆在第一象限内的圆弧,它们交点的坐标为 将,代入双曲线方程,得(*),(6分)又因为过点,所以,(7分)将代入(*)式,得(9分)由,解得因此,的取值范围为(10分)(3)由,得将代入,由题设,不等式对任意非零实数均成立(12分)其中令,设,()当时,函数在上单调递增,不恒成立;(14分)当时,函数的最大值为, 因为,所以;(16分)当时,(17分)综上,解得因此,的取值范围为(18分)10、(1)抛物线的焦点为 1分所以椭圆

19、的左焦点为, ,2分又,得,解得(舍去)4分故椭圆的方程为。6分(2)直线的方程为 7分联立方程组消去并整理得 9分设,故, 10分则12分11、(1)设,由题意, (2分)化简得, (3分)所以,动点的轨迹的方程为 (4分)(2)设,则, (2分)当,即时,当时,取最小值,解得,此时,故舍去 (4分)当,即时,当时,取最小值,解得,或(舍) (6分)综上,(3)解法一:设,则由,得,(1分),因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 (2分)当时,则四边形为矩形,则,由,得,解得, (3分)当时,直线的方向向量为,直线的方程为,原点到直线的距离为所以,的面积, 根据椭圆的对称性,四边形的面积,(4分)所以,所以所以,四边形的面积为定值 (6分)解法二:设,则,由,得, (1分)因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 (2分)直线的方程为,点到直线的距离,的面积, (3分)根据椭圆的对称性,四边形的面积,(4分)所以, ,所以所以,四边形的面积为定值 (6分)解法三:设,则,由,得, (1分)因为点、在椭圆上,所以,所以,化简得 (2分)的面积, (3分)根据椭圆的对称性,四边形的面积,(4分)所以,所以,所以所以,四边形的面积为定值 (6分)12、解:(1)由题意得:圆的半径为,因为直线互相垂直,且与圆相切,所以四边形OPRQ为正方形,故,即 3分又在椭

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