二项式定理(三)杨辉三角ppt课件

1、11.1.二项式定理：二项式定理：011()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b 2.2.通项规律：通项规律：1,(0,1,2,)rn rrrnTC abrn 3.3.二项式系数：二项式系数：rnC第第( (r+1)+1)项项此法我们称为：赋值法此法我们称为：赋值法4.4.特殊地：特殊地：12211nrrn nnnnnxC x C xC xC x （）012(11)nnnnnnCCCC 2n 注注: :项的系数与二项式系数是两个不同的概念项的系数与二项式系数是两个不同的概念x=1=1得得课前复习：课前复习：23 把（把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当展开式的

2、二项式系数取出来，当n依次取依次取1，2，3，时，可列成下表：时，可列成下表：(a+b)11 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1上面的表叫做二项式系数表上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角杨辉三角)1 在我国在我国, ,很早就有人研究过二很早就有人研究过二项式系数表项式系数表, ,南宋数学家杨辉在南宋数学家杨辉在其所著的其所著的详解九章算法详解九章算法中就中就有出现有出现. .4 (a+b)1 1 1(a+b)21 2 1(a+b)31 3 3 1(a+b)41 4 6

3、 4 1(a+b)51 5 10 10 5 1(a+b)61 6 15 20 15 6 1观察二项式系数表，寻求其规律：观察二项式系数表，寻求其规律：31015 不难发现不难发现, ,表中每行两端都是表中每行两端都是1 1，而且除，而且除1 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. .事实上，事实上，设表中任一不为设表中任一不为1 1的数为的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及及Cnr，知道，知道Cn+1+1r = Cnr-1-1+ +Cnr 这这就是组合数的性质就是组合数的性质2.2.除了这个性质外除了这个性质外,

4、 ,该表还蕴藏该表还蕴藏有什么性质呢有什么性质呢? ?5(1)(1)对称性对称性: : 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等( (a+ +b) )n展开式的二项式系数依次是展开式的二项式系数依次是: : 012,.rnnnnnnCCCCC， , ,(3)(3)增减性与最大值增减性与最大值. . 增减性的实质是比较增减性的实质是比较 的大小的大小. . 1kknnCC 与与(2)(2)递推性递推性: : 除除1 1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. .从第一项起至中间项从第一项起至中间项, ,二项式系数逐渐增大二项式

5、系数逐渐增大, ,随后又逐渐减小随后又逐渐减小. .(4)(4)各二项式系数的和各二项式系数的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 6(5)(5)一连串系数的和一连串系数的和. . 0122rnnnnnnnCCCCC 1111121231knnCCCCCC 22223231knnCCCCC 33334341knnCCCCC 7 可运用函数的观点，结合可运用函数的观点，结合“杨辉三角杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质和函数图象，研究二项式系数的性质 ( (a+ +b) )n展开式的二项式系数是展开式的二项式系数是 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数f( (r),)

6、,其定义域是其定义域是0,1,2,0,1,2, ,n,当当n=6=6时，其图象是右图中的时，其图象是右图中的7 7个孤立点个孤立点. .012,.rnnnnnnCCCCC， , ,rnC.-1084621620f(r).369r8继续思考继续思考1: 1: 试证明在试证明在( (a+ +b) )n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. .即证：即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)( 1)nnnn

7、nnnnCCCCC 02130nnnnCCCC 即即0213nnnnCCCC 启示：在二项式定理中，对启示：在二项式定理中，对a, ,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法。赋值法。9思考思考2: 求证：求证： 01212312 2nnnnnnCCCnCn 10思考思考2:求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01212311 2nnnnnnCCCnCn倒

8、序相加法倒序相加法11 1. 1.当当n n 1010时常用杨辉三角处理二项式系数问题时常用杨辉三角处理二项式系数问题; ; 2. 2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值; ; 3. 3.常用赋值法解决二项式系数问题常用赋值法解决二项式系数问题. .12 类似上面的表类似上面的表, ,早在我国南宋数学家杨辉早在我国南宋数学家杨辉12611261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经出一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一一”以外的每一个数都等于它肩上两以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元1111世纪）世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于1111世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（斯卡（1623-16621623-1662）首先发